48. Переменный ток

Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания (см. § 147) можно рас­сматривать как протекание в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор, переменного тока. Переменный ток можно считать квазистационарным, т. е. для него мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, так как их изменения происходят достаточно медленно, а электромагнит­ные возмущения распространяются по цепи со скоростью, равной скорости света. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются закон Ома и вытека­ющие из него правила Кирхгофа, которые будут использованы применительно к пере­менным токам (эти законы уже использовались при рассмотрении электромагнитных колебаний).

Рассмотрим последовательно процессы, происходящие на участке цепи, содер­жащем резистор, катушку индуктивности и конденсатор, к концам которого приложено переменное напряжение

(149.1)

где U_m — амплитуда напряжения.

1. Переменный ток, текущий через резистор сопротивлением R (L0, C0) (рис. 213, а). При выполнении условия квазистационарности ток через резистор опреде­ляется законом Ома:

где амплитуда силы тока I_m= U_m/R.

Для наглядного изображения соотношений между переменными токами и напряже­ниями воспользуемся методом векторных диаграмм. На рис. 213, б дана векторная диаграмма амплитудных значений тока I_m и напряжения U_m на резисторе (сдвиг фаз между I_m и U_m равен нулю).

2. Переменный ток, текущий через катушку индуктивностью L (R0, C0) (рис. 214, а). Если в цепи приложено переменное напряжение (149.1), то в ней потечет переменный ток, в результате чего возникнет э.д.с. самоиндукции (см. (126.3)) . Тогда закон Ома (см. (100.3)) для рассматриваемого участка цепи имеет вид

откуда

(149.2)

Так как внешнее напряжение приложено к катушке индуктивности, то

(149.3)

есть падение напряжения на катушке. Из уравнения (149.2) следует, что

после интегрирования, учитывая, что постоянная интегрирования равна нулю (так как отсутствует постоянная составляющая тока), получим

(149.4)

где I_m= U_m/(L). Величина

(149.5)

называется реактивным индуктивным сопротивлением (или индуктивным сопротивлени­ем). Из выражения (149.5) вытекает, что для постоянного тока ( = 0) катушка индук­тивности не имеет сопротивления. Подстановка значения U_m=LI_m в выражение (149.2) с учетом (149.3) приводит к следующему значению падения напряжения на катушке индуктивности:

(149.6)

Сравнение выражений (149.4) и (149.6) приводит к выводу, что падение напряжения U_L опережает по фазе ток I, текущий через катушку, на /2, что и показано на векторной диаграмме (рис. 214, б).

3. Переменный ток, текущий через конденсатор емкостью С (R0, L0) (рис. 215, в). Если переменное напряжение (149.1) приложено к конденсатору, то он все время перезаряжается, и в цепи течет переменный ток. Так как все внешнее напряжение приложено к конденсатору, а сопротивлением подводящих проводов можно пренеб­речь, то

Сила тока

(149.7)

где

Величина

называется реактивным емкостным сопротивлением (или емкостным сопротивлением). Для постоянного тока ( = 0) R_С = , т. е. постоянный ток через конденсатор течь не может. Падение напряжения на конденсаторе

(149.8)

Сравнение выражений (149.7) и (149.8) приводит к выводу, что падение напряжения U_С отстает по фазе от текущего через конденсатор тока I на /2. Это показано на векторной диаграмме (рис. 215, б).

4. Цепь переменного тока, содержащая последовательно включенные резистор, ка­тушку индуктивности и конденсатор. На рис. 216, а представлен участок цепи, содер­жащий резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор ем­костью С, к концам которого приложено переменное напряжение (149.1). В цепи возникнет переменный ток, который вызовет на всех элементах цепи соответствующие падения напряжения U_R, U_L и U_C. На рис. 216, б представлена векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на резисторе (U_R), катушке (U_L) и конденсаторе (U_C). Амплитуда U_m приложенного напряжения должна быть равна векторной сумме амп­литуд этих падений напряжений. Как видно из рис. 216, б, угол  определяет разность фаз между напряжением и силой тока. Из рисунка следует, что (см. также формулу (147.16))

(149.9)

Из прямоугольного треугольника получаем откуда ам­плитуда силы тока имеет значение

(149.10)

совпадающее с (147.15).

Следовательно, если напряжение в цепи изменяется по закону U = U_m cos  t, то в цепи течет ток

(149.11)

где  и I_m определяются соответственно формулами (149.9) и (149.10). Величина

(149.12)

называется полным сопротивлением цепи, а величина

– реактивным сопротивлением.

Рассмотрим частный случай, когда в цепи отсутствует конденсатор. В данном случае падения напряжений U_R и U_L в сумме равны приложенному напряжению U. Векторная диаграмма для данного случая представлена на рис. 217, из которого следует, что

(149.13)

Выражения (149.9) и (149.10) совпадают с (149.13), если в них 1/(C)=0, т.е. С=. Следовательно, отсутствие конденсатора в цепи означает С=, а не С=0. Данный вывод можно трактовать следующим образом: сближая обкладки конденсатора до их полного соприкосновения, получим цепь, в которой конденсатор отсутствует (расстоя­ние между обкладками стремится к нулю, а емкость — к бесконечности; см. (94.3)).