4.2 Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики, физики и экономики.
Статические
моменты
и
,
моменты
инерции
и
,
масса
,
координаты
и
центра масс
дуги кривой
,
относительно осей
и
вычисляются по формулам:
,
,
,
,
,
,
.
При параметрическом
задании дуги кривой
,
,
:
,
,
,
.
Путь
,
пройденный телом
со скоростью
за отрезок времени
,
равен
.
Работа
переменной силы
,
действующей вдоль оси
на отрезке
,
равна
.
Объём продукции
,
произведённой за отрезок времени
при производительности
,
равен
.
Издержки
производства
при известной функции издержек
и заданном изменении объёма
производства
равны
7.263 Найти
статический момент синусоиды
относительно оси Ох.
7.264 Найти
статический момент и момент инерции
относительно оси Ох
дуги кривой
.
7.265 Найти статический момент и момент инерции полуокружности радиуса а относительно ее диаметра.
7.266 Найти
статический момент и момент инерции
относительно оси Ох
одной арки
циклоиды
.
7.267 Найти
координаты центра масс дуги окружности
,
расположенной в первой четверти.
7.268 Найти
координаты центра масс дуги астроиды
,
расположенной выше оси Ох.
7.269 Найти
массу стержня длины
,
если линейная плотность стержня меняется
по закону
(кг/м3) ,
где
- расстояние от одного из концов стержня.
7.270 Скорость
прямолинейного движения тела выражается
формулой
(м/сек).
Найти путь
,
пройденный телом за
от начала движения.
7.271 Вычислить
путь, пройденный свободно падающим в
пустоте телом за
,
если известно, что скорость
свободного
падения в пустоте определяется формулой
,
где
-
начальная скорость тела,
-
ускорение свободного падения.
7.272 Скорость
тела, брошенного вертикально вверх с
начальной скоростью
,
без учета сопротивления воздуха равна
,
где t-
протекшее время, g-
ускорение свободного падения. На какую
максимальную высоту поднимется тело?
7.273 Какую
работу надо затратить (в
),
чтобы растянуть пружину на
,
если сила в
растягивает её на
(Указание:
по закону Гука сила прямо пропорциональна
растяжению пружины).
7.274 Сила
тока, измеряемая в амперах, определяется
формулой
.
Найти количество электричества (в
кулонах), протекшее через поперечное
сечение проводника за
,
считая время от начала опыта.
7.275 Найти
количество тепла
,
выделяемое переменным током
за время
в проводнике с сопротивлением
(Указание:
по закону Джоуля-Ленца количество тепла,
выделяемой постоянным током за время
,
равно
).
7.276 Сила
переменного тока меняется по закону
,
где
-период.
Найти среднее значение силы тока за
полупериод
.
7.277 Найти среднее значение издержек производства некоторой продукции при заданном изменении объёма производства , если функция издержек имеет следующий вид:
а)
,
;
б)
,
.
7.278 Доход
от инвестиций в некоторое производство
равен нулю в течение первого года, а
затем изменяется по закону
,
где
-
время в годах. Найти среднее значение
дохода от инвестиций в течение первых
пяти лет.
7.279 Найти
среднее значение издержек производства
и объём продукции
,
при котором издержки, задаваемые функцией
,
принимают
среднее значение.
7.280 Определить
объём продукции, произведённой рабочим
за указанный промежуток времени рабочего
дня, если производительность труда
характеризуется функцией
:
а) за
пятый час рабочего дня; б)
за первые 3
часа рабочего дня.