§ 3. Случайные блуждания

Существует еще одна интересная задача, при решении кото­рой не обойтись без понятия вероятности. Это проблема «слу­чайных блужданий». В простейшем варианте эта задача выгля­дит следующим образом. Вообразите себе игру, в которой игрок, начиная от точки х=0, за каждый ход может продвинуться либо вперед (до точки х), либо назад (до точки -х), причем ре­шение о том, куда ему идти, принимается совершенно случайно, ну, например, с помощью подбрасывания монеты. Как описать результат такого движения? В более общей форме эта задача описывает движение атомов (или других частиц) в газе — так называемое броуновское движение — или образование ошибки при измерениях. Вы увидите, насколько проблема «случайных блужданий» тесно связана с описанным выше опытом с подбра­сыванием монеты.

Прежде всего давайте рассмотрим несколько примеров слу­чайных блужданий. Их можно описать «чистым» продвижением D_N за N шагов. На фиг. 6.5 показаны три примера путей при случайном блуждании.

Фиг.6.5. Три примера случайного блуждания.

По горизонтали отложено число шагов N, по вертикали — координата

D(N), т. е. чистое расстояние от начальной точки.

(При построении их в качестве случай­ной последовательности решений о том, куда сделать следующий шаг, использовались результаты подбрасывания монеты, при­веденные на фиг. 6.1.)

Что можно сказать о таком движении? Ну, во-первых, можно спросить: как далеко мы в среднем продвинемся? Нужно ожи­дать, что среднего продвижения вообще не будет, поскольку мы с равной вероятностью можем идти как вперед, так и назад. Однако чувствуется, что с увеличением N мы все с большей вероятно­стью можем блуждать где-то все дальше и дальше от начальной точки. Поэтому возникает вопрос: каково среднее абсолютное расстояние, т. е. каково среднее значение \D\? Впрочем, удобнее иметь дело не с |D|, а с D²; эта величина положительна как для положительного, так и для отрицательного движения и поэтому тоже может служить разумной мерой таких случайных блу­жданий.

Можно показать, что ожидаемая величина D²_N равна просто N — числу сделанных шагов. Кстати, под «ожидаемой величи­ной» мы понимаем наиболее вероятное значение (угаданное наилучшим образом), о котором можно думать как об ожидаемом среднем значении большого числа повторяющихся процессов

блуждания. Эта величина обозначается как <D²_N> и называется, кроме того, «средним квадратом расстояния». После одного

шага D² всегда равно +1, поэтому, несомненно, <D²₁> = 1. (За единицу расстояния всюду будет выбираться один шаг, и поэтому я в дальнейшем не буду писать единиц длины).

, Ожидаемая величина D²_N для N>1 может быть получена из d_n-1. Если после (N-1) шагов мы оказались на расстоянии D_N-1, то еще один шаг даст либо D_N=D_N--1+1, либо D_N=D_N-1 -1. Или для квадратов

(6.7)

Если процесс повторяется большое число раз, то мы ожидаем, что каждая из этих возможностей осуществляется с вероятно­стью ^舣/₂, так что средняя ожидаемая величина будет просто средним арифметическим этих значений, т. е. ожидаемая вели­чина D²_N будет просто D²_N-1+1. Но какова величина D²_N_₁, вер­нее, какого значения ее мы ожидаем? Просто, по определению, ясно, что это должно быть «среднее ожидаемое значение» <D²_N-1>, так что

<D²_N>=<D²_N-1+1. (6.8)

Если теперь вспомнить, что <D²₁> = 1, то получается очень простой результат:

<D2_N>=N. (6.9)

Отклонение от начального положения можно характеризо­вать величиной типа расстояния (а не квадрата рас­стояния); для этого нужно просто извлечь квадратный корень из <.D²_N> и получить так называемое «среднее квадратичное рас­стояние» D_C-K:

D_C-K=<D²> = N. (6.10)

Мы уже говорили, что случайные блуждания очень похожи на опыт с подбрасыванием монет, с которого мы начали эту главу. Если представить себе, что каждое продвижение вперед или назад обусловливается выпадением «орла» или «решки», то D_N будет просто равно N_o-N_P, т. е. разности числа выпа­дений «орла» и «решки». Или поскольку N_o+N_p=N(где N — полное число подбрасываний), то D_N= 2N_o-N. Вспомните, что раньше мы уже получали выражение для ожидаемого рас­пределения величины n_o [она обозначалась тогда через k; см. уравнение (6.5)]. Ну а поскольку N — просто постоянная, то теперь такое же распределение получил ось и для D. (Выпаде­ние каждого «орла» означает невыпадение «решки», поэтому в связи между n_o и D появляется множитель 2.) Таким образом, на фиг. 6.2 график представляет одновременно и распределение расстояний, на которые мы можем уйти за 30 случайных шагов k=15 соответствует D = 0, a k = 16 соответствует D= 2 и т. д.).

Отклонение n_o от ожидаемой величины N/2 будет равно

(6.11)

откуда для среднего квадратичного отклонения получаем

(6.12)

Вспомним теперь наш результат для d_c-k. Мы ожидаем, что среднее расстояние, пройденное за 30 шагов, должно быть рав­но V30 = 5,5, откуда среднее отклонение k от 15 должно быть 5,5:2 = 2,8. Заметьте, что средняя полуширина нашей кривой на фиг. 6.2 (т. е. полуширина «колокола» где-то посредине) как раз приблизительно равна 3, что согласуется с этим результатом.

Теперь мы способны рассмотреть вопрос, которого избегали до сих пор. Как узнать, «честна» ли наша монета? Сейчас мы можем, по крайней мере частично, ответить на него. Если мо­нета «честная», то мы ожидаем, что в половине случаев выпадет «орел», т. е.

<N_o>/N = 0,5. (6.13)

Одновременно ожидается, что действительное число выпадений «орла» должно отличаться от N/2 на величину порядка N/2, или, если говорить о доле отклонения, она равна

т. е. чем больше N, тем ближе к половине отношение N_o/N.

На фиг. 6.6 отложены числа N_O/N для тех подбрасываний монеты, о которых мы говорили раньше.

Фиг. 6.6. Доля выпадений «орла» в некоторой частной последовательности N подбрасываний монеты.

Как видите, при уве­личении числа N кривая все ближе и ближе подходит к 0,5. Но, к сожалению, нет никаких гарантий, что для каждой дан­ной серии или комбинации серий наблюдаемое отклонение будет близко к ожидаемому отклонению. Всегда есть конечная веро­ятность, что произойдет большая флуктуация — появление большого числа выпадений «орла» или «решки»,— которая даст произвольно большое отклонение. Единственное, что можно сказать,— это если отклонения близки к ожидаемому ¹/₂N (скажем, со множителем 2 или 3), то нет оснований считать монету «поддельной» (или что партнер плутует).

Мы не рассматривали еще случаи, когда для монеты или ка­кого-то другого объекта испытания, подобного монете (в том смысле, что возможны два или несколько достоверно не пред­сказуемых исхода наблюдения, например камень, который мо­жет упасть только на какую-то из двух сторон), имеется дос­таточно оснований полагать, что вероятности разных исходов не равны. Мы определили вероятность Р(O) как отношение <N_o>/N. Но что принять за величину <N_о>? Каким образом можно узнать, что ожидается? Во многих случаях самое луч­шее, что можно сделать, это подсчитать число выпадений «ор­ла» в большой серии испытаний и взять <N_o> =N_o (наблюден­ное). (Как можно ожидать чего-то еще?) При этом, однако, ну­жно понимать, что различные наблюдатели и различные серии испытаний могут дать другое значение P(О), отличное от нашего. Следует ожидать, однако, что все эти различные ответы не будут расходиться больше чем на ¹/₂N [если Р(O) близко к половине], Физики-экспериментаторы обычно говорят, что «эксперимен­тально найденная» вероятность имеет «ошибку», и записывают это в виде

(6.14)

При такой записи подразумевается, что существует некая «ис­тинная» вероятность, которую в принципе можно подсчитать, но что различные флуктуации приводят к ошибке при экспери­ментальном ее определении. Однако нет возможности сделать эти рассуждения логически согласованными. Лучше все-таки, чтобы вы поняли, что вероятность в каком-то смысле — вещь субъективная, что она всегда основывается на какой-то неопре­деленности наших познаний и величина ее колеблется при их изменении.