Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

Рис. 87. Карта динамических режимов системы Рёсслера.

Из рис. 87 видно, что карта динамических режимов системы Рёсслера содержит те же самые элементы, которые были отмечены для дискретных отображений Эно, Икеды и Заславского, а именно, – это области периодичности, разделённые линиями бифуркаций удвоения периода, «перекрёстки» с характерным расположением линий складок и точек сборки, сложная структура границы хаоса с присутствием узких областей регулярной динамики, простирающихся вдоль линий складок далеко вглубь области хаоса.

До настоящего момента мы рассматривали лишь системы, динамика которых задавалась уравнениями вида:

только от динамических переменных. Такие системы называются автономными.

В более общем случае, правые части формул (191) и (192) могут содержать помимо динамических переменных ещё и время, т.е.

Системы, описываемые такими уравнениями, называются неавтономными.

Мгновенное состояние одномерного нелинейного осциллятора задаётся двумя величинами – обобщённой координатой x и скоростью x . Однако при наличии внешнего периодического воздействия на осциллятор в уравнениях, описывающих его динамику, появляются члены, явно зависящие от времени. Поэтому такой осциллятор следует рассматривать как неавтономную систему. При этом фазовое пространство такой системы уже будет трёхмерным – {x, x,t} , поскольку задание координаты x и скорости x однозначно определяет последующее движение лишь в том случае, если указано, к какому моменту времени они относятся.

Предположим, что нелинейная зависимость возвращающей силы для осциллятора задаётся функцией f (x) , а сила трения, действующая на него, пропорциональна его скорости x . Тогда уравнение движения нелинейного осциллятора под действием периодического внешнего воздействия имеет вид

где – параметр диссипации, a и – частота и амплитуда внешнего воздействия. Такой тип уравнений задаёт силовое возбуждение осциллятора.

Существует и другой тип возбуждения – параметрическое возбуждение, когда один из параметров, характеризующих осциллятор, периодически меняется с течением времени. Например, это может быть параметр, определяющий значение возвращающей силы, действующий на осциллятор. В этом случае уравнение движения осциллятора может имеет вид:

Примерами систем с параметрическим возбуждением также могут служить:

–маятник с периодически меняющейся длиной нити;

–нелинейный LCR -контур, в котором периодически изменяют ёмкость или индуктивность;

–физический маятник, точка подвеса которого совершает заданное периодическое движение в вертикальной плоскости;

–качели, раскачиваемые ребёнком, и т.п..

При силовом или параметрическом возбуждении нелинейного диссипативного осциллятора он может демонстрировать достаточно сложную, в том числе хаотическую, динамику. По аналогии с предыдущими рассмотренными системами, для такого осциллятора можно составить карту его динамических режимов на плоскости параметров осциллятора. При этом на ней можно выделить те же элементы, что наблюдались ранее у других систем, – области периодических и хаотических режимов, линии бифуркации удвоения периода, границы хаоса, складки, сборки, «перекрёстки» и т.п..

Рассмотрим более подробно нелинейный диссипативный осциллятор с силовым возбуждением типа (195) с нелинейной функцией . Такую систему называют осциллятором Дуффинга или осциллятором Уэды (Ueda, 1980), названный так в честь японского математика Йошисуке Уэды. Примером такого осциллятора может служить механическое устройство, показанное на рис. 88.