Квадратичные формы
Квадратичной формой L(x1,x2,…,xn) от п переменных называется сумма, каждый член которой является квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторыми коэффициентом:
L(x1,x2,…,xn)
=
.
(4)
Пусть коэффициенты квадратичной формы aij— действительные числа. Причем aij=аji., то есть матрица симметрична относительно главной диагонали. Матрица А = (aij) (i,j = 1,2,...,n), составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы.
В матричной записи квадратичная форма имеет вид:
L = X 'AX (5)
где Х = (х1,x2,...,хn)' — матрица-столбец переменных. В самом деле :
L(x1,x2,…,xn)
=
=(x1,x.2,…,xn)
=
=
Выясним, как изменяется квадратичная форма при невырожденном линейном преобразовании переменных.
Пусть матрицы-столбцы переменных Х = (х1,х2,...,xn)' и Y = (у1,у2 ,…,yn)' связаны линейным соотношением Х = СY, где С = (cij) (i,j=1,2,...,n) есть некоторая невырожденная матрица п-го порядка. Тогда квадратичная форма
L = Х'АХ = (С'Y')A(СY) = (Y'С')A(СY) = Y'(С'АС)Y.
Итак, при невырожденном линейном преобразовании Х = СY матрица квадратичной формы принимает вид:
А* =С'АС. (6)
Следует отметить, что при некоторых удачно выбранных линейных преобразованиях вид квадратичной формы можно существенно упростить.
Квадратичная
форма L
=
называется канонической,
если все ее коэффициенты aij
= 0 при i
j,
то есть ее матрица является диагональной.
L
= a11x12
+a22x22
+…+annxn2
=
Теорема. Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.
Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. Одно из этих свойств сформулируем в виде теоремы.
Закон инерции квадратичных форм. Число слагаемыхс положительными (или отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.
Следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы, равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.
Квадратичная форма L(x1,x2,…,xn) называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля,
L(x1,x2,…,xn) > 0 (L(x1,x2,…,xn) < 0) .
Так, например, квадратичная форма L1 = 3x12 + 4x22 + 9x32 является положительно определенной, а форма L2 = –x12 + 2х1x2 – x22 — отрицательно определенной.
Теорема. Для того чтобы квадратичная форма L = Х'АХ была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения i матрицы А были положительны (отрицательны).