5.3 Специальные виды векторных полей.

Векторное поле называется потенциальным, если , где -скалярная функция (потенциал векторного поля).

Для потенциальности векторного поля , заданного в односвязной области, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т.е. чтобы . В этом случае существует потенциал поля , который может быть вычислен по формуле , где - некоторая фиксированная точка. Для вычисления интеграла можно выбрать любой путь, соединяющий точки и . Наиболее простым является путь, составленный из эвеньев ломаной, параллельных осям координат, причём за точку , если это возможно, удобно принимать начало координат.

Векторное поле называется соленоидальным, если в каждой точке поля . Для соленоидального поля поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Векторное поле , в каждой точке которого и , называется гармоническим.

11.104 Проверить, является ли векторное поле потенциальным?

а) ; б) ;

в) ;

г) .

11.105 Найти потенциал векторного поля :

а) ; б) .

11.106 Проверить, является ли векторное поле соленоидальным?

а) ; б) ;

в) ;

г) .

11.107 Проверить, является ли векторное поле гармоническим? ( , )

а) ; б) ; в) ; г) .

5.4 Поток и циркуляция векторного поля.

Линейным интегралом от вектора по кусочно-гладкой ориентированной кривой (работой поля вдоль ) называется число . Если кривая - замкнутая, то линейный интеграл называется циркуляцией векторного поля вдоль и обозначается .

Если замкнутая кусочно-гладкая кривая , ограничивает двустороннюю поверхность , то справедлива формула Стокса

,

где - единичный вектор нормали к поверхности , направление которого выбирается так, чтобы для наблюдателя, смотрящего по направлению , обход контура совершался против хода часовой стрелки.

Если замкнутая кусочно-гладкая поверхность , ограничивает объём , то справедлива формула Гаусса-Остроградского

,

где - единичный вектор внешней нормали к поверхности .

В задачах 11.108-11.111 используя формулу Стокса, найти циркуляцию векторного поля вдоль контура , ориентированного против хода часовой стрелки:

11.108 , .

11.109 , .

11.110 , .

11.111 , .

В задачах 11.112-11.115 найти работу силового поля вдоль кривой :

11.112 , - наименьшая дуга окружности от точки до точки .

11.113 , - часть графика от точки до точки .

11.114 , - полуокружность от точки до точки .в области .

11.115 , - дуга эллипса ( ) от точки до точки .

В задачах 11.116-11.117 найти поток векторного поля через ориентированную нормалью поверхность :

11.116 , - часть внешней стороны параболоида , отсечённая плоскостью .

11.117 , - часть внешней стороны цилиндра , расположенная в первом октанте между плоскостями и .

11.118 , - часть внешней стороны параболоида , расположенная в первом октанте.

11.119 , - часть внешней стороны сферы , расположенная в области .

В задачах 11.120-11.123, используя формулу Гаусса-Остроградского, найти поток векторного поля через замкнутую поверхность :

11.120 , - полная внешняя поверхность куба: , , .

11.121 , - полная внешняя поверхность конуса .

11.122 , - полная внешняя поверхность тела , , , .

11.123 , - полная внешняя поверхность тела .

267