2.2. Дифференцирование функций, заданных неявно

Пусть функция задана уравнением, не разрешенным относительно, то есть функцияесть неявная функция от.

Чтобы найти производную от неявной функции аргумента, дифференцируем пообе части этого равенства, считаяфункцией. В результате получим уравнение, линейное относительно искомой производной. Решая его, получим, которая, как правило, будет зависеть оти, т.е..

Найти производную :

1. . 2..

3. . 4..

5. . 6..

7. . 8..

9. .

10. .

2.3. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Если функциональная зависимость между переменными изадана параметрически:то производная отпоравна:, а отпо:.

Найти производную :

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

3. Производные высших порядков

Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка.

Пример 1. Найти производные до n-го порядка включительно от функции .

Решение: ,,,и т. д.

Очевидно, что производная n-го порядка .

Вторая производная от неявной функции находится дифференцированием функциипо переменной, учитывая при этом, чтоесть функция от.

Пример 2. Найти для неявной функции.

Решение:

Дифференцируем правую и левую часть по :.

Разрешая относительно производной, получим: .

Дифференцируем еще один раз по :.

Подставляя в последнее выражение значение , получим

.

Вторая производная от функции по, заданной параметрически, равна .

Третья производная и т.д.

Пример 3. Найти для функции.

Решение: Найдем первую производную: .

Вторую производную находим по формуле:

.

Производная n-го порядка от произведения двух функций удобнее находить по формуле Лейбница.

, где - биномиальные коэффициенты,,.

Пример 4. Найти для функции.

Решение: Положим ,. Тогда,,,. По формуле Лейбница все слагаемые, кроме трех последних, равны нулю, поэтому получаем:

.

Для данных функций найти производные указанного порядка:

1. ,-?

2. ,- ?

3. ,-?

4. ,-?

5. ,-?

6. ,-?

7. ,-?

8. ,- ? Ответ:,

9. ,- ? Ответ:.

Если , то. Если, то.

10. ,-? Ответ:.

11. ,- ? Ответ:.

12. ,-? Ответ:.

13. ,-? Ответ:.

14. ,-? Ответ:.

15. ? -? Ответ: .

16. ,-? Ответ:.

17. ,-? Ответ:.

18. -? Ответ:.

19. -? Ответ:.

20. - ? Ответ:.

21. - ? Ответ:.

22. - ? Ответ:.

23. -? Ответ:.

24. -? Ответ:.

25. ,-? Ответ:.

26. ,-?

Ответ: .

27. ,- ? Ответ:

28. ,- ? Ответ:.

29. ,- ?

Ответ: .

30. ,-?

Ответ:

.

31. ,-? Ответ:.

32. ,- ? Ответ:.

33. ,-? Ответ:.

34. ,-?

Ответ: , где.

35. ,-? Ответ:.

36. ,-? Ответ:.

37. ,-? Ответ:.

38. ,-?

Ответ: , где,.

39. ,-?

Указание: Преобразовать выражение к виду: .

По формуле п. 36

и .

.

40. ,- ? Ответ:.

Указание: в формуле п. 38 положить .

42. ,-? Ответ:.

Указание: в формуле п. 38 положить .

41. ,-? Ответ:.

Указание: Находим первую производную .

По формуле п. 36

.

43. ,-?

Указание: Записать функцию в виде и, применяя формулу Лейбница, продифференцироватьn раз. При будем иметь . Откуда приполучимили. Полученная рекуррентная формула позволяет определить - ую производную в точке . Значениянаходятся непосредственно

, .

,

.

44. ,-? Ответ:.

45. .