Вопрос 9. Минор и алгебраическое дополнение данного элемента

Минором данного элементаопределителя называется определитель, получающийся из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Алгебраическим дополнением  А_ij  элемента а_ij матрицы  n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:

то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.

Вопрос 10. Вектор, длина вектора, одинаковое и противоположное направление двух векторов, равенство двух векторов.

Векторомназывается направляющий отрезок.

Длиной (модулем) вектора  называется неотрицательное число, равное расстоянию между его началом и концом, то есть длина вектора - это длина отрезка . Длина  обозначается 

Если вектор задан своими координатами: , то его длина находится по формуле:

Два вектора имеют одинаковые направления (противоположные направления), если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону (противоположные стороны).

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковые длины и одинаковые направления.

Вопрос 11. Свободный вектор, нулевой вектор

Два вектора называются равными, если они:

а) коллинеарны, одинаково направлены;

б) имеют равные длины.

Все нулевые векторы считаются равными друг другу.

Это определение равенства векторов характеризует так называемые свободные векторы. Данный свободный вектор можно переносить, не меняя его направления и длины, в любую точку пространства (откладывать от любой точки), при этом будем получать векторы, равные данному. Таким образом, свободный вектор определяет целый класс равных ему векторов, отличающихся только точкой приложения. Далее будут рассматриваться, как правило, свободные векторы, при этом слово "свободные" будет опускаться.

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым, его длина равна нулю. Если длина вектора положительна, то его называют ненулевым. Ненулевой вектор можно определить также как направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек считается первой (началом вектора), а другая — второй (концом вектора). Направление нулевого вектора, естественно, не определено.

Вопрос 12. Линейные операции над векторами и их свойства

Сумма двух векторов a и b называется вектор a+b, который определяется по «правилу треугольника»

Сумму двух векторов можно находить по «правилу параллелограмма»

Свойства операции сложения: для любых векторовa,b,c

1. a+b = b+a

2. (a+b)+c = a+(b+c)

3. a+0 = a

4. a+(-a) = 0

Разностью а – b  векторов а и b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а.

Свойства умножения вектора на число:

Свойство 1. k(a + b) = ka + kb.

Свойство 2. (k + m)a = ka + ma.

Свойство 3. k(ma) = (km)a.

 

Вопрос 13. Коллинеарные и компланарные векторы

Векторы называются коллинеарными,если они лежат на параллельных прямых. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда, будучи приложенными к одной точке они лежат на одной прямой.

Векторы называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях. Векторы компланарны тогда и только тогда, когда, будучи приложенными к одной точке они лежат в одной плоскости.

Вопрос 14. Проекция вектора на ось, проекция вектора на вектор, вычисление проекций

Проекция вектора а на ось Lназывается длина его составляющей по осиL, взятая со знаком «+», если направления составляющей по осиLсовпадают, и со знаком «–», то эти направления противоположны.

Под проекцией вектора а на вектор b(не равный нулю) понимается проекция вектора а на (любую) ось, имеющу направление вектора b.

Вопрос 15. Координаты вектора

Вопрос 16. Единичный вектор (орт)

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором ( или ортом ). Единичный вектор, имеющий направление данной оси L (данного вектора а), называется ортом оси L(ортом вектора а)

Вопрос 17. Радиус-вектор точки

Пусть М – произвольная точка координатного пространства Oxyz. Радиус-вектора точки М называется вектор r=ОМ.

Вопрос 18. Линейные операции над векторами в координатной форме

Равенство векторов и линейные операции (сложение векторов и умножение вектора на число) удобно представлять в координатной форме. При этом справедливы следующие свойства.

1. Равные векторы имеют равные координаты (в одном и том же базисе).

2. Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых.

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению этого числа на соответствующую координату вектора.

4. Каждая координата линейной комбинации векторов равна линейной комбинации соответствующих координат векторов.