Магнитное поле равномерно движущегоя заряда

Опыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами (электрическими токами). Экспериментально была установлена зависимость

, где

Гн/м – магнитная постоянная;

радиус-вектор, проведённый от заряда к точке, где определяется вектор.

Т.к. начало радиус-векторадвижется вместе с зарядом со скоростью, то векторв данной системе отсчёта зависит не только от координат точки но и от времени.

Вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторыипо правилу правого винта.

Единицей магнитной индукции в системе СИ является тесла (Тл).

Так как, электрическое поле точечного заряда q , движущегося с нерелятивистской скоростью, описывается выражением

, то можно записать

, где

электродинамическая постоянная, равная скорости света в вакууме.

Принцип суперпозиции – магнитное поле, создаваемое несколькими движущимися зарядами или токами, равно векторной сумме полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности:

Закон Био – Савара

Этот закон позволяет находить индукцию магнитного поля, создаваемого постоянным электрическим током.

Подставим в выражение для индукции магнитного поля движущегося точечного заряда вместо, где– элементарный объём,объёмная плотность электрического заряда.

Так как , то получаем

.

Учитываем, что , где– элемент длины провода.

Введя вектор в направлении токаможно записать.

И тогда окончательно получаем закон Био – Савара (иногда называют закон Био – Савара – Лапласа):

.

Полное поле в соответствии с принципом суперпозиции получается интегрированием:

или .

Пример 1. Магнитное поле прямого тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины.

В произвольной точке А векторыот всех элементов тока имеют одинаковое направление (от нас).

.

Из рисунка видно, что и.

Тогда .

Угол для всех элементов бесконечного прямого проводника с током изменяется в пределах от нуля доπ.

Интегрируя, получаем

.

Пример 2. Магнитное поле на оси кругового тока.

От всех элементов тока будет образовываться конус векторов , а результирующий векторв точке А будет направлен по осиZ.

Проекция на осьZ:

.

Интегрируя по всему круговому витку получаем

.

Т.к. и, то.

При (в центре витка).

На большом расстоянии .

Основные законы магнитного поля

Как и любое другое векторное поле, поле может быть представлено с помощью линий вектора. Их проводят обычным способом – так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора, а густота линий была бы пропорциональна модулю векторав данной точке пространства.

1). Теорема Гаусса для поля :поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

.

Т.е. линии вектора не имеют ни начала, ни конца. Поэтому число линий вектора , выходящих из любого объёма, ограниченного замкнутой поверхностьюS, всегда равно числу линий, входящих в этот объём.

Из теоремы Гаусса следует так же то, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора , т.е. магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.

В дифференциальной форме теорема Гаусса для поля имеет вид

или , т.е.

Дивергенция поля всюду равна нулю. Этот закон справедлив не только для постоянных, но и для переменных магнитных полей.

2). Теорема о циркуляции вектора (для магнитного поля постоянных токов в вакууме).

Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

.

Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.

Если ток I распределён по объёму, то его можно представить как , гдеS – произвольная поверхность, натянутая на контур l .

Векторобразует с направлением обхода контура правовинтовую систему.

В общем случае .

Из теоремы о циркуляции следует, что магнитное поле не потенциальное (в отличие от электростатического). Такое поле называют вихревым или соленоидальным.

Теорема о циркуляции вектора позволяет намного легче чем закон Био – Савара вычислять магнитные поля в некоторых симметричных системах.

В дифференциальной форме теорема о циркуляции вектора имеет вид:

или

Ротор поля вектора магнитной индукции равен произведению магнитной постоянной на плотность электрического тока в данной точке пространства.

Применение теоремы о циркуляции вектора