MetKul2006-5.04.06

Хевисайда или условных операторов. Например, для закона движения изображенного на рис. 4, вторую передаточную функцию можно записать так

(1)

Для построения диаграммы этой функции необходимо определить значения передаточных функций aqB1,aqB2,aqB3,aqB4 иVqBm1,VqBm2 . Эти

значения определяются по условиям движения:

1.в конце фазы разгона первая передаточная функция достигает мак-

симума,

2.в конце фазы удаления перемещение максимально, а первая передаточная функция равна нулю.

На рис. 4 изображены цикловые геометрические характеристики кулачкового механизма с толкателем. В общем случае aqB1 ≠aqB2 , тогда для

фазы удаления из второго условия aqB1 φур =aqB2 (φу −φур) и hB =0.5 VqBm1 φy , а из первого VqBm1 =aqB1 φур . Аналогично для фазы сближения aqB3 φcр =aqB4 (φc −φcр); hB =0.5 VqBm2 φc и

VqBm2 =aqB3 φуc .

Из этой системы уравнений по заданным фазовым углам φy ,φc , отно-

шениям aqB1 / aqB2,aqB3 / aqB4 и максимальному перемещению (ходу) тол-

кателя hB определяются aqB1,aqB2,aqB3,aqB4 и VqBm1,VqBm2 . Двукрат-

ным интегрированием уравнения (1) по обобщенной координате получаются выражения для первой передаточной функции и функции положения

11

(2)

(3)

Цикловые графики кулачкового механизма, рассчитанные по выражениям (1)-(3) в системе MathCAD2001, приведены на рис.5.

Графо-аналитический метод построения цикловых диаграмм целесообразно использовать в тех случаях, когда аналитическое описание исходной диаграммы затруднительно. Так для кулачкового механизма регулятора давления в качестве исходной принимается диаграмма перемещения толкателя, ординаты которой пропорциональны относительной скорости в паре пор- шень-цилиндр. Расчет масштаба перемещения толкателя осуществляется по

12

руется и получаются диаграммы VqB = f (ϕ1) и aqB = f (ϕ1) . Методы гра-

фического дифференцирования и интегрирования подробно описаны в учебной и справочной литературе [2,3,4].

hB

φу

VqBm1

VqBm2

φур

aqB4

aqB1

aqB2

aqB3

Рис.5

13

Рис.6

14

Так как в курсовом проекте обычно задана диаграмма второй переда-

точной функции aqB = f (ϕ1) , то далее рассматривается пример ее графи-

ческого интегрирования и построения диаграмм SB = f (ϕ1) и

VqB = f (ϕ1) . Вначале строится заданная диаграмма второй передаточной

функции в произвольном масштабе с соблюдением условий циклового движения толкателя. Для этого необходимо, чтобы площадь под кривой второй передаточной функции на участке разгона, была равна (с противоположным знаком) соответствующей площади на участке торможения. На рис. 6 приведен пример графического интегрирования диаграммы второй передаточной функции. Подробно рассматривается интегрирование на фазе удаления. По оси х отрезок, соответствующий фазе удаления, разбиваем на n малых интервалов. Число участков разбиения должно быть оптимальным: малое число участков увеличивает погрешность аппроксимации, большое - накопленную погрешность. Обычно, при графическом решении, это число не менее 6 и не более 24. На каждом участке приближенно определяем среднее интегральное значение функции (площадь аппроксимирующего прямоугольника равна площади соответствующей трапеции). Ординаты среднеинтегральных значе-

p'a', p'b', p'c', p'd', p'e', p' f ' с концом отрезка интегрирования p'. В

системе координат первой передаточной функции в переделах каждого уча-

стка проводим прямые pa,ab,bc,cd,de,ef параллельные соответствующим прямым p'a', p'b', p'c', p'd', p'e', p' f '. Началом прямой на рассмат-

риваемом участке является точка пересечения аналогичной прямой предыдущего с границей между этими участками. Например, на втором участке от-

резок ab, параллельный p'b' , начинается в точке a - точке пересечения отрезка pa с вертикальной прямой, разделяющей участки один и два и за-

15

канчивается в точке b- точке пересечения отрезка abс вертикальной прямой, разделяющей участки два и три. Полученная ломаная кривая сглаживается сплайном. Масштабы полученных диаграмм рассчитываются по величи-

не максимального хода толкателя hB и выбранным отрезкам интегрирова-

ния kaq и kVq :

где µS - масштаб перемещения толкателя, µVq - масштаб первой пере-

даточной функции и µaq - масштаб второй передаточной функции.

3. Определение основных размеров кулачкового механизма К основным размерам плоского кулачкового механизма относятся: ра-

диус начальной шайбы центрового профиля r0 , радиус ролика rp или радиус сферы рабочего профиля толкателя rc , эксцентриситет e (для механизма с толкателем) или межосевое расстояние aw (для механизма с коромыслом).

16

Радиус r0 определяется по критерию минимальных размеров кулачка

при ограничении по максимальной величине угла давления. При этом используют следствие основной теоремы зацепления, которое для задачи синтеза механизма с коромыслом формулируется так: «Если на продолжении лу-

ча, проведенного из центра вращения ведомого звена (точки О2) через контактную точку на центровом профиле (точку K), отложить от точки K

отрезок длиной lKD = VK2 / ω1 = VqK2 и через конец этого отрезка провести прямую параллельную контактной нормали, то эта прямая пройдет через центр вращения ведущего звена точку О1 .» Угол давления в кулачковом ме-

ханизме имеет физический смысл только на фазе удаления. В механизме с силовым замыканием кулачок вызывает движение толкателя только на фазе удаления. На фазе сближения его движение обеспечивается силой упругости пружины или силой веса толкателя. При геометрическом замыкании, например, когда ролик толкателя расположен в пазу кулачка, удаление толкателя осуществляется внешней поверхностью паза, а сближение – внутренней поверхностью. Движение толкателя, как при удалении, так и при сближении, осуществляется за счет силового воздействия со стороны кулачка. При реверсивном вращении кулачка с изменением направления вращения меняются местами фазы движения толкателя: фаза сближения становится фазой удаления, а фаза удаления – фазой сближения.

Зона, в которой выбирается центр вращения кулачка, определяется графически на основе диаграммы зависимости SB = f (VqB ). Необходимым

условием построения этой диаграммы является равенство масштабов по осям

SB и VqB , то есть µS =µVq . Это условие легко объяснимо. Определение

размеров проводится по величине угла, то есть построением прямоугольного треугольника. Для построения треугольника необходимо выполнить условие равенства масштабов по осям. Последнее время в методических указаниях и даже учебниках [1,3] диаграмма зависимости SB = f (VqB ) называется «фа-

17

зовым портретом», а в качестве единицы измерения кинематической передаточной функции скорости предлагается использовать не метр - м, а метр на радиан – м/рад. С этим нельзя согласиться. Координатная плоскость диа-

граммы SB = f (VqB ) это плоскость чертежа (по осям абсцисс и ординат от-

кладываются единицы длины в одном масштабе), а не «фазовая плоскость». Поэтому термин «фазовый портрет» нельзя применять к диаграмме

SB = f (VqB ). Радиан - угол между двумя радиусами окружности, дуга межу

которыми по длине равна радиусу. Радиан является дополнительной безразмерной единицей системы СИ. Его нельзя включить в число основных единиц, так как вызвало бы затруднения в трактовке размерностей величин связанных с вращением (дуги окружности, площади круга, работы пары сил и т.д.). Однако радиан нельзя отнести и к производным единицам, так как он не зависит от выбора основных единиц. При любых единицах длины размеры

18

дината текущего значения перемещения точки В - ySB , по оси х откладыва-

ется в том же масштабе абсцисса первой передаточной функции - xVqB (на-

правление в котором откладывается xVqB определяется вектором S B повер-

нутым в направлении движения кулачка ϕ1 на 90°), полученные точки со-

единяются сплайном или кривой Безье. Для построения зоны возможного расположения центра вращения кулачка (на рис.7 заштрихована) проводятся два луча – aa и bb. Луч aa проводим касательно к диаграмме так, чтобы с

вектором перемещения S B он образовывал угол [ϑ]- допустимый угол дав-

ления. Луч bb проводится через начало координат тоже под углом [ϑ] с век-

тором перемещенияS B, однако угол в этом случае откладывается в проти-

воположную сторону. Точка пересечения лучей aa и bb определяет на плос-

кости чертежа вершину искомой области. Расстояние от этой точки Om до начала координат соответствует минимальному радиусу начальной шайбы кулачка . При этом кулачковый механизм необходимо выполнить с эксцентриситетом . Минимальный радиус для центрального механиз-

ма r0* определяется точкой O* , точкой пересечения границы области с ли-

нией перемещения толкателя (линией нулевого эксцентриситета). В любой точке заштрихованной области можно расположить центр вращения кулачка, при этом максимальный угол давления в высшей паре не превысит допусти-

мого значения [ϑ]. С увеличением радиуса начальной шайбы r0 увеличива-

ются размеры механизма, но уменьшается угол давления. Как отмечалось выше, для механизма с реверсивным вращением при изменении направления вращения кулачка меняются местами фазы удаления с фазами сближения. Определение радиуса r0 осуществляется с использованием двух диаграмм

19

будет отирцательной). Зона для выбора центра вращения кулачка (на рисун-

ке заштрихована), определяется пересечением лучей aa и bb, проведенных под углом давления[ϑ] касательно к диаграммам.

Минимальному радиусу начальной шайбы кулачка r0 min соответству-

ет точка Om . Так как диаграмма на рис.9 симметрична оси ординат, то полу-

чается механизм без эксцентриситета. Если эксцентриситет задан, то есть при выборе r0* необходимо одновременно учесть два условия: допустимый угол

давления и эксцентриситет. В этом случае точка O* определяется пересечением линии заданного эксцентриситета с границей заштрихованной зоны. При реверсивном движении одно из направлений принимается за основное, другое – за вспомогательное. Если направление эксцентриситета не диктуется конструктивными соображениями, то его откладывают по оси абсцисс для

20