9.4.4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка содержат все основные, типичные черты уравнений -го порядка.
Однородное линейное дифференциальное уравнение -го порядка имеет вид:
. (1)
Для него, как и для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, справедливы теоремы о частных решениях 1 и 2. То есть линейные комбинации частных решений также являются решениями и если известно одно или несколько решений, то можно понизить порядок на одну или более единиц.
Определение. Фундаментальной
системой решений уравнения (1) называется
всякая система
частных решений
,
которая обладает следующим свойством:
ни при каких
,
,
одновременно не равных нулю, линейная
комбинация
. (а)
В
этом случае
,
удовлетворяющие (а), называют линейно
независимыми.
Из
определения ледует, что нулевое решение
не входит в фундаментальную систему
решений. Например,
,
.
Тогда, положив
,
…,
,
получим
,
что
противоречит определению фундаментальной
системы решений. Таким образом,
фундаментальная система решений не
может содержать ни одного
.
При
новое определение тождественно старому.
Далее, вронскиниан фундаментальной системы решений (и только фундаментальной системы решений) отличен от тождественного нуля. Вронскиниан в общем случае имеет вид:
.
Формула Остроградского-Лиувилля также имеет место в общем случае:
.
Из нее также следует, что либо тождественно равен нулю, либо не равен нулю ни при каком . Первый случай соответствует не фундаментальной системе решений, второй – фундаментальной системе решений.
Существование фундаментальной системы решений доказывается аналогично дифференциальному уравнению 2-го порядка. Основная теорема устанавливает, что общее решение однородного линейного дифференциального уравнения -го порядка имеет вид:
,
где
.
Неоднородное линейное дифференциальное уравнение -го порядка имеет вид:
.
Теоремы о частных решениях справедливы и в эом случае. Также, как и метод Лагранжа вариации произвольных постоянных:
Однородное линейное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
,
,
действительные числа.
Характеристическое уравнение:
.
Любому
действительному
-кратному
корню
соответствуют решения:
,
,
.
Так
как
– действительные числа, то комплексные
корни характеристического уравнения
встречаются только сопряженными парами
и имеют одинаковую кратность. Любой
паре
кратности
соответствует
частных решений:
,
,
…,
,
,
,
…,
.
Таким образом, в общем случае решение однородного линейного дифференциального уравнения -го порядка имеет вид:
,
где
и
– кратности корней, а
,
,
– многочлены соответствующих степеней.
И, наконец, 2 теоремы о приведении к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Теорема 1.
Если линейное дифференциальное уравнение -го порядка
(*)
допускает
приведение к дифференциальному уравнению
с постоянными коэффициентами при помощи
замены независимой переменной
вида
,
то такой цели служит только подстановка
,
где
.
Теорема 2.
Если
(*) допускает приведение к дифференциальному
уравнению с постоянными коэффициентами
при помощи подстановки
,
преобразующей неизвестную функцию
,
то такое преобразование выполняется
только, если положить
Для неоднородных линейных дифференциальных уравнений приведение осуществляется по тем же формулам.