§ 4. Ряд фурье для функции с произвольным

ПЕРИОДОМ.

Мы видели, что ряды вида

(1)

являются хорошим аналитическим аппаратом для представ- ления функций, заданных на промежутке длины .

Рассмотрим теперь функции заданные на отрезке длины. Пусть для определённости речь идёт о функциизаданной и дифференцируемой на отрезкеПо- ложим

Тогда будет заданной и дифференцируемой уже на отрезкеЗначит, кприменима теория, изложен -ная выше, и потому прибудет

Положим в этом равенстве .

Тогда для получаем равенство

. (2)

В точках сумма ряда равна

.

Остановимся на коэффициентах ряда (2). Например,

.

Подстановка даёт

Аналогично,

Что касается функций, заданных и дифференцируемых на отрезке то они допускают бесчисленное множество разложений вида (2). В частности, их можно разлагать по косинусам и по синусам. Последнее разложение имеет вид

,

где

(3)

ПРИМЕРЫ.

1. Найти разложение в ряд Фурье функции:

2

-2 0 2 Рис. 9

Найдём коэффициенты Фурье. тогда

Для первого интеграла применим формулу интегрирования по частям;

Для первого интеграла применим формулу интегрирования

по частям;

Следовательно, на промежутке ряд Фурье имеет вид

2. Найти ряд Фурье для чётной функции:

3

-3 0 3 6

Рис. 10

, функция чётная, поэтому . Найдём остальные коэффициенты ряда, учитывая, что при

Тогда получаем:

3. Разложить функцию в неполный ряд Фурье по.

Дополним график функции нечётным образом.

1

-2 -1 0 1 2

-1

Рис. 11

В данном примере . Коэффициенты

находим по формуле:

Второй интеграл снова интегрируем по частям:

Тогда:

§ 5 Ряд фурье в комплексной форме.

Пусть дан ряд Фурье для функции на отрезке:

(1) с коэффициентами

(2)

Обратимся к формуле Эйлера:

Отсюда

. (3)

Используя формулы (3), получаем;

.

Подставим данные выражения в ряд (1)

Полученный ряд и является рядом Фурье в комплексной форме. При этом коэффициенты данного ряда вычисляются по формулам:

аналогично,

Такие же формулы можно получить, преобразовав ряд Фурье для случая произвольного промежутка :

, (4) где

Или

Очевидно, что ряд Фурье в комплексной форме имеет более компактный вид.

В электротехнике и радиотехнике элементы ряда Фурье в комплексной форме

называются гармониками, коэффициенты -комплексными амплитудами, -волновыми числами функции .

ПРИМЕР. Построить ряд Фурье в комплексной форме для функции:

Для данной функции .

1

-2 -1 0 1 2 3

Рис. 12

При ,

для второго интеграла

При

Следовательно, для всех точек непрерывности функции имеет место равенство: