Формула Эйлера

При рассмотрении комплексных чисел использовалась без доказательства формула Эйлера . Теперь появилась возможность ее доказать. Используем разложение функции

.

Примем (в разложении использована договоренность, что). Тогда

.

Если учесть, что и т.д., то

,

Сравнивая полученное выражение с разложениями

,

,

нетрудно убедиться, что формула Эйлера справедлива.

Ряды Фурье

Наряду со степенными рядами к наиболее распространенным функциональным рядам относятся ряды Фурье.

Классический ряд Фурье – это ряд вида

,

где постоянные коэффициенты. Таким образом, ряды Фурье - тригонометрические, а их сумма - периодическая функция с периодом.

Данное обстоятельство существенно ограничивает область применимости рядов Фурье, так как далеко не всякий реально происходящий процесс является периодическим, да еще с периодом . Поэтому основные усилия математиков были направлены на смягчение указанных ограничений путем внесения некоторых дополнительных условий, о чем будет сказано ниже.

Рассмотрим систему функций, входящих в ряд Фурье

Эта система функций обладает двумя важнейшими свойствами - ортогональностью и полнотой.

Определение 1. Систему функций называют ортогональной на некотором промежутке, если выполняются условия:

, .

Когда , система называется нормальной.

Покажем, что система функций

является ортогональной системой на интервале . Для этого вычислим несколько интегралов

    ,

,

,

,

,

,     ,

.

Итак, доказано, что интегралы от произведений разных функций этой системы равны нулю, интегралы от произведений одинаковых функций равны и. Ортогональность системы функций доказана.

Определение 2. Система функций является полной в заданном промежутке, если нет ни одной, не входящей в эту систему, функции, кроме функции, тождественно равной нулю, ортогональной функциям системы.

Например, система косинусов не обладает полнотой, так как любойортогонален и к 1, и ко всем функциям. Следствием этого является то, что в ряды по косинусам можно разлагать не все, а только четные функции. По той же причине не обладает полнотой и система синусов, что позволяет разлагать в ряд Фурье по синусам только нечетные функции. Доказательство полноты достаточно сложно, поэтому ограничимся утверждением, что вышеприведенная система тригонометрических функций полна.

Полнота системы функций обеспечивает единственность разложения в ряд Фурье (представления в виде ряда Фурье) любой, удовлетворяющей некоторым условиям, функции, что весьма ценно при решении с помощью рядов Фурье всевозможных уравнений.

Определение 3. Если функция в некоторой области имеет конечное число точек разрыва первого рода (конечные разрывы), а между этими точками она непрерывна, такая функция называется кусочно-непрерывной.

Определение 4. Если в некоторой области функция имеет конечное число точек, между которыми она дифференцируема, а в самих этих точках существуют конечные значения левых и правых пределов, как самой функции, так и ее производной, то она называется кусочно-дифференцируемой в этой области.

Теорема. Для любой кусочно-дифференцируемой, периодической с периодом функцииее ряд Фурье сходится, а его сумма равна

,

здесь правый и левый пределы функциипри(теорема приводится без доказательства).

Следствие. Сумма ряда равна , если функция непрерывна.

Известно, что ряд Фурье, представляющий разложение периодической непрерывной функции, сходится равномерно.

Разложение в ряд Фурье периодической функции

Теорема. Если периодическая функциянепрерывна (или кусочно-непрерывна), то значение интегралане зависит от.

Доказательство. .

В последнем интеграле сделаем замену переменной

,

что следует из периодичности подынтегральной функции. Тогда

.

Теорема доказана, поскольку .

Пусть периодическая, кусочно-дифференцируемая функция, следовательно, она разложима в ряд Фурье

.

Определим коэффициенты этого разложения, для чего умножим обе части равенства на и проинтегрируем в пределах отдо. Тогда

.

Из ортогональности системы тригонометрических функций, это было доказано выше, следует, что интеграл , а все остальные интегралы в правой части равенства равны нулю. В этом случае

.

Нетрудно заметить, что полученная формула справедлива для .

Умножим обе части исходной формулы на и проинтегрируем в тех же пределах

.

Также из ортогональности рассматриваемых функций следует , все остальные интегралы в правой части равенства равны нулю, отсюда имеем

.

Здесь при интегрировании использовалась только что доказанная теорема.

Таким образом,

,

причем ,.

Разложение в ряд Фурье периодической функции

Обобщим полученный результат на функции с периодом . Очевидно, такая возможность несколько расширяет область применимости рядов Фурье.

Пусть дана кусочно-дифференцируемая, периодическая с периодом функция, то есть удовлетворяющая условию. Перейдем от переменнойк переменной, считая при этом. Тогда функция, причемосталась периодической, но ее период стал. Проверим это:

.

Отсюда имеем , что требовалось доказать.

Теперь воспользуемся разложением в ряд Фурье периодической функции

,

причем ,.

Сделаем обратную замену , тогда

,

при этом

,

.

Таким образом, периодическая, кусочно-дифференцируемая функция может быть представлена в виде ряда Фурье

,

Где

,    .

Разложение в ряд Фурье четной, или нечетной

периодической функции

Лемма 1. , если подынтегральная функция нечетна.

Доказательство. Очевидно, , сделаем в первом интеграле правой части замену переменной с учетом того, что,

.

Тогда . Доказано.

Лемма 2. , если подынтегральная функция четна.

Доказательство. В первом интеграле правой части равенства сделаем ту же замену переменной с учетом четности подынтегральной функции, тогда

.

В результате .

Разложение четной функции

1а). Имеем четную, периодическую с периодом функцию. Воспользуемся ее представлением рядом Фурье

,

где

,    .

Поскольку - четная функция,также четная функция как произведение четных функций, а- нечетная как произведение четной и нечетной функций. В соответствии с леммами 1 и 2, имеем, тогда

,

где .

1в). Если - четная,периодическая, кусочно-дифференцируемая функция, как частный случай получаем

,

причем .

Разложение нечетной функции

2а). Пусть - нечетная, периодическая с периодомфункция. Воспользуемся формулами

,

где

,    .

Поскольку в первом интеграле подынтегральная функция нечетна, а во втором четна, то , и

,

где .

2в). Для нечетной, периодической с периодом функции имеем

,

где

.

Разложение в ряд Фурье непериодической функции,

заданной в некотором промежутке

I. Пусть кусочно-дифференцируемая функция интересует нас только в промежутке. Как представить ее в виде ряда Фурье? Поскольку разложение непериодической функции в ряд Фурье невозможно, поступают следующим образом. Вместо заданной на интервалефункции рассматривается периодическая с периодомфункция, которая периодически продолжает функциюна всю числовую ось, то есть на каждом интервале длинойвсей числовой оси она принимает значение.

Теперь функция , как периодическая, может быть представлена в виде ряда Фурье

,

где

,    .

Но при определении коэффициентов разложения интегрирование происходит на интервале , где функцииисовпадают, следовательно, в этом промежутке одну из этих функций можно заменять другой. Совершив замену функций, получаем, что в промежуткеможно использовать разложение

,

где

,    .

При этом возникают некоторые проблемы. Вне промежутка и на его границах значения функцийиразличаются. Известно, что

,

.

Таким образом, на границах интервала значения функцийисовпадают только в случае.

Вне интервала функциии, как правило, вообще не имеют ничего общего.

В итоге, если исследователя интересуют только внутренние точки интервала и не важно различие значений функцийина границах этой области, для непериодической функции можно использовать разложение

,

где

,    ,

причем в определении коэффициентов ряда функция фактически не участвует.

Пример замены заданной в промежутке функциипериодической функциейприведен на рисунках 50 и 51.

Рисунок 50. Рисунок 51.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию на интервале.

Рисунок 52.

Очевидно,

,

причем

,

,

.

Тогда

.

Нетрудно заметить, что функция на границах интервала принимает значенияи, тогда как ряд Фурье на обеих границах дает значение 2.

II. Пусть кусочно-дифференцируемая непериодическая функция рассматривается в промежутке. В этом случае необходимо продолжить заданную функцию на интервал, затем применить процедуру, описанную в пунктеI. Поскольку на область функция может быть продолжена произвольным образом, появляется несколько вариантов продолжения, и при решении конкретной задачи можно использовать наиболее удобный из них. Рассмотрим несколько вариантов продолжения. Один из них – продолжить функцию так, чтобы она стала четной, тогда разложение в ряд будет содержать только косинусы. Второй вариант – продолжить функцию так, чтобы она стала нечетной, ряд Фурье будет содержать только синусы. Третий вариант – считать в областифункцию равной нулю, тогда в ряде Фурье будут присутствовать и синусы, и косинусы, а при определении коэффициентов разложения интегрирование будет проводиться от 0 до. Возможны и другие варианты продолжения функции.

В разложении в ряд Фурье с помощью МАКСИМЫ используются следующие команды

Первая команда показывает, что имеет место разложение в ряд Фурье, вторая команда задает разлагаемую функцию, переменную разложения и полупериод разложения. На выходе выдаются коэффициенты ряда Фурье. Третья команда выдает, и коэффициенты, и весь ряд Фурье.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале. Рассмотрим два варианта решения.

А) Продолжим функцию на область естественным образом, то есть рассмотрим ее на интервале. Поскольку, а функция нечетна, ее разложение имеет вид

,

где

Тогда

.

Заметим, что в граничных точках интервала сама функцияпринимает значенияи 1 а ряд Фурье в этих точках дает значение, равное 0.

Разложение с помощью МАКСИМЫ функции, заданной на интервале,

Отметим, что в последней команде приводится общий вид коэффициента и упрощенный вариант, учитывающий, чтоn – целое.

В) Продолжим на интервал функцию как четную, тогда ее график будет совпадать с графиком функции:

Рисунок 53.

В этом случае

,

причем

,

.

Очевидно, .

При помощи МАКСИМЫ разложим функцию , или функцию, заданную на интервале, продолженную на областькак четную

Примеры для самостоятельного решения

Разложить в ряды Фурье на указанных интервалах следующие функции

16.9. , 16.10.,

16.11. , продолжив ее как четную,

16.12. , продолжив ее как нечетную.

Интеграл Фурье

Еще один вариант представления непериодической функции в виде ряда Фурье заключается в том, что период функции принимается . Тогда ряд Фурье переходит в интеграл Фурье. Покажем, как это делается.

Запишем вначале ряд Фурье для промежутка

,

где

,    .

При определении коэффициентов интегрирование по переменной заменено интегрированием по, что не меняет сути дела, но необходимо для дальнейшего вывода формул. Подставляем значения коэффициентов в ряд

,

откуда следует

. (*)

Пусть функция определена на промежуткеи разложима на интервалепри любом, сколь угодно большом, значении. Осуществим переход к пределу в формуле (*) при. Интегралдолжен принимать конечное значение, в противном случае разложение в ряд Фурье невозможно, тогда первое слагаемое в формуле (*) пристремится к нулю. Преобразуем оставшийся член, обозначив,

,

что равносильно разбиению интервала на равные отрезки длиной. Тогда второе слагаемое суммы (*) принимает вид

или

.

Полученное выражение очень напоминает интегральную сумму Римана для функции на интервале. Переходя к пределу при, получаем

.

С помощью формулы для косинуса разности полученное соотношение можно представить следующим образом

,

где

.

Таким образом, получено представление функции через интеграл Фурье. Имеет место теорема, которая утверждает, что если эта функция кусочно-дифференцируема в каждом конечном промежутке и абсолютно интегрируема в промежутке, то в любой точке промежуткаее интеграл Фурье сходится и имеет значение

.

Для непрерывной в области функции интеграл Фурье сходится и принимает значение.

130