§10. Парабола.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от каждой из которых до фиксированной точки плоскости, называемойфокусом параболы, равно расстоянию до фиксированной прямой, называемойдиректрисойпараболы.

уПусть фокус имеет координаты (p/2,0):F(p/2,0), а директриса

записывается уравнением х = −р/2. Расстояние между фокусом

•M(x,y) и директрисой равнор − параметру параболы (рис.7).

Точки параболы удовлетворяют уравнению:

−р/2 F х

После простых преобразований получим каноническое уравнение

параболы: у²= 2рх.

Рис.7

§11. Кривые второго порядка – заключение.

В предыдущих параграфах были рассмотрены тривида кривых второго порядка: эллипсы,

гиперболы и параболы, а также их частные и вырожденные случаи. Два первых вида называют

центральными кривыми. Параболы – не центральные. Можно доказать (это будет сделано

позже), что этими тремя видами исчерпываются всекривые второго порядка. Из примера §8 видно, что слагаемые 1 – ой степени в уравнении кривой (§6) влияют только на параллельный перенос кривых. В дальнейшем будет доказано, что слагаемое 2Вхуопределяет поворот

кривой вокруг начала координат.

§12.Аналитическая геометрия в пространстве.

Поверхности в пространстве задаются либо уравнением с тремя переменными:

либо в параметрической форме:

Линии в пространстве задаются пересечением двух поверхностей, или параметрически:

т.е.

При решении задач в пространстве особенно важно знать геометрический смысл параметров, входящих в уравнения.

§13. Плоскость в пространстве.

Определение.Плоскостью называется геометрическое место концов векторов, имеющих общее начало и ортогональных данному ненулевому вектору, называемому нормальным вектором плоскости.

Для вывода уравнения плоскости Рзафиксируем т.и нормальный вектор

(рис.8).Тогда. Отсюда получаем:

− уравнение плоскости, проходящей через

т. и ортогональной вектору.

Если раскрыть скобки и обозначить , то получимобщее уравнение плоскости:

Замечание. И в общем уравнение плоскости коэффициентыА, ВиС являютсякоординатами

вектора нормали.

§14. Специальные случаи уравнения плоскости.

1. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Пусть тт. Необходимым и достаточным условием принадлежности т.Мтой же плоскости является компланарность векторовВ свою очередь, условие компланарности (гл.I,§11,св.2) приводит к следующему уравнению:

2. Уравнение плоскости в отрезках.

Возьмем в качестве предыдущих точек точки пересечения с осями координат:

z

cУравнение плоскости примет вид:

• М₀

b y

a

х рис.8