Икрин [ЮУрГУ] - Сопротивление материалов с элементами курса теории упругости и пластичности

Интеграл в полученном выражении является статическим моментом отсеченной части поперечного сечения относительно нейтральной

Сила T является равнодействующей касательных напряжений, возникающих в горизонтальном сечении отрезка балки. Учитывая малость отрезка dz, можно считать, что напряжения τ yz распределены равномерно по продольному сечению. В таком случае T = τ yzbdz. Подставив полученное выражение в равенство (г), получаем

Это и есть формула Журавского. В формуле (7.4):

Qy − поперечная сила в сечении балки;

Sxct − статический момент отсеченной части поперечного сечения относительно нейтральной линии;

Jx − момент инерции сечения относительно нейтральной линии; b − ширина сечения.

Распределение касательных напряжений по сечению балки определяется характером изменения Sxct, так как остальные величины, входящие в формулу (7.4), для конкретного сечения постоянны. Cтатический момент отсеченной части играет роль своеобразной координаты, определяющей изменение касательных напряжений по высоте сечения. Выразим его через ординату точки и размеры сечения.

140

Статический момент отсеченной части Sxct = Act yct. Из рис. 7.10 следует, что площадь отсеченной части Act = b(h/2 − y), расстояние от ее центра тяжести до нейтральной линии (оси x) yct = (h/2 + y)/2.

7.4.Касательные напряжения

всечении двутавровой балки. Обобщение формулы Журавского на другие типы сечений

7.4.1. Рассмотрим двутавровое сечение (рис. 7.11). Если к нему применить формулу (7.4), получим эпюру τ zy, изображенную справа. Скачок в месте перехода от полки к стенке объясняется изменением ширины сечения. Следует, однако, отметить, что использование формулы (7.4) для определения напряжений τ zy в полках далеко не бесспорно. Во-первых, нет оснований полагать, что напряжения равномерно распределены по ширине полки b. Во-вторых, наличие напряжений τ zy в точках, расположенных на границе полки (например, в точке a), противоречит закону парности касательных напряжений. В-третьих, они малы по сравнению с напряжениями в стенке.

Поэтому будем считать, что в двутавровой балке касательные напряжения τ zy возникают лишь в стенке. Формула (7.4) для них при-

мет вид

τ yz = τ zy = QySxct/(Jxd).

Т-образная отсеченная часть, статический момент которой фигурирует в формуле, выделена наверху двутавра двойной штриховкой.

141

7.4.3. Два типа сечения, рассмотренные выше, показывают, что формулы касательных напряжений в прямоугольном сечении и в двутавре имеют по существу один и тот же вид. Это свидетельствует о возможности использования метода и формулы Журавского для определения касательных напряжений и в других типах сечений.

Обобщая формулу (7.4), следует иметь в виду, что во всех вариантах ее вывода заложены два предположения:

первое − равномерность распределения касательных напряжений по какому-либо направлению в сечении;

второе − справедливость формулы (7.3) для нормальных напряжений.

По этим причинам формулу (7.4) можно применять тогда, когда обоснованы названные предпосылки.

При определении касательного напряжения τ z в какой-либо точке

−отсеченную часть поперечного сечения следует выделять линией, перпендикулярной искомым касательным напряжениям;

−под размером b, стоящим в знаменателе, нужно понимать длину условно нарушенного контакта между двумя частями сечения.

В качестве иллюстрации применения метода Журавского приведем пример.

142

Sxct=(b/2) t (h/2) = (10/2) 1,5 (18/2) = 67,5 см3; Jx = ((b+d/2)(h+t)3 − (b− d/2)(h− t)3)/12 =

= ((10+1/2)(18+1,5)3 − (10− 1/2)(18− 1,5)3)/12 = 2932 см4.

Касательное напряжение в точке a −

τ zx = 60 67,5/(2932 1,5) = 0,92 кН/см2.

Для определения направления напряжения сечениями 1 и 2 вырежем отрезок балки. Из него вертикальной продольной плоскостью, проведенной через точку a, отделим часть полки (рис. 7.12 г).

У балки растянуты верхние волокна (рис. 7.12 б), силы N1 и N2 растягивающие. M1< M2, отсюда N1< N2. По условию равновесия сила T направлена влево. Влево направлены и напряжения τ xz в продольном сечении. По свойству парности заключаем, что в точке a касательное напряжение τ zx направлено вправо. Описанный прием определения величин и направлений касательных напряжений может быть применен практически к любым типам сечений.

143

Сравним найденные напряжения с maxσ z. Согласно формуле

(7.3) maxσ z= maxMx ymax /Jx = (ql2/8)(h/2)/(bh3/12) = 0,75ql2/(bh2). От-

ношение maxσ y /maxσ z= 1,33(h/l)2. При h/l< 0,1 maxσ y /maxσ z<

< 0,013. Таким образом, σ y<< σ z. Это подтверждает обоснованность предпосылки об отсутствии напряжений σ y.

Строго говоря, полученный результат ограничен рассмотренной расчетной схемой и типом сечения. Аналогичные исследования для других видов нагрузок и форм сечений показывают, что

−при распределенных нагрузках напряжениями σ y можно пренебречь;

−в случаях действия сосредоточенных сил

−в балках с массивными сечениями их также можно игнорировать,

−в тонкостенных же балках напряжения σ y следует

учитывать в местах приложения усилий.

Распределение напряжений в тонкостенных балках вблизи “сосредоточенных” сил устанавливается специальными методами.

На основании проведенного анализа напряжения в поперечных сечениях балок будем определять по формулам (7.3) и (7.4).

7.6. Напряженное состояние балок при поперечном изгибе

Выше установлено, что в балке обычно возникают как нормальные σ z, так и касательные τ zy напряжения. Поэтому площадки, лежащие в поперечном сечении, в общем случае не являются глав-

Главные напряжения (4.6) при поперечном изгибе

σ max/min = (σ z ±√√σ z2+4τ zy2)/2, (7.7)

Поскольку √σ z2+4τ zy2 ≥ σ z, то σ max ≥ 0, а σ min ≤ 0. По прави-лам нумерации главных напряжений с учетом того, что σ x= 0, следует

принимать σ 1 = σ max, σ 2 = 0, σ 3 = σ min.

Согласно равенствам (7.7) наибольшее касательное напряжение

(4.7) в точке балки τ max=√σ z2+4τ zy2/2. (7.8)

145

Распределение напряжений по сечению балки при поперечном изгибе характерно тем, что

−и нормальные σ z, и касательные напряжения τ zy изменяются по высоте сечения;

−отношение τ zy/σ z переменно по высоте.

В этом случае из формул (7.6) … (7.8) следует, что в точках, занимающих разные положения по высоте сечения, будут соответственно разными

−максимальные нормальные напряжения;

−минимальные нормальные напряжения;

−наибольшие касательные напряжения;

−углы наклона главных площадок к поперечному сечению (и площадок наибольшего сдвига, равнонаклоненных к главным).

Для иллюстрации отмеченного, а также техники анализа напряженного состояния рассмотрим пример.

Пример 7.3. В прямоугольном сечении балки (рис. 7.15 а) с b = 12 см, h = 36 см возникли поперечная сила Qy= 1,1 МН и изгибающий момент Mx= 0,25 МНм (рис. 7.15 б). Исследуем напряженное состояние материала балки в этом сечении:

−найдем положения главных площадок;

−определим величины главных напряжений;

−установим положения площадок с наибольшими касательными напряжениями;

−вычислим значения наибольших касательных напряжений.

Место действия наибольших касательных напряжений − площадки, наклоненные к поперечному сечению под 45о; τ max= σ z/2 =

=4,82 кН/см2. Направление τ max определяется двумя признаками:

−свойством парности,

−растяжением материала в горизонтальном направлении.

В площадках с максимальными касательными напряжениями

действуют средние нормальные напряжения σ mid = (σ max+ σ min)/2 = = σ z /2 = 4,82 кН/см2.

Точка 2 (рис. 7.16 б).

σz = Mx y2/Jx = 0,25 105 9/(12 363/12) = 4,82 кН/см2;

τzy = 6Qy(h2/4− y22)/(bh3) = 6 1100(362/4− 92)/(12 363) = 2,86 кН/см2.

Материал находится в плоском напряженном состоянии. Положение главных площадок:

tg2α 0 = 2τ yz/σ z = 2 2,86/4,82 = 1,19; α 0 = 25о.

Повернуть исходный параллелепипед на указанный угол следует по часовой стрелке, ибо внутри этого 45-градусного сектора накладываются растягивающие действия σ z и τ zy и возникает наибольшее растягивающее напряжение σ max1.

Главные напряжения (7.7) σ max(min) = (σ z±√σ z2 +4τ z 2y)/2 = = (4,82 ± √4,822 +4 2,862)/2 = 6,15(− 1,33) кН/см2.

Площадки с наибольшими касательными напряжениями наклонены к главным площадкам под углом 45о (одна из них к вертикали наклонена под 25о + 45о = 70о); Напряжение

τ max= (σ max−σ min)/2 = (6,15 − (− 1,33))/2 = 3,74 кН/см2.

Направление τ max согласуется с направлениями σ max и σ min.

Средние нормальные напряжения, действующие в площадках с

максимальными касательными напряжениями,

σ mid = (σ max+ σ min)/2 = σ z /2 = 2,41 кН/см2.

_________________________________

1 Направление поворота можно определить по знаку угла α o. Для этого необходимо в формулу (7.6) подставить напряжения со знаками, соответствующими установленным правилам. Однако такой путь представляется менее предпочтительным, поскольку использованный здесь вариант способствует формированию инженерных навыков анализа.

148

Точка 3 (рис. 7.16 в).

Нормальное напряжение σ z= 0.

Касательное − τ zy= 3Qy/(2bh) = 3 1100/(2 12 36) = 3,82 кН/см2.

Вид напряженного состояния − чистый сдвиг (см. раздел 6). Главные площадки наклонены к исходным под 45о.

Главные напряжения σ max(min) = ± τ zy = ± 3,82 кН/см2. Площадки с наибольшими касательными напряжениями − ис-

ходные площадки; τ max = τ zy= 3,82 кН/см2.

Точка 4 (рис. 7.16 г).

Напряжения σ z и τ zy в точке 4 такие же как в точке 2: σ z= 4,82 кН/см2; τ zy= 2,86 кН/см2. Различие в том, что нормальные напряжения − сжимающие.

Положение главных площадок определяется углом α 0 = 25о. Но в этой точке повернуть исходный параллелепипед на указанный угол следует против хода часовой стрелки, ибо внутри этого 45- градусного сектора накладываются сжимающие действия σ z и τ zy и возникает наибольшее сжимающее напряжение σ min.

Главные напряжения σ max(min) = 1,33(− 6,15) кН/см2.

Площадки с наибольшими касательными напряжениями наклонены к главным площадкам под углом 45о. Наибольшее касательное напряжение τ max = 3,74 кН/см2. Направление τ max согласуется с направлениями главных напряжений.

Средние нормальные напряжения, действующие в площадках с максимальными касательными напряжениями, сжимающие, равные 2,41 кН/см2.

Точка 5 (рис. 7.16 д).

Нормальное напряжение в точке 5 такое же как в точке 1, но сжимающее; σ z = 9,65 кН/см2; касательное напряжение τ zy= 0.

Материал испытывает одноосное сжатие. Исходные площадки являются главными.

Главные напряжения σ max= 0, σ min=− 9,65 кН/см2.

Наибольшие касательные напряжения действуют в площад-

ках, наклоненных к поперечному сечению под 45о; τ max= σ z/2 = 4,82

кН/см2.

149

На рис. 7.15 д− ж по выполненным расчетам построены эпюры главных и наибольших касательных напряжений в сечении.

Приведенный пример показывает, что при поперечном изгибе материал находится в условиях смешанного плоского напряженного состояния: в одном главном направлении растянут, в другом сжат. В крайних точках (1 и 5) плоское напряженное состояние вырождается в линейное; в точках нейтральной линии − в чистый сдвиг.

Величины главных и наибольших касательных напряжений, ориентация главных площадок зависят не только от внутренних силовых факторов и положения точки в сечении, но и от типа сечения. Поэтому рассмотренный пример прямоугольного сечения иллюстрирует лишь методику анализа напряженного состояния в балке. В других случаях подобное исследование должно проводиться аналогично, но с учетом конкретного распределения напряжений.

σz= Mxy/Jx= 6q(z2− lz)y/(bh3);

τzy= 6Qy(h2/4− y2)/(bh3) = 6q(l/2− z)(h2/4− y2)/(bh3).

150

Подставляя выражения напряжений в формулу (7.6) с учетом знака

касательного напряжения (оно отрицательно), получаем tg2α 0 = 2τ zy/σ z = (l− 2z)(h2/4− y2)/(z(l− z)y).

Возможны дальнейшие преобразования полученного выражения в направлении формирования дифференциального уравнения траекторий главных напряжений. Однако решение такого уравнения чрезмерно трудоемко. Поэтому остановимся на этом равенстве.

Если на боковую поверхность балки нанести множество точек, в каждой из них найти главные направления и изобразить их взаимно перпендикулярными отрезками, сформируются два семейства линий. Они и будут изображать потоки главных напряжений. Характерными для траекторий являются следующие особенности:

−при y=±h/2 угол α 0 = 0 − одно главное напряжение горизонтально, другое вертикально;

−угол α 0 = 0 и при z = l/2, в этом сечении поперечная сила равна нулю, касательных напряжений нет;

−если y = 0, угол α 0 = 45о − в точках нейтрального слоя главные напряжения наклонены к горизонтали под этим углом;

−под углом α 0 = 45о наклонены главные напряжения и в крайних сечениях балки: z = 0 и z = l, где изгибающие моменты равны нулю.

На рис. 7.17 сплошными линиями показаны траектории глав-

ных растягивающих напряжений, штриховыми − главных сжимающих.

Очертания траекторий главных напряжений зависят от

−вида нагрузки на балку;

−условий ее закрепления;

−формы и размеров поперечного сечения балки.

Поэтому приведенный пример следует рассматривать как иллюстрацию методики построения траекторий.

На практике траектории главных напряжений используются в конструкциях из комбинированных материалов. В железобетоне стальные стержни располагают вдоль траекторий растягивающих напряжений, освобождая бетон от работы на растяжение. В конструкциях из пластмасс армирующие нити также располагают по направлению растягивающих напряжений, где они наиболее эффективны.

151

7.8. Расчет на прочность при поперечном изгибе

Выбор критерия, по которому следует оценивать прочность балки при поперечном изгибе, не столь очевиден как при растяжении (сжатии) и кручении. В сечении балки возникают и нормальные, и касательные напряжения. Правда, как правило, нормальные напряжения максимальны там, где нет касательных напряжений (в точках, максимально удаленных от нейтральной линии), касательные же напряжения наибольшие в точках нейтральной линии, где отсутствуют нормальные напряжения. Эти обстоятельства облегчают назначение критериев прочности.

7.8.1. Для обоснования условий прочности балки сопоставим

гих типов сечений свидетельствуют о том, что в массивных сечениях maxτ zy<< maxσ z. Поэтому в балках массивных сечений можно игнорировать касательные напряжения и расчет на прочность вести по максимальным нормальным напряжениям σ z.

Максимальное нормальное напряжение в сечении балки maxσ z = = Mx ymax/Jx. Это выражение целесообразно преобразовать, объединив в одну две геометрические величины − Jx и ymax. Обозначим

(7.9)

Вновь введенная геометрическая характеристика сечения Wx называ-

ется осевым моментом сопротивления сечения балки. Размер-

ность осевого момента сопротивления см3, м3 и т.п. C учетом введен-

где R − расчетное сопротивление материала балки при одноосном растяжении (сжатии).

152

7.8.2. В балках с тонкостенными сечениями касательные напряжения τ zy нередко соизмеримы с нормальными. Поэтому в тон-

костенных балках наряду с проверкой (7.11) вводится условие прочности по касательным напряжениям (6.3):

maxτ zy ≤ Rs,

в котором Rs − расчетное сопротивление материала на срез; определяется по формуле Журавского (7.4).

7.8.3. Остановимся на новом геометрическом понятии − осевом моменте сопротивления сечения балки (7.9). Найдем его для некоторых типов сечений.

У сечений, несимметричных относительно нейтральной линии, расстояния до наиболее удаленных от нее точек в растянутой и сжатой частях сечения неодинаковы. В таких случаях вводят два осевых

опасных точек в балках, выбором критериев прочности и расчетом на прочность рассмотрим несколько примеров.

153

155

Сечение 1 (рис. 7.21 д).

Изгибающий момент в сечении Mx1 = 0,889ql2; растянуты нижние волокна.

Наибольшие растягивающие напряжения возникают в точках

нижнего края сечения, в частности, точке m:

maxσ zt = Mx1ym /Jx = 0,889ql2 1,36b/(9,44b4) = 0,128ql2/b3.

Наибольшие сжимающие напряжения в точках верхнего края,

где выбрана точка n:

maxσ zc= Mx1 yn /Jx = 0,889ql2 2,64b/(9,44b4) = 0,248ql2/b3.

Сечение 2 (рис. 7.21 е).

Изгибающий момент Mx2 = 0,5ql2; растянуты верхние волокна. Наибольшие растягивающие напряжения возникают в точках

верхнего края, среди которых точка n:

maxσ zt = Mx2 yn /Jx = 0,5ql2 2,64b/(9,44b4) = 0,139ql2/b3.

Наибольшие сжимающие напряжения в сечении 2 считать не

нужно, так как Mx1 > Mx2 и yn > ym.

Выполненные расчеты показали, что наибольшие растягивающие напряжения maxσ zt = 0,139ql2/b3 возникают в верхних точках сечения 2; maxσ zc = 0,248ql2/b3 – в верхних точках первого сечения.

Выясним, какие из них опаснее. В наиболее сжатых точках от-

ношение Rc /maxσ zc = 160/(0,248ql2/b3) = 645b3/(ql2), в растянутых же точках Rt /maxσ zt = 55/(0,139ql2/b3) = 396b3/(ql2) − резерв прочности при сжатии больше, опасны верхние точки сечения 2.

Выяснив положение опасных точек, завершаем решение задачи. Из условия прочности при растяжении (5.9) maxσ zt ≤ Rt следует

0,139ql2/b3 ≤ Rt, откуда b3 ≥ 0,139ql2/Rt = 0,139 0,24 1602 /5,5 = 155

см3, или b ≥ 5,4 см.

Пример 7.6. Рассмотрим теперь двутавровую балку из профиля № 24. Материал балки сталь 14Г2 с R = 320 МПа и Rs = 185 МПа. Длина участка l = 0,8 м. Балка подвержена нагрузке, изображенной на рис. 7.22 а. Определим нагрузку (параметр q), которую можно прикладывать к балке, не нарушая условий прочности.

Балка тонкостенная, с резким изменением ширины сечения в области больших нормальных напряжений. Поэтому ее следует проверить по

156

7.9. Рациональные типы сечений балок

Распределение напряжений по сечению балки неоднородно:

−нормальные напряжения вблизи нейтральной линии малы и возрастают по мере удаления от нее;

−касательные напряжения в части сечения, прилегающей к нейтральной линии, хотя и достигают наибольших значений, но, как правило, существенно меньше нормальных.

Это предоставляет возможность рационально размещать материал, полнее используя его прочность.

При равных расчетных сопротивлениях растяжению и сжатию, целесообразно выбирать сечения, симметричные относительно нейтральной линии (прямоугольник, круг, двутавр и т.д.), или несимметричные, но с центром тяжести посередине высоты (рельс).

Величина изгибающего момента, допустимого по условию

прочности (7.11), Mx ≤ RWx пропорциональна осевому моменту сопротивления сечения. Расход материала − площади A. Поэтому экономичность двух типов сечения можно оценить отношением площадей при равных моментах сопротивления.

Квадрат и круг.

Квадрат со стороной a: Wx1 = a3/6 (7.13); A1 = a2. Круг с диаметром D: Wx2 = π D3/32 (7.14); A2 = π D2/4.

Из равенства моментов сопротивления следует (a/D)3 = 6π /32 = = 0,589, откуда a/D = 0,838. Отношение площадей A1/A2 = = (4/π )(a/D)2 = 0,895. Квадрат экономичнее круга.

Квадрат и прямоугольник.

Прямоугольник с основанием b и высотой h: Wx3= bh2/6; A3= bh. При равных моментах сопротивления a3 = bh2. Запишем это соотношение по-другому: a2/(bh) = h/a. Отношение площадей A1/A3 = = a2/(bh) = h/a. Экономичность прямоугольного сечения по сравнению с квадратным зависит от отношения их высот. Если h < a, прямоугольник неэкономичен. При h > a, равнопрочное прямоугольное сечение рациональнее квадратного. С ростом высоты прямоугольника растет и его экономичность. Это обстоятельство способствует увеличению высоты сечения балок с уменьшением его ширины. Однако делать это можно до определенного предела, пока балка не приобрела излишнюю податливость к случайным боковым воздейст-

виям.

158