lib_bin_files_0701969_33_891

где

Хо - нижняя граница медианного интервала; К - величина медианного интервала; - сумма частот;

- сумма частот интервалов, предшествующих медианному (накопленная частота в интервале, предшествующем медианному).

Рm - частота медианного интервала.

Определим Me по данным примера 4.3. Ряд накопленных частот принимает следующий вид: 48; 168; 243; 305; 359. Полусумма частот равна 359/2 = 179,5. Полученные данные говорят о том, что медианным является третий интервал, т.е. интервал "30 - 40". Подставляем имеющиеся показатели в формулу:

Величина Me свидетельствует, что половина рабочих рассматриваемой группы имеет средний возраст 31,53 года.

Примерное значение медианы можно определить с помощью графика. Для этого используют кумуляту, последнюю ординату которой делят пополам и через полученную точку проводят прямую, параллельную оси ОХ до пересечения ее с кумулятой. Перпендикуляр, восставленный из этой точки на ось абсцисс указывает значение медианы. Проиллюстрируем это положение графиком, построенным по данным примера 4.3. (см. Рис.4.2).

Значение и смысл графического определения медианы аналогичны графическому определению моды.

Обобщая три средних величины, рассчитанные по одним и тем же данным, видим существующую разницу. Средний возраст условной группы рабочих (7) - 33,6 лет, наиболее распространенный, часто встречающийся средний возраст (Мо) - 26,2 лет, при этом половина рассматриваемой группы имеет средний возраст

49

нака. На практике чаще всего прибегают к изучению среднего квадратического отклонения (стандартного отклонения) конкретных значений признака от его средней величины. Оно обозначается σ (сигма) или S и позволяет определить границы, в которых изменяются конкретные значения признака. Величина, насколько в среднем каждое значение признака отличается от его средней арифметической, находится по формуле:

х- конкретные значения признака; средняя арифметическая ;

n- число наблюдений.

Стандартное квадратическое отклонение, возведенное в квадрат, называется дисперсией.

В том случае, если мы имеем дело с группировкой, с интервальным рядом, формула видоизменяется:

где

х- конкретные значения признака (для интервальной группировки - срединные значения признака);

- средняя арифметическая; р- частота признака в группировке.

Рассмотрим вычисление среднего квадратического отклонения для данных примера 4.3.

Полученное значение говорит о том, что в рассматриваемой совокупности рабочих N-ского предприятиях их возраст в среднем отклонялся на 12,77 лет от средней величины, равной 34,56 лет.

52

ности, адекватности исторической реальности. При большом разбросе в значениях признака, при значительных показателях вариации средняя величина не является достаточно достоверной характеристикой изучаемой совокупности.

Какое место занимает дисперсия в исторических исследованиях? Во-первых, как мы уже отмечали выше, она является необходимым и обязательным дополнительным показателем при сравнении средних и сопоставлении различных группировок. Вовторых, с ее помощью проверяется и обосновывается правомерность применения математических методов. Дисперсия служит своеобразным индикатором однородности изучаемой совокупности и нормальности ее распределения (см. лекцию 6). В-третьих, сравнение дисперсий различных признаков позволяет судить об их качественном значении в рассматриваемой системе. Дисперсии помогают не потерять сглаженное средними показателями своеобразие признаков изучаемого явления.

Средняя квадратпическая. Историки иной раз сталкиваются с проблемой определения средней земельной площади (площадь посевов; территория археологических раскопов; регион, охваченный восстанием и т.п.), но при этом известны не площади осредняемых участков, а только их линейные параметры. Путем качественного анализа проверяется возможность допущения, что каждый из рассматриваемых земельных участков имеет вид квадрата. Если проверка дала положительный результат, то для расчета средней площади имеющихся участков применяется формула средней квадратической:

Пример 4.5:

Предположим, что имеются три участка земли. Протяженность одного -100 м, второго - 200 м, третьего - 300 м. Надо определить среднюю протяженность земельного участка. Величи-

54

на средней арифметической = 200 м [(100+200+300)/3]. Ее реальность можно проверить, подсчитав площадь земельных участков, предположив, что они квадратной формы. Реальная площадь - 1002+2002+3002 = 140 000 м2, а площадь трех участков со стороной 200 м - 3(200)2=120 000 м2. Получилось, что мы "потеряли" в виду усреднения 20 000 м2. Следовательно, средняя арифметическая нас не удовлетворяет.

Применим среднюю квадратическую:

Приняв 216 м за среднюю протяженность одного участка, площадь всех трех - 139 968 м2. Как видим, "потери", вызванные усреднением значения признака, составили всего 32 м2.

** *

Средние показатели динамики. К средним показателям динамики относятся средний уровень ряда, средние абсолютные изменения и ускорения, средний темп роста. Все они выступают характеристиками тенденции.

Средний уровень интервального динамического ряда определяется как простая средняя арифметическая из уровней за равные промежутки времени или как средневзвешенная из уровней за неравные промежутки времени, длительность которых выступает в качестве "весов".

Пример 4.6:

Добыча нефти в СССР в 1976 - 1980 гг.

Как показывают данные таблицы, промежутки времени в примере 4.6. равные: по одному году. Значит мы должны применить здесь формулу простой средней арифметической для определения среднегодового уровня добычи нефти за 5 лет.

55

Средний уровень годовой добычи нефти за период 1976 - 1980 г.г. составил:

Пример 4.7.

Распределение занятости учебно-вспомогательного персонала в приемной комиссии.

В примере 4.7. временные промежутки разные - 14 дней, 7 дней, 6 дней, 4 дня. В данном случае надо использовать формулу средневзвешенной.

щенное значение признака между начальным и конечным моментом наблюдения. Следовательно, начальный и конечный уровни лишь наполовину относятся к изучаемому отрезку времени, а на половину к прошлому и будущему периодам. Это обстоятельство определило формулу средней хронологической.

Пример 4.8:

На 1 января 1924 г. в Средне-Волжском районе было зарегестрировано 47 546 переселенцев-мужчин (это не значит, что все они прибыли сюда 1 января), на 1 января 1925 г.- 46 725 мужчин, на 1 января 1926 Г.-64368 мужчин. Определить среднегодовое количество прибывших в Средне-Волжский район мужчин в 1924-26 гг.

56

Всреднем ежегодно в период 1924-1926 гг. в СреднеВолжский район прибывали 51 341 мужчина.

Вслучае, если промежутки между датами моментного ряда не равны, хронологическая средняя вычисляется по формуле:

где

Т - промежутки между датами; - уровни ряда; n - количество уровней.

Часть математиков считают проблему вычисления среднего уровня моментного ряда при неравных временных промежутках спорной. Однако в исторических исследованиях использование этой формулы возможно при тщательном контроле исходных данных и результатов вычисления качественным анализом.

Один из наиболее важных средних показателей динамического ряда - средний темп изменения (роста или сокращения). Он определяется по формуле средней геометрической. В литературе до сих пор нет универсального символа для обозначения этого показателя. Так, у Т.И.Славко используется G, у И.Д.Ковальченко - Кр , у И..И.Елисеевой - А.Я.Боярского -

где

У1 - начальный уровень динамического ряда; Уп - последний уровень диинамического ряда; n - число временных промежутков.

Вычислим среднюю геометрическую по данным предыдущего примера 4.8.

!S7