8.10. Реакция статической двухконтурной системы на во3мущающее воздействие
1 Для выходной координаты .
Передаточная функция разомкнутой системы
,
.
(8.56)
Следовательно, при возмущающем воздействии реакция системы в отношении координаты будет такой же, как при управляющем воздействии в отношении выходной координаты .
Аналогично при аппроксимации внутреннего замкнутого контура передаточная функция разомкнутого и замкнутого контуров будет
;
.
Таким
образом, переходная функция
при возмущающем воздействии может быть
построена по следующим выражениям:
(8.57)
(8.58)
Кривые
переходных процессов для
представлены на рис.8.27.
2) Для выходной координаты
Передаточная функция разомкнутой системы
;
;
(8.59)
В случае аппроксимации внутреннего замкнутого контура ( ) порядок уравнений снижается на один, поэтому
(8.60)
Отсюда
Поэтому для переходной функции выходной координаты при возмущающем воздействии можно записать
,
Где
оптимальная
переходная функция системы второго
порядка;
Следовательно, для переходных функций можно записать следующие выражения:
(8.61)
Учитывая
то, что при единичном возмущающем
воздействии F(p)=1 на входе системы имеется
задающее возмущение
=1,
результирующая переходная функция для
выходной координаты упрощенной
аппроксимированной системы по
возмущающему воздействию будет
определяться следующим выражением:
(8.62)
Аналогично, путем подобных преобразований, можно получить переходную функцию и для полной неаппроксимированной системы
(8.63)
На
рис. 8.27 представлены кривые переходных
процессов статической САР по управляющему
и возмущающему воздействиям для выходных
координат
и
внутреннего
и
внешнего
контуров регулирования.
По полученным кривым переходных процессов (см. рис. 8.26 и 8.27) могут быть получены основные статические и динамические показатели статических САР при управляющем и возмущающем воздействиях:
а) по управляющему воздействию
,
,
Рис. 8.27. Кривые переходных процессов САР по возмущающему воздействию
б) по возмущающему воздействию
,
,
Рассматриваемая система является статической по возмущению. В установившемся режиме при F= 1 выходной сигнал внутреннего контура = 1 и внешнего контура
.
8.10. Оптимизация cаp по симметричному оптимуму
Как было показано ранее, любой оптимизированный по «модульному» оптимуму контур регулирования может быть представлен колебательным звеном с передаточной функцией
,
где
- наименьшая постоянная времени
рассматриваемого контура с коэффициентом
демпфирования
0,707.
В этом случае логарифмическая амплитудная частотная характеристика имеет вид кривой 1-1 на рис. 8.28. Важнейшим достоинством таких систем является возможность получения оптимального переходного процесса с минимальными значениями перерегулирования и времени регулирования. Кроме того, такой метод оптимизации обеспечивает простоту построения и расчета таких оптимальных систем. Однако недостатком такого метода является то, что система регулирования в этом случае будет статической, поэтому в ряде случаев требования к точности регулирования не могут быть удовлетворены.
Из способа оптимизации по техническому оптимуму следует, что с целью придания оптимизированному контуру регулирования астатической характеристики в него вводится интегрирующее звено (если в объекте регулирования оно отсутствует). Обычно в рассматриваемых САР кроме управляющего воздействия имеется и возмущающее воздействие. В этом случае статическая ошибка регулирования при возмущающем воздействии может превысить допустимую величину. Для уменьшения либо исключения ошибки в этом случае необходимо изменить настройку системы регулирования. Рассмотренная ранее система является астатической по управляющему воздействию и статической по возмущающему воздействию. Это значит, что при приложении возмущения возникает статическая ошибка, величина которой пропорциональна этому возмущению.
Для получения системы астатической и по возмущающему воздействию необходимо иметь два интегрирующих звена.
Но
система, имеющая 2 интегрирующих звена,
является структурно неустойчивой, т.к.
ее ЛАЧХ пересекает ось частот с наклоном
-40 дБ/дек. Для обеспечения устойчивости
контура регулирования с двукратным
интегрированием его ЛАЧХ (рис. 8.28, кривая
2-2) должна повторять в зоне частоты
среза
наклон
ЛАЧХ, равный -20 дБ/дек.
Следовательно,
ЛАЧХ двукратно интегрирующей системы
в области частоты среза должна иметь
наклон -20 дБ/дек. А переход к двукратному
интегрированию, т.е. переход в наклон
-40 дБ/дек, должен осуществляться левее
частоты среза (на октаву), т.е. при
,
что симметрично по отношению к
существующему перелому ЛАЧХ справа на
одну октаву от частоты среза, т.е.
.
В связи с этим, такой способ оптимизации
с двухкратным интегрированием называется
«симметричным оптимумом» по виду
желаемой ЛАЧХ.
Передаточная функция разомкнутого контура регулирования, соответствующая ЛАЧХ, имеет вид
(8.64)
Рис. 8.28. ЛАЧХ и ЛФЧХ контура при настройке на симметричный оптимум
Увеличение наклона низкочастотной части ЛАЧХ до -40 дБ/дек позволяет уменьшить динамические ошибки за счет увеличения коэффициента усиления в низкочастотной области ЛАЧХ. Логарифмическая фазовая частотная характеристика при этом также имеет симметричный характер
относительно
частоты среза
.
ЛФЧХ такой системы, рассчитанная по
выражению
,
представлена на рис. 8.28. Из этой
характеристики видно, что максимум
запаса по фазе
=37°будет
иметь место примерно в середине
среднечастотной амплитуды с наклоном
-20 дБ/дек. Поэтому в теории автоматического
управления они получили название
симметричных.
Следовательно, система, настроенная по «симметричному оптимуму», будет астатической с астатизмом второго порядка (как по управляющему, так и возмущающему воздействиям). Для ЛАЧХ такой системы имеем следующие пропорции частот:
,
Где
.
Как было отмечено выше, астатическая САР должна быть двукратно интегрирующей. Внутренний контур САР, настроенный по модульному оптимуму, обеспечивает астатизм по управляющему воздействию. В связи с этим, при настройке САР по «симметричному» оптимуму внутренний контур должен быть настроен таким же образом, как и в однократно интегрирующей системе, т.е. должен иметь оптимальную передаточную функцию.
В выражение (8.63) в качестве сомножителя входит выражение
, соответствующее разомкнутой оптимальной системе, настроенной по модульному оптимуму при аппроксимации внутреннего замкнутого контура. Передаточная функция разомкнутой системы, настроенной по симметричному оптимуму, отличается от этого выражения множителем (1+8 p)/ 8 p Следовательно, для получения двукратно интегрирующей системы необходимо изменить передаточную функцию регулятора, т.е.
,
(8.65)
Где
-
передаточная
функция регулятора внешнего контура,
настроенного по модульному оптимуму.
Передаточная функция замкнутой двукратно интегрирующей системы
(8.66)