Гомоморфизм

В группе автоморфизмов Aut (G) группы G содержится одна особая подгруппа I_nn(G ) и называется группой внутренних автоморфизмов. Ее элементами являются отображения I_а:qaga^-1. Легко показать, что I_а действительно удовлетворяет всем свойствам требуемым от автоморфизмов, причем I_а=I, Ie=1- единичный автоморфизм, IaIb=Iab, так как (IaIb)(g) =I_a(I_b(q))=I_a(bgb^-1)=abgb^-1a^-1=abg(ab)^-1=I_ab(g).

Последнее соотношение показывает, что отображение

f: GI_nn(G)

G на группу I_nn(G ) ее внутренних автоморфизмов определяется формулой f(a)=Ia,aG обладает свойством а) изоморфного отображения f(a)f(b)=f(a,b). Свойство б) при этом необязано выполняеться. Если, например, G абелева группа, то aga^-1= g а,gG, так что I_a= I_е и вся группа I_nn(G) состоит из одного единичного элемента Ie.

Определение.

Отображение f^:: GG' группы (G,) в (G',) называется гомоморфизмом, если а,bG f (a b)=f(a) f(b) (другими словами выполняется только свойство а) из определения изоморфизма).

Ядром гомоморфизма f называется множество ker f ={gG| f(g)=e' – единица группы G'}.

Гомоморфное отображение группы в себя называется еще эндоморфизмом.

Кольца и поля

Определение.

Пусть К – не пустое множество, на котором заданы две бинарные алгебраические операции «+» (сложение) и «» (умножение), удовлетворяющие следующим условиям:

1). (К, +) – абелева группа;

2). (К,) – полугруппа;

3). операции (+) и () связаны дистрибутивными законами (другими словами, умножение дистрибутивно по сложению).

(a+b)c=ac+bc, c(a+b)=ca+cb a,b,cК.

Тогда (К,+,) называетсякольцом. Структура (К, +) называется аддитивной группой кольца, (К,) – его мультипликативной полугруппой. Если (К,) – моноид (полугруппа с 1), то говорят, что (К,+,) - кольцо с 1.

Единичный элемент кольца принято обозначать 1. Существование 1 часто вносится в определение кольца. В приложениях и в общей теории колец рассматриваются алгебраические структуры, в которых аксиома 2 либо совсем устраняется, либо заменяется другой, в зависимости от конкретной задачи. В таких случаях говорят о не ассоциативных кольцах. Подмножество L кольца К называется подкольцом, если х,уLх-уL, хуL,то есть если L подгруппа аддитивной группы и подполугруппа мультипликативной полугруппы кольца. Кольцо называется коммутативным, если

ху = ух х,уК

(в отличие от групп, коммутативное кольцо не принято называть абелевым).

Примеры колец.

1. (Z,+,) – кольцо целых чисел с обычными операциями + и). МножествоmZ целых чисел делящихся на m, будет в Z подкольцом (без 1 при m>1).

Кольцами с 1 являются Q и R, причем естественные включения определяют цепочки подколец кольцаR.

2. Обозначим (или ) множество всех квадратных матриц (а_ij) порядка n с вещественными коэффициентамиа_ij. Очевидно, что - кольцо с единицей Е (Е– единичная матрица). Оно называется полным матричным кольцом над R. Так как при n>1 матрицы, как правило, неперестановочны, то – некоммутативное кольцо. Оно содержит в качестве подколец кольца и квадратных матриц того же порядка над Q и Z соответственно.