Пример 1

Рассмотрим переходный процесс в линейной электрической цепи второго порядка, вызванный подключением источника постоянной ЭДС к последовательно соединенным сопротивлению, индуктивности и ёмкости (рис. 4.2), выбрав в качестве реакции напряжение на емкости.

Рис. 4.2

Рассмотрим переходной процесс в цепи, составив дифференциальное уравнение для искомой реакции. Поскольку цепь не содержит узлов, а представляет собой контур, то достаточно составить одно уравнение по второму закону Кирхгофа, дополнив его компонентными соотношениями:

(4.9)

Подставим и в первое уравнение. Получим:

(4.10)

Подстановка в первое уравнение с последующим его делением почленно на приводит к дифференциальному уравнению вида:

. (4.11)

Введем обозначения:

, .

Пусть ,,,. Тогда:

, .

Поскольку , то переходной процесс носит апериодический характер и свободная составляющая реакции запишется в виде:

, (4.12)

где:

,

.

Вынужденную составляющую реакции определим, исключив обе производные из дифференциального уравнения (4.11):

. (4.13)

Тогда общее решение уравнения (4.11) имеет вид:

. (4.14)

Найдем независимые и зависимые начальные условия. В момент времени источник ЭДС был отключен от цепи и, следовательно:

, .

Согласно законам коммутации:

, .

Поскольку , то и .

Определим константы интегрирования и исходя из начальных условий для и . С этой целью запишем общее выражение для тока , воспользовавшись уравнение (4.13) и вторым уравнением исходной системы (4.9):

. (4.15)

Подставляя начальные условия в (4.14) и (4.15) получим следующую систему для определения и :

(4.16)

Выразим из первого уравнения и подставим его во второе. Получим:

, .

Следовательно:

, . (4.17)

С учетом найденных констант интегрирования искомая реакция принимает вид:

. (4.18)

На рис. 4.3 представлен график зависимости найденной реакции от времени:

Рис. 4.3

Пример 2

Рассмотрим переходной процесс в линейной электрической цепи второго порядка, вызванный подключением ветви, содержащей емкость (рис. 4.4). Выберем в качестве реакции ток, протекающий через емкость. Однако задачу проще решить, если сначала найти выражение, описывающее изменение напряжения на емкости, а затем воспользоваться компонентным соотношением.

Рис. 4.4

Данная цепь содержит два узла и три ветви. Следовательно, по первому закону Кирхгофа достаточно составить одно уравнение и по второму закону Кирхгофа – два уравнения³. Дополним эти уравнения компонентными соотношениями. Полученная система уравнений имеет вид:

(4.19)

Сведем данную систему уравнений к дифференциальному уравнению для напряжения на емкости. С этой целью подставим , и во второе и третье уравнения. Получим:

(4.20)

Выразим из первого уравнения и подставим во второе. Получим систему из трех уравнений вида:

(4.21)

Следующим шагом исключим из системы . Для этого выразим его из второго уравнения и подставим в первое. Получим:

(4.22)

Подставим в первое уравнение, приведем подобные и разделим все уравнение на . Получим:

. (4.23)

Введем принятые выше обозначения:

Пусть ,,,,. Тогда:

Поскольку , то характер переходного процесса – критический. Значит, свободная составляющая напряжения на емкостиравна:

, (4.24)

где:

.

Вынужденную составляющую напряжения на емкости найдем, исключив обе производные из дифференциального уравнения (4.23):

. (4.25)

Тогда общее решение уравнения (4.23) имеет вид:

. (4.26)

Для определения констант интегрирования и найдем зависимые и независимые начальные условия. Рассмотрим цепь в момент времени , предшествующий замыканию ключа (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Согласно второму закону Кирхгофа для данной цепи:

.

Следовательно:

.

Поскольку емкость была отключена от цепи, то напряжение на ней равнялось нулю:

.

Согласно законам коммутации:

, .

Рассмотрим цепь в момент времени , следующий сразу за замыканием ключа, и определим зависимое начальное условие (рис. 4.6).

Рис. 4.6

Поскольку сопротивление в данной схеме оказывается закороченным, то напряжение на нем равно нулю, а значит, согласно закону Ома, и ток . Следовательно, так как разветвления тока источника не происходит, то:

.

Запишем общее выражение для тока , воспользовавшись (4.26) и компонентным соотношением для емкости:

(4.27)

Подстановка найденных начальных условий в (4.26) и (4.27) дает следующую систему уравнений для нахождения и :

(4.28)

Решая эту систему, находи, что:

Тогда напряжение на емкости и ток, протекающий через нее, имеют вид:

, (4.29)

. (4.30)

На рис. 4.7 представлен график изменения тока со временем.

Рис. 4.7