Контрольные задания

Найти точки разрыва функции

13.1 y = 13.2 y =

13.3 y = |x-5|^(x+2) 13.4 y = ln|(x-5)(x-3)|

13.5 y = 13.6 y = log_|(x-2)(x+5)|x

13.7 y = |x+3|^(x+4) 13.8 y =

13.9 y = log_|(x-4)(x+1)|x 13.10 y = log_|(x+2)(x-3)|x

13.11 y = ln|(x-2)(x+5)| 13.12 y =

13.13 y = log_|(x+2)(x+4)|x 13.14 y = tg(4x)-tg(4x)

13.15 y = |x-2|^x+1 13.16 y = -tg(4x)+tg(2x)

13.17 y = ln|(x+4)(x-4)| 13.18 y =

13.19 y = -tg(5x)-tg(x) 13.20 y = log_|(x+2)(x+5)|x

13.21 y = log_|x+4||x+5| 13.22 y = ln|(x-1)(x+3)|

13.23 y = log_|(x+5)(x+3)|x 13.24 y = tg(2x)-tg(4x)

13.25 y = |x-4|^x-2 13.26 y = tg(3x)-tg(2x)

13.27 y = log_|x+1||x-1| 13.28 y = ln|(x+5)(x+4)|

13.29 y = 13.30 y =

13.31 y = 13.32 y = |x-2|^x+3

13.33 y = -tg(3x)-tg(x) 13.34 y = log_|(x+3)(x+4)|x

13.35 y = log_|x+5||x-3|

Найти пределы

14.1

14.2

14.3

14.4

14.5

14.6

14.7

14.8

14.9

14.10

14.11

14.12

14.13

14.14

14.15

14.16

14.17

14.18

14.19

14.20

14.21

14.22

14.23

14.24

14.25

14.26

14.27

14.28

14.29

14.30

14.31

14.32

14.33

14.34

14.35

6. Производная и дифференциал.

Производной называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю:

Геометрический смысл - тангенс угла наклона касательной.

Дифференциалом функции называется выражение dy=y¢dx.

Правила дифференцирования и таблица производных.

Основные свойства производных (правила дифференцирования):

1) c¢=0

2) (y±z)¢=y¢±z¢

3) (yz)¢=y¢z+yz¢, в частности (cy)¢=cy¢

4) , в частности

5)

6) (f(g(x)))¢=f¢(g(x))g¢(x), в частности (f(ax+b))¢=af¢(ax+b)

Таблица производных:

x¢=1 (xⁿ)¢=nx^n-1, в частности

(e^x)¢=e^x (a^x)¢=lnaa^x

(sinx)¢=cosx (cosx)¢=-sinx

Производные высших порядков.

При повторном дифференцировании производных получаются производные 2-го, 3-го, ... порядков. Они обозначаются так: y², y¢¢¢, y^IV, и т.д., а в общем случае y⁽ⁿ⁾

Пример 1.

y=sin(x²) y¢=2xcos(x²) y²=2cos(x²)-4x²sin(x²)

666

Найти производную и дифференциал:

1. y = x³ - 3x + 1 Решение: y¢ = 3x² - 3 Þ dy = (3x² - 3)dx (используем свойства 2, 3, таблицу и определение дифференциала)

2. y = 3x- 2x² + Указание

3. y = 2^x + log₂x 4. y = 3^-x + x^-3

5. y = xsinx + 2cosx 6. y = tg²x

7. y = 8. y =

9. y = arcsinx - arccosx 10. y = sin(x²)

11. y = x12. y = 2ln(2tgx)

Найти производную 2-го порядка:

13. y = arctgx 14. y = ln(x² + 1)

15. y = cos16. y = sinx×lnx

555

Приложения производной.

Формула Лагранжа: если функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a,b], то $ сÏ(a,b), что f(b) - f(a) = (b - a)f¢(c).

Правило Лопиталя: если или, то

Если f¢(x)>0, то f(x) возрастает, а если f¢(x)<0, то f(x) убывает.

Если при переходе через точку x₀ производная f¢(x) меняет знак, то в этой точке экстремум. Это оформляется например так:

- + + - - x min max на рисунке указаны знаки производной f¢(x)

Если при переходе через точку x₀ вторая производная f²(x) меняет знак, то в этой точке перегиб. Это оформляется например так:

- + + - - x Ç È È Ç Ç перегиб перегиб на рисунке указаны знаки второй производной f²(x)

Общая схема исследования функций:

1) Находим область определения и множество значений.

2) Определяем чётность-нечётность, периодичность, точки пересечения с осями координат.

3) Находим асимптоты и точки пересечения с ними.

4) Находим производную и экстремумы.

5) Находим производную второго порядка и перегибы.

6) Находим особенности, не входящие в пункты 1¸6.

7) Строим график функции.

666

Найти предел:

17. Решение: (два раза применили правило Лопиталя и затем замечательный предел)

18. 19.

Найти экстремумы:

20. y = 5x³ - 15x Решение: y¢ = 15x² - 15 15x² - 15 = 0 x_1,2=±1

+ - + x -1 1 max min

Ответ: ymax = 10 при x = -1 ymin = -10 при x = 1

21. y = ln2×3^-x + ln3×2^x 22. y = cos2x + 4cosx

Найти точки перегиба:

23. y = x⁴ - 6x² + 8 24. y =x³e^-x

Исследовать функцию и построить график

25. y = 26. y = x

27. y = 28. y =