Возвращаясь к стандартной схеме

V = f (x, )

или

m⁰ L t^-1 = L^α (L^-1 t^-1)^β.

Система в данном случае будет определенной и имеет вид

α – β = 1,

β = 1.

Окончательно α = 2, β = 1 и

V = .

Таким образом, выбрав новый, комбинированный параметр, получим определенную систему и ее точное решение.

Если параметр выбрать в виде

, то =L t,

то

V = f (x, )

или

m⁰ L t^-1 = L^α (L t)^β.

Система будет иметь вид

α + β = 1, β = -1.

Окончательно β = -1, α = 2 и

V = .

Приходится сделать вывод, что существует значительное число задач, для решения которых метод анализа размерностей требует особого искусства для своего применения.

Пример Д.1.7. Через короткую трубку небольшого радиуса r выдули мыльный пузырь радиусом R >> r и закрыли конец трубки. Если затем открыть ее конец, то пузырь начнет уменьшаться и, наконец, совсем сдуется. Указать вид зависимости для времени жизни T такого пузыря.

Вначале дадим качественные оценки процесса. Очевидно, что искомое время T тем больше, чем больше радиус R пузыря. С другой стороны, это время тем меньше, чем больше коэффициент поверхностного натяжения σ мыльной пленки – могут быть разные сорта мыла (если σ представить очень малым, то пузырь будет сдуваться очень долго). Очевидно также, что чем меньше радиус трубки, тем время T больше. По закону сохранения энергии, в процессе сдувания пузыря его потенциальная поверхностная энергия переходит в кинетическую выходящего воздуха (кинетическая энергия самого пузыря мала).

Таким образом, имеем следующие параметры, которые заданы и которые обязательно требуется учесть: радиус пузыря R, радиус трубки r, коэффициент поверхностного натяжения σ. Если теперь представить общую зависимость для T, то она должна была бы иметь вид

T = f (R,r,σ),

что заведомо неправильно, так как в σ входит масса, а в левую часть последнего равенства масса не входит.

В данном случае метод анализа размерностей подсказывает, что в правую часть должна входить плотность газа, которым был надут пузырь, в данном случае – плотность воздуха ρ. Можно поэтому заключить, что если пузырь надут водородом, то он сдуется быстрее такого же, но надутого воздухом.

В окончательном виде зависимость для T представится так

T = f (R,r,σ, ρ).

Учитывая Замечание Д.2, из σ и ρ возможно сформировать параметр (чем больше σ, тем время жизни пузыря меньше и σ находится в знаменателе, а ρ в числителе; σ и ρ входят поэтому в одинаковых по абсолютной величине, но разных по знаку степенях). Размерность этого параметра

= =L^-3 t².

Основная функциональная зависимость представится в виде

T = c · ·R^β ·r^γ

или

m⁰ L⁰ t = (L^-3 t² )^α L ^βL ^γ.

Система уравнений для α, β и γ примет вид

γ + β – 3α = 0, 2α =1

или

α =, 2α + 2β = 3.

Учитывая замечания к данной задаче о качественных особенностях процесса, можно установить, что r должен находиться в знаменателе, а R в числителе основной зависимости и поэтому γ<0, β>0. Для выбора решений уравнения 2γ+2β = 3 можно предложить перебор целочисленных значений γ; например, при γ = -1 получим, что β = , при γ = -2, ρ = и т.д. Для выбора решения допустим, что для трубки характерна ее площадь – тогда γ = -2 и ρ = .

Окончательно зависимость для T примет вид

T = c ·.