Глава III. Применение интеграла Стилтьеса

3.1 Применение в теории вероятностей

В элементарной теории вероятностей, где рассматриваются случайные величины , которые могут принимать только конечное множество значений, среднее значение или математическое ожиданиеопределяется формулой:

(1)

Имея эту формулу, мы можем при помощи интеграла Стилтьеса распространить определение среднего значения на случайные величины , которые могут принимать любое множество значений, заключенное в каком-нибудь ограниченном интервале, - если только мы примем следующую аксиому:

Каковы бы ни были функции ислучайной величины, для которых всегда, для них будут иметь место также и неравенства:

(2)

Чтобы распространить определения среднего значения, возьмем какое-нибудь подразделение

и пусть и, когдаЗдесь, и поэтому в силу условия (2):

Величины же и, таким образом определенные, могут принимать соответственно только значенияи, а потому по формуле (1):

С другой стороны, очевидно, что вероятности иобе равны вероятности, и потому

Итак, если ввести функции распределения случайной величины:

Верхняя грань сумм в левой части и нижняя грань сумм в правой части этих неравенств обе равны интегралу Стилтьеса функции , взятому в пределах отдо; последний всегда существует, как интеграл непрерывной функции, ограниченной в промежутке интегрирования. Итак, для среднего значениядолжно иметь место равенство:

.

Несколько сложнее обстоит дело со случайными величинами, которые могут принимать неограниченное множество значений. Если такая случайная величина может принимать только счетное множество значений, то среднее значениеопределяется формулой

, (3)

причем ряд в правой части этой формулы должен быть абсолютно сходящимся, иначе его сумма зависела бы от порядка, в котором перенумерованы значения случайной величины, и среднее значение не было бы однозначно определено.

Имея формулу (3), мы можем при помощи соответствующим образом определенного несобственного интеграла Стилтьеса распространить определение среднего значения и на многие такие случайные величины, которые могут принимать несчетное неограниченное множество значений.

Приведем пример вычисления среднего значения случайной величины, для которой это вычисление требует именно интеграла Стилтьеса, незаменимого ни обычным интегралом, ни конечным, ни бесконечным рядом.

Пусть случайная величина определяется следующими условиями:

Она может принимать только значения между 0 и 1. Таким образом, её функция должна быть равна 0 при x<0 и равна 1 при .

0 1

Она не может принимать ни одного значения в интервале ; попадание в соседние интервалы равновероятно. Таким образом, в интервалееё функция распределения должна быть постоянна и равна.

В каждом из крайних интервалов повторяется такая же картина, т.е. не может принимать ни одного значения в интервалеи, попадание же в четыре интервала,,,для неё одинаково вероятно. Таким образом, в интервалахиеё функция распределения должна иметь постоянные значения: в первоми во втором.

Такая же картина повторяется и в каждом из названных четырех интервалов длины и т.д.

0 1

0 1

Повторив раз наше рассуждение, мы будем иметьинтервалов, каждый длины; дляиз этих интервалов вероятность попадания в каждый из них будет равна, попадание в остальные будет невозможно. В этих последующих функция распределения будет постоянна. Чтобы определить функцию распределения в каждой точке интервала, достаточно представить себе, что мы повторяем такие же рассуждения бесконечное число раз. После этого даже в точках, оставшихся вне интервалов, в которых функция распределения постоянна, она должна была получить определенные значения в силу того, что она должна быть неубывающей.

В самом деле, и слева, и справа от каждой такой точки, с обеих сторон как угодно близко к ней, будут встречаться интервалы, в которых функция распределения постоянна, потому что по мере расширения этих интервалов путем присоединения к имеющимся уже интервалам длины следующих интервалов длинырасстояния между ними становятся сколь угодно малыми.

Определив таким образом функцию распределения , мы уже без труда вычислим среднее значение.

Для этого достаточно обратиться к его геометрическому изображению. В данном случае оно изображается площадью, ограниченной прямыми ии кривой распределения. Но эта площадь в силу симметрии равна площади, ограниченной прямымиии кривой. Взятые же вместе эти площади составляют площадь квадрата равную 1. Отсюда ясно, что