Импульсная характеристика цепи

Импульсной характеристикой цепи называется функция, описывающая переходной процесс в цепи с нулевыми начальными условиями при подключение ее к источнику единичного импульсного воздействия.

Изображение такого воздействия имеет вид

,

в этом случае изображение реакции

Таким образом, импульсная характеристика является оригиналом от схемной операторной функции:

(24)

Для фильтра второго порядка импульсная характеристика определяется выражением

. (25)

Корни знаменателя определяют вид импульсной характеристики. Так как они являются комплексно сопряженными и коэффициенты , то импульсная характеристика для данногоARC - фильтра имеет вид:

, (26)

. (26’)

2.2. Рассчитаем и построим графики реакции цепи на ступенчатое воздействие.

Реакцию цепи на ступенчатое воздействиеопределяется непосредственно с помощью переходной характеристики по формуле:

, (27)

где 1(t) – функция единичного импульса, U – амплитуда, - переходная функция цепи.

Для расчетов и построения графиков воспользуемся компьютерной программой MathCAD

Рис. 18 График реакции цепи на воздействие единичного импульса.

2.3. Рассчитаем и построим графики реакции цепи на импульсное воздействие.

Реакцию цепи на идеальное (бесконечно короткое) импульсное воздействиепроще всего найти с помощью импульсной характеристики цепи из следующего соотношения:

, (27)

здесь под S понимают площадь импульса, поскольку

.

Реакцию цепи на реальное импульсное воздействие (конечной длительности) также можно находить по формуле (27) при условие, что длительность воздействия значительно меньше (по крайней мере, на порядок) длительности реакции цепи. Последняя определяется импульсной характеристикой и зависит от корней знаменателя операторной функции цепи.

Поэтому импульсным можно считать воздействия, длительность которых удовлетворяют условию

, (28)

где - параметр импульсной характеристики цепи;- вещественная часть комплексных корней операторной функции цепи.

Найдем максимальное время , удовлетворяющее выражению (28)

Для расчетов и построения графиков воспользуемся компьютерной программой MathCAD

Примем период импульса :

Рис. 19 Графики реакции цепи на импульсное воздействие.

2.4. Найдем реакцию цепи на непериодический прямоугольный импульс амплитудой u, и длительностью tи с помощью переходной и импульсной функции фильтра. Построим график реакции.

Для определения реакции цепи на воздействие произвольной формы используют интеграл Дюамеля или интеграл наложения.

Интеграл Дюамеля имеет следующий вид:

,

где - воздействие произвольной формы;- реакция цепи на данное воздействие.

Для того чтобы определить реакцию цепи на непериодический прямоугольный импульс, необходимом определить участки интегрирования, где функция воздействия непрерывна и дифференцируема. Такими участками являются:

и

и .

На этих участках можно непосредственно применять интеграл Дюамеля. В точке разрыва следует учесть скачок воздействия отU до нуля, то есть ступенчатое воздействие. В результате для получается:

здесь третье слагаемое учитывает разрывность функции воздействия в точке .

Интеграл наложения имеет вид:

это выражение позволяет определить реакцию цепи на воздействие в виде прямоугольного импульса напряжения. Для моментов времени когда (при этом воздействие равноU),

.

Реакция на тоже воздействие, но для моментов времени , определяется так:

.

Поскольку воздействие при равно нулю, то второй интеграл равен нулю.

Реакцию цепи на прямоугольный импульс можно записать в виде одного интеграла, объединив оба выражения для . При этом верхний предел интегрирования определяется из условия, а сам интеграл имеет вид:

С помощью переходной функции фильтра

определяем реакцию ARC – фильтра на непериодический импульс:

Для построения графиков воспользуемся компьютерной программой MathCAD

Рис. 20 График реакции цепи, построенный с помощью переходной функции.

Теперь определим реакцию ARC – фильтра с помощью импульсной функции:

Рис. 21 График реакции цепи, построенный с помощью импульсной функции.