Практическое занятие 2.8.Отношения на множестве. Свойства отношений.

Задания для самостоятельной работы

1. Сформулировать свойства отноше­ния R, заданного при помощи графа .

1. Сформулируйте свойства отношения «больше в 2 раза», заданного на множестве натуральных чисел.

2. Дано множество Х = {х  х  N, 1  х  13}. Разбейте все элементы этого множества на классы так, чтобы в один класс попали числа, имеющие один и тот же остаток при делении на 3. Сколько получилось классов? По какому отношению произведено это разбиение? Какими оно обладает свойствами?

3. Постройте граф отношения «непосредственно следовать за», которое задано на множестве А = {7, 8, 9, 10}, и среди следующих высказываний укажите истинное:

• Отношение антисимметрично

• Отношение транзитивно.

8. На множестве Х = {0, 1, 2, 3} заданы отношения М={(0, 0), (1, 1) (2, 2), (3, 3), (0, 1), (1, 0), (2, 3), (3, 2)} и Т ={(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 1), (3, 2), (2, 3)}. Какое из них является отношением эквивалентности?

9. Докажите, что отношение «иметь равные значения» на множестве числовых выражений {2 · 4; 3 + 9; 15 - 3; 0 : 5; 7 + 1; 2³} отношением эквивалентности, и запишите классы эквивалентности.

10. Является ли отношение «быть выше ростом», заданное на множестве учащихся класса, отношением порядка?

11. На множестве А = {6, 3, 12, 9, 15} задано отношение «быть делителем». Упорядочивает ли оно множество А?

12. Отношение Р - «больше или равно» задано на множестве {3 см, 5 см, 18 см, 12 см}. Докажите, что Р - отношение порядка.

13. На рисунке приведены графы отношения R, P и Q. Есть ли среди них граф отношения порядка?

14. Множество А состоит из капитана Иванова, старших лейтенантов Остапчука Григорьева, лейтенантов Осипенко, Васильева и Шатилова, прапорщиков Семенова, Лебедева и Кравчу­ка. Изобразите при помощи графа отношение R - «а старше по званию, чем b» в этом множестве. Является ли R каким-либо отношением порядка?

15. Выясните, какими свойствами обладают следующие отношения, назовите среди них отношения эквивалентности и отношения порядка: а) «а конгруэнтно b» (в множестве треугольни­ков); б) «а концентрично b» (в множестве окружностей на плоско­сти); в) «а равно b» (в множестве рациональных чисел); г) «а меньше или равно b» (в множестве целых чисел); д) «а не больше, чем b» (в множестве целых чисел); е) «а кратно b» (в множестве натураль­ных чисел); ж) «а является дополнением b до прямоугольника» (в множестве геометрических фигур).

16. Какие из следующих отношений между людьми рефлек­сивны, какие симметричны и какие транзитивны: а) «а сестра b»; 6) «а начальник b», в) «а друг b». Назовите среди этих отношений отношения эквивалентности и отношения порядка.

17. Отношение между элементами множества всех целых чисел выражено уравнением у = х + 4. Постройте в прямоугольной системе координат график этого отношения, если оно определено на множестве А = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}.

18. Постройте в прямоугольной системе координат график отношения R, которому принадлежат точки А (х, у) с целыми коор­динатами, такие, что:

а) 0  х  10, -2  у  3; б) х = 2, -5 < у < 4; в) х = 2у, -4  у  4;