50_000337

помехи, действующей на каждый из этих каналов, значение бита может быть заменено на противоположное с вероятностью 0.1. Вопрос - достаточна ли пропускная способность этих каналов для передачи информации, поставляемой источником?

6 Определить пропускную способность канала связи, если средняя мощность полезного сигнала равна S, полоса частот канала - F , а помехами являются тепловые шумы приемного устройства, имеющего температуру T . Построить (качественно) график зависимости пропускной способности от полосы частот F .

7 Найти пропускную способность канала с амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ), если число уровней сигнала равно 16, полоса частот исходного сигнала - F , сигнал u(t) равномерно распределен в диапазоне ( UM ; +UM ); при этом вероятность искажения, выражающая возможность перехода в соседний уровень, равна 5%.

81

Лекция 7

Непрерывные каналы связи

7.1 Непрерывные каналы связи и источники сообщений

7.1.1Гауссова модель канала связи

Реальные непрерывные каналы связи являются сложными инерционными объектами с нелинейной передаточной характеристикой1. Для представления непрерывных каналов связи разработано множество моделей представления; в рамках данного курса лекций мы рассмотрим одну из наиболее примитивных, но и наиболее используемых для целей аналитического вывода моделей - гауссов канал связи. Итак, под гауссовым каналом связи понимают математическую модель канала связи, построенную при следующих допущениях:

1Основные физические параметры канала являются известными детерминированными величинами;

2 Полоса пропускания ограничена верхней частотой в Fmax = W герц;

3В канале действует аддитивный белый гауссовый шум2. Данный тип шума является случайным сигналом с равномерной спектральной плотностью3, нормально распределенным значением амплитуды и аддитивным способом воздействия. АБГШ - тип случайного процесса с отсутствием корреляции между соседними временными от-

1Упрощенно - с нелинейной зависимостью между входом и выходом рассматриваемой динамической системы - канала связи.

2Здесь и далее - АБГШ. В английской нотации - AWGN (additive white gaussian noise). 3Спектральная плотность - форма представления распределения энергии сигнала на ча-

стотную плоскость.

82

счетами; в рамках данной лекции рассматриваемый канал также является каналом без памяти.

Аналогично случаю дискретного канала, пропускной способностью непрерывного канала связи называется максимально возможная скорость C передачи информации по данному каналу:

где I(Z; U) - среднее количество информации, передаваемое в канале связи с учетом принимаемого ансамбля сообщений Z и передающего ансамбля U.

7.1.2Дискретизация, квантование и отношение сигнал-шум

Для определения пропускной способности непрерывного гауссового канала связи необходимо вначале определить некоторые дополнительные понятия и теоремы из теории связи:

Дельта-функция4 определяется как функция, удовлетворяющая следующим условиям:

+1; x = 0;

• (x) =

0; x 6= 0:

+1

• R (x)dx = 1;

1

+1

• R (x)f(x)dx = f(0) - т.н. фильтрующее свойство дельта-

1

функции для любой функции f.

Схематичное изображение дельта-функции приведено на рис. ниже:

4Синонимы - -функция; -функция Дирака; единичная импульсная функция. Дельтафункция позволяет записать пространственную плотность физической величины (массы, заряда, силы и т.п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке.

83

Рис. 7.1: Дельта-функция Дирака

Дискретизацией называется процесс отображения непрерывного5 сигнала в соответствующий ему дискретный, т.е. представленный в виде конечного множества отдельных отсчетов6 для некоторых моментов времени.

Равномерной дискретизацией называется дискретизация с фиксированным временным шагом sample между отсчетами. Процесс представления непрерывного сигнала U(t) на всей области определения в

виде определенной на том же интервале функции Udiscrete из I отсчетов при помощи равномерной дискретизации исходного может быть опреде-

лен с помощью фильтрующего свойства дельта-функции:

Процесс дискретизации отображен на рисунке ниже:

Рис. 7.2: Процесс дискретизации непрерывного сигнала

Кроме операции дискретизации для представления исходного непрерывного сигнала в виде дискретного сообщения производится также операция квантования:

5В радиотехнике более принято понятие аналогового cигнала.

6Мгновенных значений исходного сигнала; англ. эквивалент - sample.

84

Квантование - операция разбиения диапазона значений непрерыв-

ного или дискретного сигнала на конечное число интервалов.

Простейшим видом квантования является равномерное7 квантование, когда область значения исходной функции разбивается на конечное множество равных интервалов, величина которых называется шагом квантования и для каждого входного значения выбирается ближайшее квантованное. Также достаточно часто применяется термины глубина дискретизации, называемая также битностью или разрядностью. Разрядность определяет количество бит, выражающих амплитуду сигнала. Пусть сигнал U(t) имеет область значений U1; U2. Зададимся допустимым значением шага квантования Ustep. В этом случае количество интервалов квантования определяется как округление в большую сторону до целого:

Количество чисел, представляемых битностью сигнала, равно количеству интервалов квантования + 1. Таким образом, получаем значение требуемой битности сигнала:

Результат совместного использования операций дискретизации и квантования к исходному сигналу называется его представлением в виде цифрового сигнала или цифровым представлением и продемонстрирован на рис. ниже.

Рис. 7.3: Представление сигнала в цифровой форме

Перед рассмотрением одной из основных теорем теории связи - теоремы отсчетов Котельникова рассмотрим еще одно базовое понятие -

7Синонимы - однородное, линейное

85

отношение сигнал-шум и рассмотрим его базовый физический смысл.

Отношение сигнал-шум8 - безразмерная величина, равная отношению мощности полезного сигнала к мощности шума:

плитуды. Здесь и далее для сокращения выкладок будем обозначать

Psignal = S, а Pnoise = N.

7.2 Теорема Котельникова и пропускная способность непрерывных каналов связи

7.2.1Теорема Котельникова

Теорема 3 (Теорема Котельникова10). Если аналоговый сигнал u(t) имеет ограниченный спектр (т.е. ограничен верхней частотой Fmax, что при присутствии сигнала на всех частотах соответствует ширине полосы W = Fmax), то данный сигнал может быть восстановлен однозначно и без потерь по дискретному сигналу, сформированному из исходного; при этом частота дискретизации должна быть более удвоенной Fmax:

8Англ. обозначение - SNR - signal-to-noise ratio.

9Среднеквадратическое значение (англ. эквивалент - RMS (root-mean-square) имеет синонимичные термины - действующее или эффективное значение. Для любой периодической

10В англоязычной литературе - теорема Найквиста-Шеннона. Изначально теорема была сформулирована Гарри Найквистом в 1928 г. в работе Certain topics in telegraph transmission theory и является одной из основополагающих теорем в теории и технике цифровой связи. Приблизительно такие же результаты были опубликованы в том же году в Германии Карлом Купфмюллером. В СССР и России данная теорема традиционно связывается с именем Котельникова, независимо опубликовавшего аналогичные результаты в 1933 г. в своей работеО пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи .

86

, при этом непрерывный сигнал возможно восстановить по отсчетам имеющегося дискретного сигнала в виде ряда следующей формы:

Указанная теорема справедлива для идеального случая бесконечного сигнала, не имеющего во временной характеристике точек разрыва. Для реальных сигналов из теоремы Котельникова следует два следствия:

1Любой реальный непрерывный сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчетам, взятым с частотой fs > 2 Fmax.

2Если максимальная частота в сигнале превышает половину частоты прерывания, то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует.

Половина частоты дискретизации непрерывного сигнала называется частотой Найквиста и широко используется при решении задач цифровой обработки сигналов.

7.2.2Пропускная способность и формула Шеннона

Случай белого гауссового шума в канале соответствует максимальной энтропии, вносимой шумом в полученное непрерывное сообщение, т.е. соответствует максимальной ненадежности канала по Шеннону при заданном отношении сигнал-шум. Таким образом, модель гауссового канала возможно записать следующим образом:

где Z(t) - принимаемый сигнал; U(t) - передаваемый; n(t) - шум в канале связи. Ширина спектра сигнала U(t), передаваемого по каналу, как уже было указано выше, равна W , Гц. Таким образом, согласно теореме Котельникова, сигнал полностью определяется дискретными отсчетами Ui, идущими с частотой Fs = 2 W .

Так как отсчеты белого шума являются некоррелированными; рассматриваемый канал является гауссовым без памяти и исходный источник сообщений также являются источником без памяти и с нормальным законом распределения сообщений11, следовательно и дискретные отсчеты

11Что соответствует максимуму энтропии канала и источника, см. предыдущие лекции

87

принимаемого сигнала Z будут некоррелированными и количество информации, содержащейся в принимаемом сигнале, будет равно сумме количеств информации, содержащихся в его независимых отсчетах, следующих с частотой 2 Fmax. Количество информации о текущем значении передаваемого сигнала Ui, вносимое дискретным отсчетом принимаемого сигнала Zi может быть представлено в виде разности априорной энтропии этого отсчета и его апостериорной энтропии при известном отсчете передаваемого сигнала. Заменяя разность энтропий разностью соответствующих дифференциальных энтропий, получаем:

Отсчеты принимаемого сигнала, представляющие собой сумму двух нормальных случайных сигналов U(t) и Z(t), распределены по нормальному закону с дисперсией Z2 = U2 + AW2 GN . Апостериорная неопределенность принимаемого сигнала при известных значениях отсчетов передаваемого сигнала определяется значением шума, имеющего нормальное распределение с дисперсией AW2 GN . Таким образом, разность дифференциальных энтропий в 7.9 в соответствии с формулой для дифференциальной энтропии нормальной величины 12, равняется

log ( Z= AW GN )

и информация, вносимая одним дискретным отсчетом сигнала, равна:

r

= log 1 + NS = log p1 + SNR:

Таким образом, пропускная способность канала, определяемая количеством информации, передаваемая по каналу в единицу времени при рассмотренных условиях, равна информации, содержащейся в 2 Fmax независимых дискретных отсчетах сигнала:

p

12hgauss(U) = log 2 e

88

Формула 7.11 называется формулой Шеннона.

Если же аддитивная помеха в канале связи не представляет собой АБГШ, то формула 7.11 занижает его пропускную способность.

7.2.3Ограничения пропускной способности канала

Ксожалению, из формулы 7.11 не следует возможность неограниченного роста пропускной способности канала при неограниченном расширении его полосы. Определим мощность шума N [Вт] через спектральную

плотность мощности N0 = WN [Вт/Гц] и полосу частот, на которой рассматривается шум. В этом случае максимально возможная полоса представляет собой предел:

По правилу Лопиталя, при W1 ! 0) получаем предельное значение пропускной способности канала:

При этом о характере зависимости Cmax = f(W ) возможно судить по следующему графику, показывающему неперспективность увеличения полосы канала связи после некоторого предела.

Рис. 7.4: Зависимость пропускной способности от предельной частоты

89

Лекция 8

О практическом определении помехоустойчивости и пропускной способности

8.1 Дополнения к формуле Шеннона

Непосредственно формулу Шеннона следует применять с достаточно большой осторожностью (по крайней мере, в части, касающейся построения реальных систем связи и передачи данных). Так, из данной формулы следует бесконечная производительность канала связи при отсутствии шума, что не является корректным.

Для уточнения применимости рассмотренного в предыдущих лекциях мат. аппарата рассмотрим далее некоторые понятия и теоремы, логически дополняющие формулу Шеннона и использующиеся в процессе проектирования и оценки параметров реальных систем и каналов связи.

8.1.1Нормированное отношение сигнал-шум

Рассматриваемая в предыдущей лекции величина SNR представляет собой отношение средней мощности сигнала к средней мощности шума. К сожалению, данный показатель часто является неинформативным1 На практике в цифровой связи используется нормированный показатель сигнал-шум - отношение энергии бита к спектральной плотности мощности шума:

SNRnorm = Eb : N0

1Так, данный показатель абсолютно неинформативен в т.н. широкополосных системах связи и передачи данных, которые будут рассматриваться в курсе Вычислительные сети и системы телекоммуникаций .

90