Вопрос 2
Принцип Даламбера для материальной точки
|
Принцип Даламбера устанавливает единый подход к исследованию движения любой механической системы вне зависимости от характера налагаемых на это движение условий. При этом динамическим дифференциальным уравнениям движения придается вид уравнений равновесия. Рассмотрим несвободную материальную точку М, движущуюся по кривой АВ под действием активных сил, равнодействующая которых равна F. Обозначив через N силу реакции, с которой кривая АВ действует на точку М, запишем основное уравнение динамики точки/ Силы F, N, Ф образуют сходящуюся систему сил и полученное уравнение выражает условие равновесия этой системы, что и составляет принцип Даламбера для материальной точки. В каждый момент движения материальной точки действующие на нее активные силы, силы реакций наложенных на точку связей и условно приложенная к точке сила инерции образуют уравновешенную систему сил. Прикладывая силу инерции к движущейся точке, мы можем говорить лишь об условном равновесии приложенных к ней сил. Однако такая трактовка динамического уравнения движения в некоторых случаях обеспечивает наиболее простое и удобное решение задач динамики - (особенно первой), и поэтому принцип Даламбера широко применяется во многих прикладных дисциплинах. |
По теореме Пуансо систему сил инерции, приложенных к точкам твердого тела, в общем случае можно заменить силой и парой сил. Сила приложена в центре приведения и равна главному вектору сил инерции, момент пары равен главному моменту сил инерции относительно центра приведения.
Поскольку 
, 
,
применяя теорему о движении центра масс
и теорему об изменении кинетического
момента, находим: 
, 
. Здесь
за центр приведения 
принята произвольная
неподвижная точка в инерциальной системе
отсчета. Обычно за центр приведения
выбирается центр масс механической
системы.
Тогда
с учетом теоремы об изменении кинетического
момента в поступательно движущейся с
центром масс системе отсчета 
, 
.
Рассмотрим частные случаи движения твердого тела.
1) При поступательном движении твердого тела выбирая за центр приведения центр масс системы, находим, что главный момент сил инерции относительно центра масс равен нулю
.
То
есть система сил инерции приводится к
равнодействующей, которая приложена в
центре масс и определяется равенством 
.
2)
При вращении
тела,
имеющего плоскость материальной
симметрии, вокруг оси, проходящей через
центр масс перпендикулярно этой
плоскости выбирая за центр
приведения неподвижную точку (рис.
17.3), совпадающую с центром масс, находим,
что 
.
Система сил приводится к паре сил,
лежащей в плоскости материальной
симметрии тела. Вектор момента этой
пары определяется равенством 
. Алгебраический
момент пары сил инерции может быть
вычислен по формулам:
.
3) При плоском
движении твердого тела,
имеющего плоскость материальной
симметрии в качестве центра приведения
выбираем центр масс, расположенный
в плоскости симметрии тела, которая
перемещается в координатной плоскости 
(рис.
17.4). Так как плоское движение может быть
представлено как сложение поступательного
движения с центром масс и вращательного
вокруг оси 
,
проходящей через центр масс, то система
сил инерции приводится к силе и к паре,
лежащей в плоскости материальной
симметрии 
, 
, где 
−
момент инерции относительно оси,
проходящей через центр масс, перпендикулярно
плоскости материальной симметрии.
4) Аналогично
рассматривается приведение системы
сил инерции при вращении тела, имеющего
плоскость материальной симметрии,
вокруг оси, не проходящей через центр
масс. При этом за центр приведения может
выбираться как центр масс, так и
неподвижная точка на оси вращения (рис.
17.5). Если в качестве центра приведения
принимается точка 
,
лежащая на оси вращения в плоскости
симметрии, то главный момент сил инерции
равен 
,
где 
- момент
инерции тела относительно оси вращения 
.
Билет 8