Икрин [ЮУрГУ] - Сопротивление материалов с элементами курса теории упругости и пластичности

Точка 1: σ z = N/A + Mx/Wx + My/Wy, τ z = 0.

Точка 2: σ z = N/A + My/Wy, τ zy = Mz/Wt. Точка 3: σ z = N/A + Mx/Wx , τ zx = γ Mz/Wt.

Какая из них опаснее, ответить нельзя. Для этого нужно знать численные значения напряжений в них и характеристики прочности материала. В конкретных задачах это обычно известно, есть возможность выделить из трех точек одну.

Может оказаться, что действительная опасная точка не попала в названные, а располагается где-то в другом месте. Отсутствие формулы касательных напряжений в точках сечения от крутящего момента лишает возможности более строгого ее поиска с использованием аналитических методов. Приходится ограничиваться выборочной проверкой прочности материала. Впрочем, более строгое (естественно, более трудоемкое) исследование зачастую нецелесообразно. Погрешность выборочной проверки обычно укладывается в пределы, допускаемые в прочностных инженерных расчетах.

10.3.3. Примеры расчетов на прочность при сложном напряженном состоянии

Для иллюстрации условий, в которых приходится обращаться к теориям предельных напряженных состояний, мотивов и действий при оценке прочности материала, рассмотрим примеры.

Пример 10.7. Определим допустимую нагрузку на раму, показанную на рис. 10.15 а. Материал − чугун СЧ− 15 (расчетные сопротивления Rt=55 МПа, Rc = 160 МПа, нормативные − Rut = 110 МПа, Ruc = 220 МПа). Сечения стержней прямоугольные с b = 25 см, h = =10 см; l = 1,2 м.

Первый этап решения задачи − построение эпюр внутренних силовых факторов. Они изображены на рис. 10.15 б ... д. Из эпюр следует, что нужно проверить два сечения − 1 и 2.

Сечение 1.

Величины и направления внутренних силовых факторов, возникающих в сечении, показаны на рис. 10.16 а. Поскольку сечение массивное, поперечные силы в расчетах учитывать не будем (на

+ 111q = 387q/см, напряженное состояние − линейное (рис. 10.16 г).

Нормальные напряжения от продольной силы (рис. 10.17 г)

σ z(N) = N/A = 4ql/(bh) = 4q 120/(25 10) = 2q/cм.

Касательные напряжения от крутящего момента (рис. 10.17 д):

в точке e maxτ zx= Mz/Wt = 8ql2 /(β h3) = 8q1202/(0,647 103) = 178q/cм;

посередине вертикальных сторон

τ zy= γ maxτ zx = 0,774 178q = 138q/cм, (коэффициенты β и γ взяты из таблицы 6.1).

Сравним напряжения в трех точках d, e и f.

Точка d: σ z = 207q +111q − 2q = 316q/cм; напряженное состояние − одноосное растяжение (рис. 10.17 е).

Точка f : σ z = 207q + 111q + 2q = 320q/cм; напряженное состояние − одноосное сжатие.

Сравнивая, с одной стороны, напряжения в точках d и f и, с другой, расчетные сопротивления на растяжение Rt и сжатие Rc, видим − точка d опаснее.

Точка e (рис. 10.17 ж): σ z = 207q − 2q = 205q/cм, τ zx= 178q/cм;

напряженное состояние плоское. Нормальные и касательные напря-

жения одного порядка: 0,1 ≤ ττ zx/σ z = 178q/(207q) = 0,86 ≤ 10 напряженное состояние в точке e сложное. Для оценки опасности со-

стояния материала необходимо привлечь теорию прочности. Материал рамы − чугун:

−хрупкий материал;

−с разными, но соизмеримыми пределами прочности на растяжение Rut и сжатие Ruc;

−при смешанном плоском напряженном состоянии.

Вэтих условиях следует использовать теорию прочности О.Мора. Главные напряжения:

σ 1/3= (σ z±√σ z2+4τ zx2)/2 = (205±√2052+4 1782)q/2: σ 1 = 308q/cм, σ 3=–103q/cм.

Эквивалентное напряжение (9.19) −

σ eq = σ 1 − (Rut/Ruc)σ 3 = (308− (110/220)(− 103)q) = 355q/cм.

Cопоставляя напряжения в точках a, d и e, видим, что опасна точка a. Напряжение в ней σ x = 387q/cм.

Условие прочности при одноосном растяжении σ x ≤ Rt приводит к результату 387q ≤ 5,5; q ≤ 0,0142 кН/см.

Принимаем допустимую нагрузку [q] = 14 Н/см.

222

Сравнивая левую часть условия с напряжением в точке a, ви-

дим, что точка d опаснее. Итак,

D3 ≥ 410ql2/(π R) = 410 0,014 1202/(3,14 33,5) = 786 см3, D ≥ 9,2 cм.

Пусть D = 10 cм.

Поскольку результат получен без учета продольной силы, про-

верим условие прочности, приняв ее во внимание:

σ z= 16ql/(π D2) + 320ql2/(π D3) = =16 0,014 120/(3,14 102) + 320 0,014 1202/(3,14 103) = 20,6 кН/см2;

τ zs= 128 ql2/(π D3) = 128 0,014 1202/(3,14 103) = 8,21 кН/см2; σ eq=√σ z2 + 4τ zx2 = √20,62 + 4 8,212 = 26,3 < 33,5 кН/см2.

Условие прочности выполняется.

Расчет показал, что сравнительно небольшое увеличение диаметра по отношению к требуемому вполне скомпенсировало напряжения от неучтенной продольной силы. В то же время использованное упрощение процесса решения кубического уравнения позволило уменьшить объем вычислительных операций во много раз.

Итак, расчет на прочность состоит из

−построения эпюр внутренних силовых факторов с целью выбора опасного сечения, определения величин и направлений обобщенных усилий в нем;

−поиска опасной точки в сечении и вычисления напряжений в

ней;

−проверки условия прочности (при простых напряженных состояниях − одноосном растяжении или сжатии по (5.9), чистом сдвиге по (6.3); в случае сложного напряженного состояния условие име-

ет вид σ eq ≤ R с эквивалентным напряжением соответствующим материалу и напряженному состоянию материала).

10.4. Условия применимости принципа суперпозиции

Принцип суперпозиции (наложения, независимости действия сил), намного облегчает решение задач прочности и жесткости, позволяя результат сложного воздействия получить суммированием результатов простых воздействий, составляющих сложное. Естественно возникает вопрос об условиях, при которых названный принцип можно использовать.

Пусть Z результат воздействия переменных Yi (i =1, 2, ... , m). Не вдаваясь в доказательство (оно, впрочем, очевидно), отметим,

что принцип суперпозиции применим, если Z является линейной однородной функцией переменных Yi:

где ai − постоянные коэффициенты.

Если переменные Yi сами являются линейными однородными функциями параметров Xj (j = 1, 2, ... , n) −

Yi = bi1X1 + bi2X2 + ... + bijXj + ... + binXn,

то зависимость Z от Xj также будет линейной однородной:

Z = c1X1 + c2X2 + ... + cjXj + ... + cnXn.

Рассмотрим с высказанных позиций некоторые ранее полученные зависимости.

Внутренние силовые факторы, рассмотренные в разд. 3, являются линейными однородными функциями параметров внешней нагрузки. Следовательно, к ним и их эпюрам можно применять принцип наложения.

Зависимость напряжения в точке (см., например, формулы (5.10), (6.4), (7.3)) от внутреннего силового фактора также линейна однородна. Принцип можно использовать, что и реализовано при сложном сопротивлении. Из отмеченного в этом и предыдущем абзацах следует справедливость принципа наложения и в связи нагрузка− напряжение.

Энергетические характеристики напряженно-деформирован- ного состояния (5.8), (5.23), (5.24) и аналогичные им являются квадратичными функциями. Для их определения принцип независимости действия сил неприменим (скажем, работа двух сил не равна сумме работ каждой силы, действующей отдельно).

Критерий (10.10) позволяет в каждом конкретном случае решить, можно ли применить принцип наложения к той или иной характеристике напряженно-деформированного состояния конструкции.

11. Основы технической теории тонкостенных стержней открытого профиля

Стержни (рис. 11.1, d/l ≤ 0,1), у которых больший размер сечения значительно превышает толщину стенки (d/δ ≥ 10), называют

тонкостенными.

В шестом разделе были отмечены некоторые особенности поведения тонкостенных стержней открытого профиля при кручении:

цифики их реакции на внешнюю нагрузку. Ознакомимся с элементами технической теории тонкостенных стержней открытого профиля, разработанной В.З.Власовым1.

11.1. Исходные предпосылки. Расчетные уравнения

Используемые термины:

− Срединная поверхность − поверхность, проходящая посередине толщин пластинок, образующих стержень.

________________________

1 Василий Захарович Власов (1906–1958) – выдающийся советский ученый в области строительной механики, автор многих оригинальных работ по тонкостенным пространственным конструкциям.

226

Для упрощения расчетных формул воспользуемся возможностью произвольного выбора положений точек k0 и cb. Точку k0 и ко-

Заменив этими равенствами производные перемещений в формуле (л), придаем ей вид

Новый силовой фактор носит название бимомент.

Подставим равенство (л) в выражение (11.2) с учетом (11.1):

B = Ew′g∫Aω dA − Eu″b∫Aω xdA− Ev″b∫Aω ydA− Eϕ ″∫Aω 2dA=− Eϕ ″∫Aω 2dA. (п)

Интеграл представляет собой новую геометрическую характеристику

называемую секториальным моментом инерции сечения. Его раз-

мерность м6 и т.п. Теперь B =− EJω ϕ ″, откуда

После подстановки этого равенства в выражение (н) приходим к формуле нормальных напряжений

Первые три слагаемых в правой части формулы (11.5) соответствуют обычной теории сложного сопротивления, базирующейся на гипотезе плоских сечений. Последний член этой формулы определяет величи-

ну дополнительных секториальных напряжений σ ω =Bω /Jω , кото-

рые возникают вследствие переменной по длине депланации сечения. Напряжения σ ω распределяются в сечении по закону секториальной координаты ω и образуют самоуравновешенную систему внутренних усилий, приводящуюся к двум равным противоположно направленным парам. Методом сечений бимомент определен быть не может.

230

11.3. Бимомент

Для иллюстрации понятия бимомента рассмотрим пример си-

11.4. Касательные напряжения в сечении

Предпосылки о касательных напряжениях (рис. 11.9):

−в любой точке поперечного сечения касательные напряжения параллельны касательной к профильной линии;

−по толщине стенки касательные напряжения линейно переменны (рис. 11.9 а).

Разложим касательные напряжения на две составляющие − кососимметричные и симметричные. Остановимся на них.

231

11.4.1. Кососимметричные касательные напряжения

Эти напряжения приводятся к моменту Mt и связаны с ним фор- мулой (6.21), которая в используемых

через центр изгиба; Mt − момент свободного кручения (часть крутящего момента, воспринимаемая кососимметричными касательными напряжениями);

элемента тонкостенного стержня (рис. 11.11) вытекает:

Σ Z= σ zδ ds +(д(σ zδ ds)/дz)dz − σ zδ ds − τ ω δ dz + τ ω δ dz +(д(τ ω δ dz)/дs)ds=0,

что после приведения подобных членов приводит к равенству (д(σ zδ ds)/дz)dz +(д(τ ω δ dz)/дs)ds = 0. Вынося за знаки производных δ и ds, не зависящие от z, а также dz, не зависящий от s, приходим к

гаемое обращается в нуль, так как на границе сечения τ ω =0. Но по

11.5. Деформации стержня. Обобщенные усилия в сечении

Деформации представляют самостоятельный интерес, поскольку позволяют оценить жесткость стержня. В тонкостенных же стержнях, где бимомент и изгибно-крутящий момент не могут быть найдены из условий равновесия, знание деформаций позволяет определить и эти обобщенные усилия в сечении.

11.5.1.Дифференциальное уравнение угла закручивания

иего решение

По формулам (11.4) B=− EJω ϕ ″;(11.10) Mω =B′= =− EJω ϕ ″′′′;(6.25)

Mt = GJtϕ ′;(11.8) Mz1= Mt +Mω . Подстановка второго и третьего равенства в последнее дает выражение − EJω ϕ ″′′′+GJtϕ ′′ = Mz1, дифферен-

цирование, которого по z, приводит к уравнению

233

11.5.2. Граничные условия

Граничные условия отражают кинематические ограничения, накладываемые связями, и усилия на краю стержня. В реальных конструкциях кинематические и силовые взаимодействия элементов настолько многообразны, что охватить все случаи практически невозможно. Поэтому ограничимся простейшими примерами, проиллюстрировав методику назначения граничных условий.

Свободный конец

На свободном краю (рис. 11.12 в) отсутствуют напряжения σ ω , момент Mz1= 0. Следовательно, здесь должны выполняться условия

ϕ ″= 0, EJtϕ ′− EJω ϕ ″′′= 0.

Если на стержне несколько участков, то для определения постоянных интегрирования используются условия неразрывности перемещений. В каждом конкретном случае, анализируя силовые и кинематические условия взаимодействия участков, можно обоснованно назначить достаточное количество граничных условий.

234