Закон Ламберта

Законом Стефана - Больцмана определяется количество энергии, которое излучается телом по всем направлениям. Изменение излучения по отдельным направлениям определяется законом Ламберта.

Каждое направление определяется углом который оно образует с нормалью к поверхности.

Согласно закону Ламберта количество энергии, излучаемое элементом поверхности dF₁ в направление элемента dF_{2 ,} пропорционально количеству энергии излучаемой по нормали dQ_n , умноженному на величину пространственного углаито есть

или

где - энергия излучения в направлении нормали.

Следовательно, наибольшее количество энергии поверхностью излучается в направлении нормали при С увеличениемколичество излучаемой энергии уменьшается и прионо становится равным 0.

В этом уравнении неизвестноДля его определения уравнение необходимо проинтегрировать по поверхности полусферы, лежащей над плоскостью

Плоский угол в абсолютных единицах измеряется отношениемгдеr — радиус круга, S — дуга, на которую опирается этот угол. Бесконечно малый плоский угол измеряется отношением

Аналогично измеряется и пространственный (телесный) угол:

или

Если в сферических координатах обозначает долготу, а- полярное расстояние (широту), то направлениеиопределяют бесконечно малый уголкоторый на сфере радиусаr вырезает сферический четырехугольник стороны которого равны:и

Следовательно, телесный угол равен

Подставляя полученное выражение в уравнение для Q, получим:

Проинтегрируем это выражение по всей поверхности полусферы, то есть в пределах изменения угла от 0 дои углаот 0 дои получим:

или

но

Так как левые части уравнений равны, то, приравнивая их правые части, определяем неизвестную

Из этого уравнения следует, что энергия излученная в направлении нормали враз меньше ( полного ) интегрального полусферического излучения тела, определяемого по закону Стефана — Больцмана. После подстановкизакон Ламберта принимает вид

Это уравнение служит основой для расчета лучистого теплообмена между поверхностями конечных размеров.

Закон Ламберта строго справедлив для абсолютно черного или серого тела. Для тел, обладающих диффузным излучением, только в пределах

Для полированных поверхностей закон Ламберта неприменим.

6.2 Теплообмен излучением в системе произвольно расположенных тел

Рассмотрим два черных тела с изотермическими поверхностями с температурами Т₁ и Т₂. Самооблучение отсутствует, т.е. . Необходимо найти поток результирующего излучения.

Выделим элементарные площадки и, бесконечно малые по сравнению с расстояниемr между их центрами.

Лучистый поток, падающий с элементарной площадки на площадку, составит:

.

Тепловой поток, падающий с на, равен:

.

Элементарные телесные углы можно представить соотношениями:

; .

Яркость излучения каждой из площадок можно выразить через плотность полусферического излучения. Тогда зависимости примут вид:

;

.

Введем обозначения:

;

,

где ,- элементарные угловые коэффициенты излучения, тогда:

;

.

Здесь и- полные элементарные потоки собственного излучения, испускаемые площадкамииво всех направлениях.

Из последних зависимостей:

; .

Элементарный угловой коэффициент излучения характеризует долю энергии излучения, которая попадает с элементарной площадки одного тела на элементарную площадку другого тела по отношению к полному лучистому потоку, испускаемому элементарной площадкой первого тела.

Произведение элементарного углового коэффициента излучения на величину соответствующей элементарной площадки называется элементарной взаимной поверхностью излучения.

; ,

тогда:

; .

Введем местные (локальные) значения угловых коэффициентов излучения или местные коэффициенты облученности:

;

.

Местные значения потоков излучения элементарных площадок ина конечные поверхностии:

;

.

Из этих зависимостей следует:

; .

и носят название местных угловых коэффициентов излучения. Они характеризуют долю энергии, испускаемой элементарной площадкой одного тела на конечную поверхность другого тела.

Взаимная поверхность излучения:

; ,

при этом =.

Найдем результирующий поток излучения:

.

Для получения , Вт, необходимо это уравнение проинтегрировать.

Предварительно введем понятия средних угловых коэффициентов излучения:

; .

Средние угловые коэффициенты позволяют найти:

; .

Результирующий поток излучения определяется разностью:

.

Средние угловые коэффициенты излучения через соответствующие лучистые потоки равны:

; .

Средний угловой коэффициент излучения характеризует долю энергии, которая падает с тела, имеющего конечную площадь поверхности , на другое тело с площадью поверхностипо отношению к полному потоку собственного излучения первого тела.

Средние взаимные поверхности излучения:

; ,

тогда результирующий поток определится как:

.

С учетом того, что , получим:

.

Если рассматривать излучение серых тел, то для расчета результирующего потока излучения необходимо использовать вместо собственного потока E поток эффективного излучения:

.

Используя свойство взаимности и учитывая, что результирующий поток можно определить, как , получим следующую формулу для серых тел:

.

Угловые коэффициенты являются геометрическими характеристиками и зависят от размеров, формы обоих излучающих тел и их взаимного расположения. Вычисление углового коэффициента представляет большие математические трудности даже для простейших случаев, и поэтому его определяют графическим путем. При решении технических задач значения угловых коэффициентов берутся из таблиц.