Глава 7. Интегральное исчисление
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
§1. Неопределённый интеграл.
Функция
называется первообразной
для функции
на промежутке
,
если
для всех
.
Функция
может иметь различные первообразные,
но все они отличаются друг от друга
только постоянными слагаемыми. Поэтому
все первообразные для
содержатся в выражении
,
где
-
произвольная постоянная, которое и
называется неопределённым
интегралом
от функции
и обозначается
.
Таким образом, по определению
.
Операция нахождения первообразной или неопределённого интеграла от функции называется интегрированием этой функции. Функция для которой на промежутке существует первообразная или неопределённый интеграл называется интегрируемой на этом промежутке. Первообразная и неопределённый интеграл на промежутке существуют у любой непрерывной на этом промежутке функции. Нахождение неопределённого интеграла состоит в таком преобразовании подынтегрального выражения, чтобы получить интегралы из таблицы основных интегралов (приложение №4).
Основные свойства неопределённого интеграла:
1.
.
2.
.
3.
(
).
4.
.
5. Если
,
то
,
.
Основными методами интегрирования являются: непосредственное интегрирование, интегрирование заменой переменной и по частям.
Непосредственным
интегрированием
(интегрированием методом
разложения)
функции
называют отыскание неопределённого
интеграла
с помощью тождественных преобразований
подынтегральной функции
,
свойств 3-4
неопределённого интеграла и таблицы
основных интегралов.