3. Гидростатика

3.1. Гидростатическое давление. Давление в неподвижной жидкостирназываетсягидростатическими представляет собой напряжение сжатия в точке, расположенной внутри покоящейся жидкости,

,

где ∆F– сила, действующая на площадку ∆S, содержащую рассматриваемую точку.

Если давление родинаково в любой точке площадки площадьюS, то оно выражается зависимостью,

,(3.1)

где F– сила, действующая на площадку.

Гидростатическое давление в данной точке всегда направлено перпендикулярно к площадке, на которую оно действует. В случае, когда из массовых сил действует лишь одна сила тяжести, гидростатическое давление рв точке, находящейся на глубинеh, определяется по формуле

, (3.2)

где р₀– давление на свободной поверхности жидкости;– плотность жидкости;g– ускорение свободного падения. Гидростатическое давление, определяемое по формуле (3.2), называется полным или абсолютным давлением. Давлениер₀может иметь разную природу: жидкость может контактировать с газовой средой (например, с атмосферой и в этом случаер₀– атмосферное давление), с твёрдым телом (испытывать давление поршня) или с другой жидкостью (например, на слой ртути в резервуаре налит слой воды и на поверхность ртути действует некоторое давлениер₀).

Пример 3.1.Определить избыточное и полное давление на дно резервуара, наполненного водой. Резервуар сверху открыт, давление на свободной поверхности атмосферное. Глубина воды в резервуареh= 1,3 м. Атмосферное давление принять равнымр_ат = 98000 Па.

Решение. Избыточное давление определяется по формулер_из= 10009,811,3 = 12753 Па. Полное давление равнор=р_ат + gh= 98000 +12753 = 110753 Па.

Из (3.2) следует, что внешнее давление р₀, приложенное к свободной поверхности жидкости, передаётся всем точкам этой жидкости и по всем направлениям одинаково (закон Паскаля).

Если р₀=р_ат, то зависимость (3.2) принимает вид:

р=р_ат + gh. (3.3)

Рассмотрим простой и полезный в дальнейшем прием, часто применяемый при решении задач гидростатики; на рис. 3.1 изображена емкость с жидкостью, закрытая сверху. Под крышкой создано некоторое давление газар_х, отличное от атмосферного, которое требуется определить. Плотность жидкости, высота столба жидкостиh₂в трубке П с открытым концом, а также расстояние от поверхности жидкости в резервуаре до центра отверстия в стенке сосудаh₁считается известным.

Вообразим в основании трубки П плоскую площадку Пл, состоящую из частиц жидкости; т.к. вся жидкость покоится, то и площадка Пл покоится. Это значит, что силы F₁иF₂, действующие слева и справа на эту площадку, равны (жидкость – текучая среда, легко подвижная) и неравенство сил вызвало бы движение жидкости, что не соответствует начальному предположению о том, что вся жидкость покоится). Сила, действующая слева, равнаF₁ =p₁S, а сила, действующая справа –F₂ =p₂S, гдеS– площадь площадки Пл;р₁– давление на площадку слева;р₂– давление на площадку справа. ИзF₁ =F₂следует, чтор₁=р₂.

Давление слева р₁складывается из давления на свободной поверхности в сосудер_хи давления, создаваемого столбом жидкостиh₁, находящейся в сосуде

р₁=р_х+ ρgh₁ .

Давление справа р₂складывается из давленияр_атна свободной поверхности жидкости в трубке П и давления, создаваемого в основании столба жидкости в трубке П высотойh₂

р₂=р_ат+ ρgh₂ .

Приравнивая р₁ир₂, получаем окончательно уравнение

р_х+ ρgh₁ =р_ат+ ρgh₂ ,(3.4)

из которого возможно определить р_х(еслир_хизвестно, то можно найтиh₂).

Из рис. 3.2 видно, что в зависимости от давления на свободной поверхности в закрытом сверху сосуде возможны три варианта расположения уровней жидкости в пьезометре:

а) если p₀>p_ат,h₁>h; б),h₁ =h; в) если, тоh₁<h.

а) б) в)

Рис. 3.2

Если подставить в выражение для избыточного давления p_изб=ρghплотность в кг/м³, ускорение свободного падения в м/с², а глубинуhв метрах, то давление получим в паскалях (Па). Таким образом, если в зависимость дляр_избподставить величины, выраженные в системе СИ, то и ответ будет получен в такой же системе, т.е. в Па. Из формулы (3.3) следует, что абсолютное давление складывается из двух составляющих: внешнего давленияр₀и давления, определяемого величиной ρgh. Разность их называется избыточным давлением. Если на свободной поверхности давление равно атмосферному, то избыточное давление равнор_изб = ρgh₀. Избыточное давление также называется манометрическим; для измерения давления могут применяться различные приборы, например, дифференциальный жидкостный манометр. Точность измерения разности давлений этим манометром зависит от точности определения плотностии разности ∆h. Избыточное давление также может быть измерено механическим манометром. Если механический манометр никуда не присоединен, его показание равно нулю, а присоединенный к объему жидкости или газа с давлениемр_ат+ ∆р, он покажет значение ∆р.

Отношение давления рк произведениюgимеет размерность длины и выражается обычно в метрах или сантиметрахH=p/g. Таким образом, последнее равенство устанавливает связь между давлениемри некоторой длинойН, которая называется напором.

Пример 3.2. В пьезометре, присоединенном в точке А на глубинеh₁ = 0,6 м, вода поднялась на высотуh₂ = 1,7 м. Определить избыточное давление в точке А и давлениерна свободной поверхности в сосуде, рис. 3.3.

Решение.Избыточное давление в точке А избыточно по отношению к атмосферному давлению, которое действует на поверхность воды в пьезометре. Поэтому избыточное давление создается не столбом жидкостиh₁в сосуде, а столбом жидкости высотойh₂в пьезометре, поэтому

р_изб=р_м= ρgh₂= 1000·9,81·1,7 = 16677 Па.

Для определения неизвестного давления р применим зависимость (3.4), которая в данном случае примет вид р + ρgh₁ =р_ат + + ρgh₂. Из последнего равенства следует

р=р_ат+ ρgh₂– ρgh₁=р_ат+ ρg(h₂–h₁)= 98000 Па +1000·9,81·1,1=108791 Па .

Если абсолютное давление меньше атмосферного, т.е. р<р_ат, то разность между атмосферным и абсолютным давлением называется вакуумом

р_вак=р_ат–р= ρgh_вак, (3.5)

. (3.6)

Величина h_вакназывается вакуумметрической высотой, поэтому вакуум измеряется в долях атмосферы или высотой столба жидкости.

Пример 3.3. Давление газарв закрытом герметическом резервуаре равно 0,8 ат. Определить высоты столбов воды и ртути, соответствующих величине вакуума в резервуаре.

Решение. Вакуумом называется давление, недостающее до атмосферного, поэтому вакуум в данном случае равен р_вак = р_ат – р = 1 ат – 0,8 ат = 0,2 ат = 98100·2/10 Па = = 19620 Па. Столб жидкости плотности  и высотой h создает в своем основании давление р = gh, поэтому прямой ответ на вопрос в задаче можно получить, определив h из последнего уравнения . Для воды_в = 1000 кг/м³, подставляя это значение в последнюю зависимость для h, получим =2,00 м. Для ртути_рт = 13600 кг/м и соответственно h_рт = 0,147 м.

Иной способ решения этой задачи состоит в следующем: допустим, что к резервуару (рис. 3.4), в котором давление равно р= 0,8 ат, присоединен дифференциальный жидкостный манометр. Применяя формулу (3.4) к площадке на поверхности жидкости в правом колене манометра, получимgh+0,8 ат =р_ат. Подставляя численные значения плотности воды и ртути в данные уравнения, имеем те же значенияh, что и раньше.

3.2. Сила давления жидкости на плоские поверхности. Сила, действующая на плоскую площадку со стороны покоящейся жидкости, может быть определена с учетом давления на поверхностир₀и без учета этого давления.

Сила избыточного давления F на плоскую стенку находится как произведение смоченной (т.е. контактирующей с жидкостью) площади стенки S и гидростатического давления в точке центра тяжести этой площадки р_ц.т., т.е.

F=р_ц.т·S, (3.7)

или

F=gh_ц.т.·S, (3.8)

где h_ц.т.– глубина погружения центра тяжести смоченной площади стенки.

С учетом давления на поверхности р₀сила, действующая на площадку, определяется так

F=p₀S+gh_ц.т S. (3.9)

Центр давления (точка приложения равнодействующих сил давления) для негоризонтальных стенок лежит ниже центра тяжести стенки. Его положение определяется зависимостью

, (3.10)

где I_с– момент инерции смоченной площади стенки относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести этой площадки; ℓ_ц.т.и ℓ_d– соответственно расстояния центра тяжести стенки и центра давления от линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью.

Зависимости для определения центра тяжести и моментов инерции плоских фигур относительно оси, проходящей через центр тяжести, приведены в приложении 3.

Пример 3.4.Определить силу давления воды на прямоугольный затвор, перекрывающий отверстие донного водовыпуска (рис. 3.5). Ширина затвораb= 1,2 м, глубина погружения его верхней кромкиа= 0,9 м и нижнейh= 2,2 м. Угол наклона затвора= 60.

Решение.Определяем высоту затвора ℓ и его площадьS:

ℓ = (h – a) / sin a = (2,2 – 0,9) / 0,866 = 1,5 м. S = bℓ = 1,21,5 = 1,8 м². Центр тяжести прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей (на середине его высоты), следовательно,h_цт = a + (l/2)sin a или, подставляя числовые значения. Сила, действующая на затвор, может быть определена по формуле (3.8)F= ρgh_цтS=  = 10009,811,551,8 = 27369,9 Н.

Пример 3.5.Определить положение центра давления на плоский прямоугольный затвор, верхняя кромка которого совпадает со свободной поверхностью (рис. 3.6). Глубина воды перед затворомh= 3,4 м. Ширина затвораb= 1,8 м.

Решение.Площадь затвора, так как он представляет собой прямоугольник, равна:

S=b·ℓ = 1,8·3,4 = 6,12 м². В данном случае для вертикального щита

.

Момент инерции .

Применяя зависимость (3.10), получаем:

_м.

или ℓ_ц= 1,7+5,89/(1,76,12) = 2,26 м.

3.3. Сила давления жидкости на криволинейные поверхности. Сила суммарного давления жидкостиFна криволинейную поверхность может быть определена как геометрическая сумма её составляющих: горизонтальнойF_ги вертикальнойF_в, т.е.

. (3.11)

Горизонтальная составляющая силы суммарного давления жидкости на криволинейную стенку равна силе давления жидкости на вертикальную проекцию S_в этой стенки:

F_г =gh_ц.т·S_в =р_ц.т ·S_в .(3.12)

Вертикальная составляющая равна весу жидкости в объёме тела давления

F_в =g W. (3.13)

Телом давления называется объём жидкости, ограниченный данной криволинейной поверхностью, вертикальной плоскостью, проведённой через нижнюю образующую криволинейной поверхности, и свободной поверхностью жидкости. Если объём находится с несмачиваемой стороны стенки, вес тела давления нужно считать направленным вверх.

Направление силы суммарного давления Fопределяется углом β, образуемым векторомF_в и горизонтальной плоскостью

tg(β) =F_в /F_г .(3.14)

Пример 3.6.Определить силу давления воды на затвор, если глубина воды перед затворомh= 2,8 м, радиус затвораr= 2 м, ширина затвораb= 6,8 м, рис. 3.7.

Решение.Для определения горизонтальной составляющейF_xзаметим, что проекция части щитаED, которая контактирует с водой, на вертикальную плоскость представляет собой прямоугольник со сторонамиbиr; тогда из рисунка следует, что точка центра тяжести находится на глубине (h–r/2). Применяя формулу (3.12), получим

F_X = cg (h–r/2)rb = 10009.8(2.8–1) = 239904 H.

Объем тела в данном случае равен объему тела с сечением ABDEF

W_D = pr²/4b+r (h–2) b = (3,144/4)6,8+2(2.8–2)6,8 = 32,23 м³.

Поэтому вертикальная составляющая силы давления на затвор равна

F_Z = cg W_D = 10009,8132,23 = 316195,9 Н.

Равнодействующая Fопределяется по формуле (3.14)

=396905,5 H.