3.3. Движение свободной частицы

При движении св. частицы U=0 a E=E_k. Рассмотрим движение частицы вдоль оси х. ∂²ψ/∂x²+(2m/ħ²)Eψ=0; решением является ψ=Ae^ikx; k-волновое число=2/λ; A(ik)²e^ikx+(2m/ħ²)EAe^ikx=0; -k²++(2m/ħ²)E=0; E=ħ²k²/2m. Т.к. k может принимать любые значения от 0 до 1, то энергетический спектр является непрерывным и эти значения энергии совпадают со значениями для классической нерелятивистской частицы. E= ħ²k²/2m=|k=2/λ|= ħ²4²/λ²2m= h²4²/4λ²2m=p²/2m.

3.4. Движение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме.

Рис. 14

U={∞, x<0; 0, 0<x<l; ∞, x>l};

∂²ψ/∂x²+(2m/ħ²)(E-U)ψ=0; ψ(0)=ψ(l)=0; для 0<xl: ∂²ψ/∂x²+(2m/ħ²)Eψ=0;

∂²ψ/∂x²+k²ψ=0; общее решение: ψ=Asin(kx)+Bcos(kx); выбор А и В осуществляется из граничных условий.

ψ(0)=0; 0=0+B₂­B₂=0; ψ=Asin(kx).

ψ(l)=0; Asin(kx)=0 имеет место, когда kl=n; n=1,2,3,…; k²=(2m/ħ²)E  E=k²ħ²/2m= n²²ħ²/2ml².

Энергия Е_n частицы в потенциальной яме с беск. высокими стенками

Квантованные значения энергии Е_n называются уровнями энергии, а число n-главным квантовым числом. ψ=Asin((n/l)x). Для определения А воспользуемся условием нормировки: ∫(±∞)|ψ|²dх=1; A²∫(±∞) sin²((n/l)x)dx=1; A=√(2/l); ψ=√(2/l)sin((n/l)x).

3.5.

Рис. 15

Анализ формул:

1) Рассмотрим энергетический интервал между двумя соседними уровнями энергии: ΔЕ_n=E_n+1-E_n= (²ħ²/2ml²)(n²+2n+1-n²)= ²ħ²/2ml²(2n+1) (²ħ²/ml²)n.

Примеры:

а) Для е при различных размерах ямы l~10^-1 м. ΔЕ_n~10^-35n Дж. Энергетические уровни расположены очень тесно, и спектр можно считать непрерывным.

б) е в атоме l~10^-10м; ΔЕ_n~10^-17n Дж 10²n эВ.

2) Частица в яме не может иметь энергию меньшую, чем Е ²ħ²/2ml²

3) Рассмотрим ΔЕ_n/Е_n2/n<<1 (при больших n). Если n очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней, т.е. дискретность сглаживается.

3.6. Уравнение Шредингера для потенциального барьера. Туннельный эффект.

Рис. 16

U={∞, x<0; 0, 0xl; ∞, x>l}

Для классической м.к. частицы, при Е>U возможно её прохождение через барьер, а при E<U, барьер не преодолим. Для м.к.ч. при Е>U возможно отражение от потенциального барьера, я при Е<U возможно прохождение через потенциальный барьер. Прохождение через потенц. барьер при Е<U называется туннельным эффектом.

I: ∂²ψ/∂x²+(2m/ħ²)Eψ=0; ψ₁(x)=A₁e^-ikx+B₁e^ikx.  k=√(2me)/ħ

Первое слагаемое A₁e^-ikx описывает отражённую волну, а B₁e^ikx описывает волну, проходящую через барьер.

II: ∂²ψ/∂x²+(2m/ħ²)(E-U)ψ=0; q=√((2m/ħ²)(E-U))=i, где =√((2m/ħ²)(U-Е)). Общее решение: ψ₂(x)=A₂e^+x+B₂e^-x. Рассмотрим случай высокого и широкого барьера. l>>1; ψ₂(x)=B₂e^-x.

III: ∂²ψ/∂x²+(2m/ħ²)Eψ=0; ψ₃(x)=A₃e^-ikx+B₃e^ikx. ψ₃(x)=A₃e^-ikx; B₂=0.

Рис. 17

Туннельный эффект объясняется с помощью соотношения неопределённости. ΔpΔxh; если Δx=l, то Δр=h/l; ΔE=Δp²/2m. Для количественного описания туннельного эффекта используется коэффициент прозрачности D=|A₃|/|A₁|. На границе раздела I и II областей: ψ₁(0)=ψ₂(0); ψ₁′(0)=ψ₂′(0). II и III: ψ₂(0)=ψ₃(0); ψ₂′(0)=ψ₃′(0). Коэффициенты В₁,В₂,А₂,А₃ нужно выразить через А. Получить выражение для А₃ и подставить. D=D₀exp((-2/ħ)√(2m(U-E)l)). Туннельный эффект лежит в основе многих явлений физики твёрдого тела. Например: контактные явления на границе раздела 2х полупроводников.