§2.1.7. Критерии оптимальности решения в условиях неопределённости

Рассмотрим задачу принятия решения, когда на стадии принятия решения ЛПР знает:

а) возможные состояния среды: у₁, у₂,..у_n Є Y – множество состояний окружающей среды.

б) результат, к которому приведёт выбор альтернативы х Є Х для каждого возможного состояния среды: у₁, у₂,..у_n, т. е. знает функцию выигрыша (проигрыша): f(х,y) для всех х Є Х, у = Y.

Х – множество альтернатив

Y – множество состояний среды

При этом ЛПР не располагает информацией о том, как распределены вероятности состояний среды и даже не знает, какие из этих состояний более вероятны. Такая ситуация принятия решений определяется как структурная неопределённость.

Задача выбора «наилучшего» решения требует определить критерий оптимальности. Очевидно, что широкое разнообразие жизненных и экономических ситуаций не может быть описано с помощью единственного критерия оптимальности, в математических моделях принятия решения предложены и исследованы несколько критериев оптимальности.

Сформулируем определение – что из себя должен представлять критерий оптимальности?

Для этого определения выделим следующие моменты:

1. Любой критерий оптимальности основан на определённых предположениях (гипотезах) о поведении окружающей среды.

2. Критерий оптимальности представляет собой правило выбора «наилучшего» решения.

Таким образом, критерий оптимальности – это правило выбора «наилучшего» решения в условиях неопределённости, основанное на определённых предположениях относительно поведения окружающей среды и предпочтений ЛПР.

При этом желательно, чтобы критерий оптимальности обладал свойствами, согласующимися со здравым смыслом и рациональностью. Чтобы пояснить, в чем состоит в данном случае рациональный подход, вспомним понятие доминируемости.

Пусть задача принятия решения характеризуется n-состояниями среды: у₁, у₂,..у_n и предусматривает выбор из m-альтернатив: х₁, х₂,..х_m. Причём для каждой пары (х_i, y_j) определено значение функции f(х_i, y_j).

Тогда задачу принятия решения можно описать с помощью платёжной матрицы (Таблица 7):

Таблица 7

Состояния среды Альтернативы	y1	y2	…	yj	…	yn
x1	f(x1,y1)	f(x1,y2)	…	f(x1,yj)	…	f(x1,yn)
x2	f(x2,y1)	f(x2,y2)	…	f(x2,yj)	…	f(x2,yn)
…	…	…	…	…	…	…
xi	f(xi,y1)	f(xi,y2)	…	f(xi,yj)	…	f(xi,yn)
…	…	…	…	…	…	…
xm	f(xm,y1)	f(xm,y2)	…	f(xm,yj)	…	f(xm,yn)

Предположим, что для некоторых целых чисел i и k Є [1,m] выполняется условие: для любого j f(x_i,y_j) ≥ f(x_k,y_j).

В строке i результаты больше, чем в строке k. Следовательно, стратегия x_i доминирует стратегию x_k, x_k – доминируемая стратегия.

Очевидно, что доминируемые стратегии (или альтернативы) заведомо хуже других, а доминирующие заведомо лучше. Отсюда следует, что первый принцип, которому должен удовлетворять критерий оптимальности, это принцип доминирования.

a) Принцип доминирования:

- если существует доминирующая стратегия, то критерий оптимальности должен обеспечивать выбор именно этой стратегии;

- если существуют доминируемые стратегии, то их удаление и введение не должно влиять на выбор наилучшей стратегии.

Так же очевиден смысл двух других принципов:

b) Перенумерация альтернатив (нумерация строк) и/или состояний среды (нумерация столбцов) не должна влиять на выбор наилучшей стратегии.

c) Предположим, что ко всем значениям функции выигрыша добавлено число а: f(x_i,y_j) + a. Очевидно, что критерий оптимальности должен обеспечивать выбор наилучшей стратегии, которая не зависит от прибавления аддитивной постоянной к функции выигрыша.

Рассмотрим наиболее часто применяемые критерии оптимальности.