4. Молекулярная физика и термодинамика

4.1 Масса молекулы:

,

где  - молярная масса; N_A – число молекул в одном моле.

4.2. Уравнение состояния идеального газа:

,

где Р – давление газа; V – объем, занимаемый газом; m – масса газа; - количество вещества (число молей); R – универсальная газовая постоянная

().

4.3. Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа:

,

где k – постоянная Больцмана (k=1,38 Дж/К); i – число степеней свободы молекулы. Здесь мы будем рассматривать только молекулы с жёсткой связью, поэтому i =3 (одноатомный газ), i =5 (двухатомный газ), i =6 (трёх и более атомный газ).

4.4. Основное уравнение кинетической теории газов:

,

где n – число молекул в единице объема; m₀ – масса молекулы; - средняя квадратичная скорость молекул;<Е _{0 пост}> - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы .

4.5. Характерные скорости молекул:

• средняя квадратичная =;

• средняя арифметическая =;

• наиболее вероятная =.

4.6. Закон Дальтона для смеси идеальных газов:

,

где Р – давление смеси; - парциальное давлениеi – го компонента смеси, т.е. давление, которое оказывает на стенки сосуда каждый из компонентов смеси в отдельности, если бы он занимал объем, равный объему смеси при температуре смеси.

4.7. Внутренняя энергия идеального газа массой m при температуре Т:

.

4.8. Молярная теплоемкость газа:

• при постоянном объеме ;

• при постоянном давлении .

4.9. Связь между молярной и удельной теплоемкостями:

,

где С_μ – молярная теплоемкость; С_уд – удельная теплоемкость.

4.10. Теплоемкость тела (газа):

4.11. Первое начало термодинамики:

,

где Q - количество теплоты, сообщенное системе (телу); - изменение внутренней энергии системы; A – работа, совершаемая системой против внешних сил.

4.12.Работа газа при изменении его объема от V₁ до V₂:

.

4.13. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам :

• изобарный процесс (р = const),

, ;

• изохорический процесс (V = const),

, ;

• изотермический процесс (T = const),

, ;

• адиабатный процесс,

, (адиабатное расширение)

(адиабатное сжатие)

4.14. Уравнение Пуассона для адиабатного процесса:

; ;,

где - показатель адиабаты .

4.15. КПД тепловой машины:

,

где Q₁ – количество теплоты, получаемое рабочим телом; Q₂ - количество теплоты, отдаваемое телом; A – полезная работа, совершаемая рабочим телом.

4.16. Цикл Карно, КПД цикла Карно.

Цикл Карно – обратимый круговой процесс ,состоящий из двух изотерм и двух адиабат (рис.7), его КПД определяется только температурами нагревателя Т₁ и холодильника Т₂:

.

4.17. Средняя длина свободного пробега молекулы газа:

, Рис.7

где d – эффективный диаметр молекулы, n – концентрация молекул, <z> – среднее число столкновений молекулы в единицу времени.

4.18. Явления переноса.

• Диффузия, закон Фика:

,

где - масса, переносимая через площадку S, перпендикулярную оси х за время Δt (рис.8); - градиент плотности вдоль оси х ; D – коэффициент диффузии.

• Для газов коэффициент диффузии :

.

• Внутреннее трение (вязкость), закон Ньютона:

,

где F – сила трения между движущимися слоями жидкости или газа (рис.9); – градиент скорости,

газа (или жидкости) вдоль оси х ; – коэффициент внутреннего трения (динамической вязкости).

• –коэффициент внутреннего трения для газов:

.

• Теплопроводность, закон Фурье:

æ,

где - количество теплоты, переносимой через площадку, перпендикулярную оси х, за времяΔt; - градиент температуры; æ – коэффициент теплопроводности.

• æ – коэффициент теплопроводности для газов:

æ=.

В формулах коэффициентов переноса:

- средняя арифметическая скорость молекул;

- средняя длина свободного пробега молекул газа;

- плотность газа;

- удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Примеры решения задач.

Пример 5. 6 г углекислого газа (CO₂) и 5 г закиси азота (N₂O) заполняют сосуд объемом 2м³. Каково общее давление гза в сосуде при температуре 127⁰ С?

Дано: m₁= 6 кг; m₂= 5 кг; V= 2 м³; Т= 400 К.

Найти: р.

Решение. В сосуде находится смесь газов. На основании закона Дальтона:

р= р₁ + р₂, (1)

где р, р₁, р₂ - соответственно давление смеси и парциальные давления составляющих смесь газов.

Для каждого компонента смеси запишем уравнение Менделеева- Клапейрона:

(2)

(3)

Выразив давления p₁ и p₂ из уравнений (2), (3) и подставив полученные соотношения в (1), получим искомое давление смеси:

.

Выполним вычисления:

Па.

Ответ: р= 4,2Па.

Пример 6. Кислород массой 10г находятся под давлением 3Па при температуре 10⁰С. После нагревания при постоянном давлении газ занял объем 10 л. Найти: 1) количество теплоты, полученное газом; 2) энергию теплового движения молекул газа до и после нагревания.

Дано: m=10^-2 кг; р=3Па;Т₁=283 К; V₂=10^-2 м³, P = const, μ=32х10^-3 кг/моль.

Найти: U₁; U₂.

Решение. Используем первое начало термодинамики:

(1)

где - изменение внутренней энергии газа (); А – работа, совершаемая газом.

Внутренняя энергия идеального газа определяется по формуле:

. (2)

Следовательно, изменение внутренней энергии:

. (3)

Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для состояния газа до и после расширения:

; (4)

. (5)

Разделив уравнение (5) на уравнение (4), получим:

. (6)

Отсюда

. (7)

Объем V₁ найдем из уравнения (4):

м³.

Следовательно,

К.

По формуле (2) найдем U₁ и U₂:

Дж;

Дж.

Работа расширения газа:

Дж

По уравнению (1) найдем Q:

Дж.

Ответ: U₁ = 1,8 10³ Дж; U₂ = 7,5 10³ Дж; Q = 8,0 10³ Дж.

Пример 6. Коэффициенты диффузии и внутреннего трения водорода при некоторых условиях равны соответственно: D = 1,42 см²/с и Пас. Найти число молекул водорода в одном м³ при этих условиях (концентрацию молекул).

Дано: ;.

Найти: n.

Решение. Коэффициент динамической вязкости и коэффициент диффузии определяются формулами:

, (1)

. (2)

Разделив уравнение (1) на уравнение (2), получим:

(3)

Плотность выразим через концентрацию молекулn и массу одной молекулы m₀:

(4)

Массу молекулы выразим через молярную массу:

(5) Концентрациюn выразим из соотношения (4), заменив плотность соотношением (3), массу молекулы соотношением (5), получим:

= м^-3.

Ответ: 1,8·10²⁵ м^-3.