Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Thermodynamics_and_statistical_physics

.pdf

Скачиваний:

109

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1817 18 > Следующая >>>

Некоторые математические формулы.

Формула Стирлинга:

n!= 2πnnn exp(−n +

0 < θ <1; ln n!≈ n ln n − n, n >>1.

12n

Интегральное представление гамма-функции:

∞

−

m+1

m +1

∫xme−αx

Γ(x +1)

= xΓ(x), Γ(1)

=1,

Γ(1 ) = π.

, m, n > 0;

В частности,

∞

1 .

∫e−αx2 dx = 1

∫xe−αx2 dx =

2α

Объем n -мерной сферы радиуса r:

Vn (r) = (πr 2 )n / 2 / Γ(n2 +1).

Полиномиальное распределение:

Пусть в каждом испытании возможны a исходов с вероятностями p1, p2,…, pa. Вероятность того, что в результате N испытаний r1 раз произойдет событие 1, r2 разa - событие 2,………….., ra раз - событие a, равна

p(r , r ,..., r ) =		N !		pr1	pr2	... pra ,	r + r +...+r = N
p(r , r ,..., r ) =		r !r !...r !		pr1	pr2	... pra ,	r + r +...+r = N
1 2	a	r !r !...r !		1	2	a	1 2	a
		1 2	a

( p1

+ p2 +...+pa )N

1 = ∑

N !

p1r1 ... para .

r !r !...r !

Σr =N 1 2

Асимптотические формулы для биномиального распределения:

(Np)

при k<<N, p<<1,

p k (1 − p) N

−k

≈

e−Np

(распред. Пуассона)

при N больших, p не очень близких к 0 или 1,

pk (1 − p) N −k

≈

exp −

(k − Np)

. (распред. Гаусса)

[2πNp(1 − p)]1/ 2

2Np(1 − p)

- 162 -

Интеграл ошибок:

erf (x) = Φ(x) =

∫e−t 2 dt,

erf 1 ≈ 0.84

−x 2

1 3

erf (x) =

−

erf (x) =1 −

−

x 1

1!3

2!5

−... ,

−...

Некоторые интегралы квантовой статистики:

∞

ϕ(ε)

π2

′

7π4

′′′

∫

dε = ∫ϕ(ε)dε +

+...

ε − μ

(μ)

360

(μ)

exp

∞

xndx

−n )Γ(n +1)ζ(n +1),

∫

= (1 − 2

n > 0, ∫

a + bex

0 ex +1

∞ x p −1dx

∫

Γ( p)ζ( p), a > 0, p >1

−1

Дзета-функция Римана:

∞

ζ(x) = ∑k −x ,

ζ(

) = 2.612,

ζ(2) =

ζ(

) = 1341.,

ζ(3) =1202.,

ζ(4) =

k =0

∞

x−ηxdx

Интеграл Ферми-Дирака: ϑ(η) = ∫

0 e

Таблица значений интеграла Ферми-Дирака

-4

-3

-2

-1

-0.1

0.1

ϑ(η)

0.016

0.043

0.114

0.290

0.626

0.678

0.773

ϑ(η)

1.396

2.502

3.976

5.770

7.837

10.144

12.664

ϑ(η)

15.380

18.277

21.344

27.95

35.14

42.87

Подстановка ряда в другой ряд (при выполнении условий существования):

∞	∞	∞	r	∑Bl ...Bl
α = ∑Bl nl , f = ∑Ak αk = ∑Cr nr ,Cr = ∑ Ak				∑Bl ...Bl	k	, C1=A1B1B ,
				1	k
l =1	k =1	r =1	k =1	l1 +...+lk =r

C2=A1B2B +A2B1B 2, C3=A1B3B +2A2B2B B1B +A3B1B 3, C4=A1B4B +2A2B3B B1B +A2B2B 2+3A3B2B B1B 2+A4B1B 4,…

- 163 -

Формула обращения ряда (f = n):

∞			∞
α = ∑Bl nl , n = ∑Ak αk , A1 = B1−1, A2 = −B2 B1−3 , A3 = −B3B1−4 + 2B22 B1−5 ,
l =1			k =1
A = −B	4	B−5	+ 5B B	2	B−6	− 5B3B−7		,...
4	4	1	3	2	1	2	1

- 164 -

Ответы и указания к решению задач.

Раздел 1.

1. Фазовая траектория частицы с энергией Е: 2m +V (x) = E . Точки равновесия х=0

(неустойчивая) и х= ±1 / 2 (устойчивые).

2. Точки равновесия: р = 0, х = nπ (устойчивые при n четном, неустойчивые при n нечетном).

3. Указание: при соударениях со стенками импульсы частиц меняются на противоположные, при соударении частиц они обмениваются импульсами.

4. Γ(E) =	3	4	3	, pE =	2mE; g(E) =	4		pE	3	= Γ(E) /(2π )	3	.
4. Γ(E) =	∫dΓ = L	3	πpE	, pE =	2mE; g(E) =	3	π			= Γ(E) /(2π )		.
	E( p,q)≤E	3				3		2π / L
	E( p,q)≤E

5. Γ(E) = πp0 x0 = 2πE m / k = 2πE / ω; p0 = 2mE , x0 = 2E / k , ω2 = k / m p0, x0 - амплитуды импульса и координаты, к - упругая постоянная.

6. Γ(E) = VN(2πmE)3N/2/Γ(3N/2+1), коэффициент при VN представляет собой объем 3N-

мерной сферы радиуса √2mE.

7.dw(x) = dx /π x02 − x2 ; x2 = E / mω2.

8.Размеры ячейки δΓ=( x p)3N, время нахождения фазовой точки внутри ячейки δt ≈

x/v = 0.5×10-11 сек. При движении вдоль фазовой траектории δΓ не меняется, δΓ′=δΓ,

среднее время пребывания фазовой точки в пределах δΓ′ тоже сохраняется, δt′= δt. Полагая, что фазовая траектория достаточно плотно покрывает всю область допустимых состояний (изоэнергетический слой очень малой толщины δE), т.е., эта поверхность не расщепляется на несвязанные части, получаем оценку времени возврата: T ≈ δt ΔΓ(E)/δΓ, где Γ(E) получено в 1.6. Для 1 см3 газа с учетом V = 1,

Γ(3N/2+1) = (3N/2)! получаем T 10 в степени 1020. Величина эта практически не зависит от выбора толщины слоя δΓ, единиц измерения времени, размеров ячейки. Даже с учетом уменьшения объема фазового пространства для системы тождественных частиц (фактор N! в классическом статистическом интеграле; см. раздел 2) оценка меняется не очень сильно.

- 165 -

9. g(N		N0
9. g(N	0	, N) =		, p(R,
	0		N
			N

распределение”; n = ∑

n) =

np(R,

R N		0	− R	N		0	− “гипергеометрическое
		0		/		0	− “гипергеометрическое
	N				N
n	N		− n		N

n) = NR / N 0 . В случае n<<N,R<<N0	p(n) ≈	n n	e	− n
		n!

(при выводе используются формулы Стирлинга).

...

R1!!

Rr !

(N0 − N )!

10.

p(Ri , ni ) =

...

. При

!...n

! (R

− n

Ri>>ni , N0>>N это распределение переходит в полиномиальное с pi = Ri/N0.

11. g(N

, N) =

+ N −1

R + n −1 N0 − R + N

− n −1

+ N −1

p(R, n) =

N − n

При

n<<R, N<<N0, p(R,n) переходит в биномиальное распределение c q = R/N0.

12. Общее решение дается биномиальным распределением

− q) N −n ,

q = V /V , n = Nq, n2 = n − n q = Nq(1 − q).

p(V , n) =

qn (1

При n<<N p(n) сводится к распределению Пуассона, которое, в свою очередь, при дополнительном условии n>>1 с помощью формулы Стирлинга сводится к гауссовому распределению p(n) ≈ (2πn )−1/ 2 exp[−(n − n )2 / 2 n ]. Эти выкладки не являются доказательством большей общности распределения Пуассона по сравнению с распределением Гаусса; они лишь показывают, что существуют ситуации, в которых оба распределения могут быть использованы с равным успехом.

13. Можно свести эту задачу к предыдущей следующим образом: время t

подразделяется на очень большое число малых интервалов t = t/N, так чтобы вероятность вылета электрона в этом интервале была p = λ t <<1. Тогда

p		N		− p) N −n ,
	t	(n) =	pn (1

		n

и при малых n<<N, как в 1.12,	pt (n) =	Np n	exp(−Np) =	(λt)n	exp(−λt); <n> = λt =
		n!		n!

Np, (t = 1, <n> = λ = n0); < n2> = <n>(1 - p).

- 166 -

14. pn (l) = 1	∑	n!	≈	2	exp(−l 2 / 2n). Вероятность попадания в точку (l1, i2)
2n r +r =n r1!r2!				πn
1	2
r1	−r2 =i

при блуждании по плоской квадратной решетке:

pn (l1	,l2 ) =	1	∑	n!	, (∑ri = n, r1 − r2 = l1, r3 − r4 = l2 ).
		4n		r1!r2!r3!r4!

16, 17. Радиус-вектор, связывающий начало и конец полимерной цепочки r=ρ1+ρ2+…..+ρN, где ρi - ориентированный i-й мономер. <r2>=Nρ2.

18. Обозначим ρi ρi+k=ρ2cosθk; очевидно, cosθk=cosθk-1cosθ+sinθk-1sinθcosϕ , где ϕ - угол

между азимутами направлений ρi и ρi+k в системе с полярной осью ρi+k-1. Поэтому

<cosθk>=cosθ<cosθk-1>=coskθ.

19.Указание: диагонализовать матрицу плотности.

20.Вероятность отсутствия частиц в шаре радиуса r (с объемом v) и наличия хотя бы

одной частицы в слое (r, r+dr) равна

v N −1

2 ), , где V - объем

W(r)dr = N 1

−

+ O(dv

−

≈ e

−α

, получаем

системы, N - полное число частиц. Учитывая, что 1

−1 / 3

−2 / 3 5

W (r) = 4πnr

exp −

πnr

; r =

πn

Раздел 2.

1. E=Nτ.

σ =

g(N ,0)

/ ln g(N ,0) ≈2.10-22.

g(N1 ,0)g(N 2 ,0)

3. σ(N0,N) = N0{-clnc-(1-c)ln(1-c)], c=N/N0, σ(N0,N;R,n)=R[-c1lnc1 - (1-c1)ln(1-c1)]+ (N0-R)[-c2lnc2-(1-c2)ln(1-c2)], c1=n/R, c2=(N-n)/(N0-R).

4. σ

= N0{(1+c)ln(1+c) – clnc}, c = N/N0.

= (1 + u) ln(1 + u) − u ln u (≈ ln u, u >>1), u = E / N ω;

τ −1 = ln

1 + u

;

5. N

= (e1/τ −1)−1 (u +

coth

− ln(1 − e−1/τ );

μ = τ ln(1 − e−1/τ ).

2τ

- 167 -

6. < L >= −	αa	tanh	1	α 2 + β2 .
	α 2 + β2		τ

7. <E>=E0+[-a(coshβb-e-βa)/3 - bsinhβb](coshβb+e-βa/2)-1 , β=1/τ.

8. <E>=[(λ/4)(1+2chβB-3eβλ)-2BshβB]/(eβλ+2chβB+1).

9. N=τ(∂lnZ'/∂μ), E=τ(μ ∂/∂μ+τ ∂/∂τ)lnZ'.

10. θ=(1+e-(ε+μ)/τ)-1=p(p+p0e-ε/τ)-1.

11. Указание: рассматривая узлы и междоузлия как системы с двумя состояниями, находящиеся в тепловом и диффузионном контакте, написать среднее число частиц на них. Другой вариант решения: найти значение n, при котором свободная энергия

N'			N
F(n) = nε − ln				достигает минимума. Третий вариант: 1/τ=(∂σ/∂E)N,N’, E=nε.
n	N − n
n≈√(NN') e-ε/2τ.
				N + n
12. Указание: энтропия системы σ(n) = ln					. n≈Nexp(-ε/τ).
					n
13. Указание: использовать каноническое распределение; полезно иметь в виду
соотношение τ 2		∂	, Z	= Z E .
соотношение τ 2		∂τ	, Z	= Z E .
		∂τ

14. <M>α=<-∂εi/∂Hα>; χ=(∂Mα/∂Hα)H→0.

15. Здесь внутренняя энергия не зависит от l, и “натяжение” определяется только

∂σ

τl

изменением энтропии (ср. ур. (3.3)). σ = ln n

F = −τ

≈

(l << nρ).

∂l

nρ

2ρ

∂ ln Z''

16. l = τ

∂F

= NρL(Fρ / τ),

(L(x)

= coth x −

-- функция Ланжевена),

Fρ

4πτ

Fρ N

Z'' = ∑exp

∫

exp

∑cosθi dΩ1

...dΩN

sinh

--статсумма для “FT-

l ,i

Fρ

распределения”.

17. Указание: использовать тождество Кубо eβA e−β( A+B) =1 − ∫dλeλA Be−λ( A+B) .

nn'

= Z −1

exp(−βE 0 ){δ

nn'

− λ[H

− H

]

nn'

[exp(βE 0

) −1] / E 0

nn'

18. Указание: воспользоваться соотношением exp(Kσnσn+1)= chK+σnσn+1shK.

Z=(2chK)N,N→∞; σ/N=ln2chK-KthK; E=-NJthK; C=NK2/ch2K], K=J/τ.

- 168 -

19. Разобьем одночастичные состояния на группы i=1,2,... из Gi близких по энергиям

(εi) состояний, и пусть Ni - число частиц в i-ой группе; ∑Ni=N, ∑εiNi=E. Энтропия неравновесного состояния σ(N,E;N1,N2,...)=lnΠgi(Gi,Ni), где gi - число возможных

распределений Ni частиц по Gi состояниям, разное для Ферми- и Бозе-газов ( Ni и

Gi + N i −1
	N i	, соответственно; в классическом пределе Ni<<Gi и gi ≈ GiNi / Ni !).

Равновесные распределения (Ферми, Бозе, Больцмана) ni=Ni/Gi находятся из условия максимума энтропии при заданном полном числе частиц и полной энергии: (∂/∂ni)(σ+αN+βE)=0. Поскольку dσ = - αdN - βdE, то β=-1/τ, α=μ/τ.

20. Ищется максимум выражения σ + Σpi(α+βxi+γyi…), где α, β, γ… - неопределенные множители:

∂(σ + ∑pi (α + βxi + γyi +...))			= −ln pi −1	+α + βxi + γyi +... = 0,
	∂pi		= −ln pi −1	+α + βxi + γyi +... = 0,
	∂pi
p	= exp(α −1)exp(βx + γy +...) = Z −1 exp(βx + γy +...),
i	i	i		i	i

статсумма Z = ∑exp(βxi + γyi +...). Соответствующая энтропия σ = lnZ - βx0.- γy0 -…

Если рассмотреть набор параметров E,N,x…, то σ = ln Z′′ +

E0 −

N0 −

−... ,

∂σ

, X - обобщенная сила, соответствующая параметру x0.

где − τ

∂x

E 0, N 0,...

21. <r|ρ|r'>=(mτ/2π

2)3/2exp[-(mτ/2ž 2)(r-r')2] (ненормированная).

22. При включении магнитного поля с векторным потенциалом A(r) импульсы частиц в гамильтониане системы заменяются на pi+(ei/c)A(ri). Эта замена не приводит к изменению классического статистического интеграла (и свободной энергии).

Раздел 3.

1. b=d=0, e=C, F=-a(τlnτ-τ)-(с/2)τ2-(f/12)τ3-AτV-(C/2)Vτ2-(B/2)V2τ+g(V). 2. b = a/12, F = -bVτ4+f(V)τ+g(V).

5,6. а)При свободном адиабатическом расширении V→V+dV, DQ=0, DW=0 и dE=0; требуется узнать, как изменилась энтропия. В обратимом процессе при тех же

изменениях энергии и объема dE=τdσ-pdV=0 и dσ=(p/τ)dV>0, или (∂σ/∂V)E>0.

- 169 -

б) Изменение энергии газа складывается из работы p1V1, совершаемой над газом при выдавливании его из объема V1, и работы, совершаемой газом при расширении его до объема V2 при давлении p2: E2-E1=p1V1-p2V2. Т.о., в процессе Джоуля-Томсона сохраняется энтальпия. Далее, (∂σ/∂p)H<0.

τ ∂σ 8. ∂τ μ

−∂N 2∂τ μ

	∂N		1. 10. См. задачу 3.7(7). 11. pV = Cτ.
/		. 9.	1. 10. См. задачу 3.7(7). 11. pV = Cτ.

	∂μ τ

12. В круговом процессе W=-Q, ∫ pdV = −∫Vdp, ∫τdσ = −∫σdτ. Полагая теплоемкость

постоянной и учитывая (3.17), энтропию можно записать в виде σ=N(cplnτ-lnp+cp+ζ),

где ζ - химическая постоянная газа.

а) (V -V )(p -p ), б) N(τ

−τ

)ln

в) (τ2-τ1)(σ2-σ1)=

N(τ

− τ

)(ln

+ c

τ2

τ1

2 1

1−γ

г)

N(τ

− τ

)ln

, д)

( p

/ p

) γ

−1

+ τ

( p

/ p ) γ

−1

13. а) (2ln2-1)/(2ln2+3/2),

б) 16/97,

в) 1/12,

г) (τ2-τ1)ln(p2/p1)/[cV(τ2-τ1)+τ2ln(p2/p1)]; в б)

следует учесть, что DQ=τdσ (=dE+pdV)>0 на вертикальном участке и наклонном участке при V<15V0/8, и Q1 получается интегрированием DQ только на этой части цикла.

14. mCln[(τ1 + τ2)2/4τ1τ2].

15. Согласно принципу максимальной работы процесс следует проводить обратимым образом; при этом уменьшение энтропии тела равно увеличению энтропии термостата с температурой τ0. W=C{(τ1-τ0)-τ0ln(τ1/τ0)}.

1 / cV

16. E

−

. 17. VτcV −c

= const.

18. а) N(1 - 2Na(V - Nb)2/τV3)-1

б) E - N2a/V, в) Nτ ln

V2 − Nb

+ N 2 a(

−

)

− Nb

г) − C (τ

− τ

) + N 2 a(

−

) ,

д) (V − Nb)τ(CV −C ) / N = const ,

е) R = N

) + CV

− Nb N / CV

N 2 a

(1 / V ) .

−

τ1{1 −

}, ж) τ =

− Nb

- 170 -

τ ∂D 2

19. .

4πε ∂τ E

20. Имеется в виду “внутренняя энергия”

∂E		∂σ		∂M		∂M
	= τ		+ H		= τ		+

∂H τ		∂H τ		∂H τ		∂τ H

Е’ (см. ур. (3.10)):

	∂M	= 0.
H		= 0.
	∂H	τ

21. При условии Bτ03/3 >> N ln2 конечная температура τ определяется соотношением

Bτ03/3 = Bτ3/3 + N ln 2.

∂V

∂M

∂χ

22.

κτχ −

= −

, M = χHV.

∂H p,τ

∂p

H ,τ

23. u2=γKT/ρ; отметим, что KT=ρ(∂p/∂ρ)τ=-V(∂p/∂V)τ=κτ-1.

Раздел 4.

1. Z′= exp(λVZi(1)/VQ), λ = exp(μ/τ), Zi - внутренняя статсумма частицы газа, функция только температуры; Ω=-τλVZi(1)/VQ; N=λVZi(1)/VQ; p=Nτ/V; σ=N(5/2 - μ/τ + τ∂lnZi(1)/∂τ).

Подставляя в вероятность p() = eNμ/τ ZN / Z′выражения Z′= exp<N>, Z1exp(μ/τ) = <N>,

получаем распределение Пуассона p(N) = <N>N exp(-<N>)/N!.

2. <ωi2> = τ/Ii. Статсумма (интеграл) Zrot = ∫′exp(−ε

rot

/ τ)dΓ

, где

rot

dΓ =

dM dM

dϕ dϕ

dϕ , Mi - компоненты момента импульса (в системе

rot

(2π

главных осей, вращающейся вместе с молекулой); штрих означает интегрирование по физически разным ориентациям молекулы, не связанным поворотами, переводящими молекулу в себя. Интеграл по углам равен 8π2 (ЛЛ, 1976).

Zrot = (2τ)3 / 2 (πI1I2I3)1/ 2 / σ 3, где σ - число указанных выше поворотов.

3.dw(E)

4.vn =

	1 3 / 2	exp(−ε/ τ)
= 2π		exp(−ε/ τ)
	πτ

22τ n / 2 Γ n + 3 ,

πm 2

εdε;

vвер =

εвер = τ/2.

2τ/ m.

	m	3 / 2			mv©	2
	m			−	mv©		dv, v = 16τ/ πm.
5. dw(v©)			exp	−	4τ		dv, v = 16τ/ πm.
	4πτ				4τ

dw(v

) =

exp(−mv2

/ 2τ)v

dv ,

−

- 171 -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1817 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.07.2019413 Кб5TGP_otvety1.doc
#
01.07.2025108 Кб2Tgp1.docx
#
25.11.2019815 Кб16The Contribution of Human Rights as an Addition...doc
#
26.09.201923 Кб35The Never.docx
#
26.11.2019100 Кб56Theoretical Phonetics - 10 лекций.doc
#
10.02.20152 Мб109Thermodynamics_and_statistical_physics.pdf
#
01.07.2025803 Кб0THOER GRAM.doc
#
10.02.2015248 Кб35timofeeva_l_s_slovar_po_muzeinoi_pedagogike.pdf
#
01.07.2025124 Кб1timog 4 курс.docx
#
01.07.202596 Кб0Timog_ekzm2.docx
#
23.09.2019506 Кб55tipavye_zadachi_po_gosam.docx