1.3. Погрешности арифметических операций

Теорема 1.4. Абсолютная погрешность алгебраической суммы не превосходит суммы абсолютных погрешностей слагаемых, то есть

Теорема 1.5. Пусть - ненулевые числа одного знака. Тогда

Теорема 1.6. Для относительных погрешностей произведения и частного приближенных чисел верны следующие оценки:

Следствие. Если , то для оценки границ относительных погрешностей можно использовать следующие приближенные равенства Чаще всего на практике делают именно так.

1.4. Погрешности функций

Пусть - функция переменных, дифференцируемая в рассматриваемой области (например, на отрезке ).

Теорема 1.7. Для абсолютной погрешности значения справедлива следующая формула: . (1.4.1)

I частный случай. Функция - функция одного переменного. Здесь следует положить , тогда . Для относительных погрешностей все аналогично:

.

II частный случай. Функция - неявная. Этот случай отличается от исходного только формулой для нахождения частных производных:

1.5. Особенности машинной арифметики

Причиной появления вычислительных погрешностей является способ представления чисел на ЭВМ. В привычной нам десятичной системе счисления вещественное число представляется последовательностью символов, начиная со знака _, и продолжается цепочкой десятичных цифр , то есть

Так как десятичная система счисления позиционная, то значение числа вычисляется так:

Все вычислительные машины работают в двоичной системе счисления. В ней то же число выглядит следующим образом:

.

По форме представления, способу хранения и реализации вычислительных операций на ЭВМ целые и вещественные числа существенно различаются.

Целые представляются так: , где - фиксированное число. Всего для хранения числа отводят разряда, в том числе один разряд на знак числа. Таким образом, обычно не слишком велико, например, для ЭВМ РС Тогда

Арифметические операции сложения, вычитания и умножения производятся точно, если результат меньше или равен . Если же это не так, то ситуация не доводится до сведения пользователя, а результату присваивается некоторое значение меньшее абсолютной величины .

Вещественные числа представляются в форме с плавающей точкой, то есть в виде , где обычно - размерность мантиссы, - двоичный порядок. Порядок также записывается как двоичное целое число , на его хранение отводятся двоичных разрядов . Следует помнить, что на ЭВМ представимы не все числа, а лишь конечный набор рациональных чисел. Это – представимое множество данной вычислительной машины. Для всех остальных чисел возможно лишь их приближённое представление с ошибкой представления (ошибкой округления). Если округление производится усечением, то , если имеет место округление по дополнению, то , называется машинной точностью или машинным эпсилон.

Диапазон изменения чисел в ЭВМ ограничен. Если , то Если же , то

- 0 

0

Для ЭВМ РС диапазон представления вещественных чисел примерно равен: при этом