Исследование степенного ряда на сходимость
После небольшой порции теоретического материала переходим к рассмотрению типового задания, которое практически всегда встречается на зачетах и экзаменах по высшей математике.
Пример 1
Найти
область сходимости степенного ряда 
Задание часто формулируют эквивалентно: Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала.
Алгоритм решения довольно прозрачен и трафаретен.
На
первом этапе находим интервал сходимости
ряда. Почти всегда необходимо использовать
признак Даламбера и находить предел 
.
Технология применения признака Даламбера
точно такая же, как и для числовых рядов,
с ней можно ознакомиться на урокеПризнак
Даламбера. Признаки Коши.
Единственное отличие – все дела у нас
происходят под знаком модуля.
Итак,
решаем наш предел:
(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) В числителе по правилу действий со степенями «отщипываем» один «икс». В знаменателе возводим двучлен в квадрат.
(4)
Выносим оставшийся «икс» за знак предела,
причем, выносим его вместе со знаком
модуля. Почему со знаком модуля? Дело в
том, что наш предел 
и
так будет неотрицательным, а вот «икс»
вполне может принимать отрицательные
значения. Поэтому модуль относится
именно к нему.
Кстати,
почему 
можно
вообще вынести за знак предела? Потому-что
«динамической» переменной в пределе у
нас является «эн», и от этого нашему
«иксу» ни жарко ни холодно.
(5)
Устраняем неопределенность 
стандартным
способом.
После того, как предел найден, нужно проанализировать, что у нас получилось.
Если
в пределе
получается ноль,
то алгоритм решения заканчивает свою
работу, и мы даём окончательный ответ
задания: «Область сходимости степенного
ряда: 
»
(любое действительное число – случай
№2 предыдущего параграфа). То есть,
степенной ряд сходится при любом значении
«икс». Ответ можно записать эквивалентно:
«Ряд сходится при 
»
(значок 
в
математике обозначает принадлежность).
Если
в пределе
получается бесконечность,
то алгоритм решения также заканчивает
свою работу, и мы даём окончательный
ответ задания: «Ряд сходится при 
»
(или при 
либо 
»).
Смотрите случай №3 предыдущего параграфа.
Если в пределе получается не ноль и не бесконечность, то у нас самый распространенный на практике случае №1 – ряд сходится на некотором интервале.
В
данном случае предел равен 
.
Как найти интервал сходимости ряда?
Составляем неравенство:
В ЛЮБОМ
задании данного типа в
левой части неравенства должен
находиться результат
вычисления предела,
а в правой части неравенства
– строго единица.
Не буду объяснять, почему именно такое
неравенство и почему справа единица.
Уроки носят практическую направленность,
и уже очень хорошо, что от моих рассказов не
повесился профессорско-преподавательский
состав стали
понятнее некоторые теоремы.
Техника
работы с модулем и решения двойных
неравенств подробно рассматривалась
на первом курсе в статье Область
определения функции,
но для удобства я постараюсь максимально
подробно закомментировать все действия.
Раскрываем неравенство
с модулем по
школьному правилу 
.
В данном случае:
–
интервал
сходимости исследуемого степенного
ряда.
Половина пути позади.
На втором этапе необходимо исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала.
Сначала
берём левый конец интервала 
и
подставляем его в наш степенной ряд 
:
При 
Получен числовой ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость (уже знакомая из предыдущих уроков задача).
Используем
признак Лейбница:
1) Ряд является
знакочередующимся.
2) 
–
члены ряда убывают по модулю. Каждый
следующий член ряда по модулю меньше,
чем предыдущий, значит, убывание
монотонно.
Вывод: ряд сходится.
Исследуем
ряд на абсолютную сходимость:
–
сходится (случай обобщенного гармонического
ряда).
Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно.
Далее
рассматриваем правый конец интервала 
,
подставляем это значение в наш степенной
ряд 
:
При 
–
сходится.
Таким
образом, степенной ряд 
сходится
на обоих концах найденного интервала.
Ответ: Область
сходимости исследуемого степенного
ряда: 
Имеет
право на жизнь и другое оформление
ответа: Ряд сходится, если 
Иногда
в условии задачи требуют указать радиус
сходимости. Очевидно, что в рассмотренном
примере 
.
Пример 2
Найти
область сходимости степенного ряда 
Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
Составляем
стандартное неравенство:
Ряд
сходится при 
Слева нам
нужно оставить только 
,
поэтому умножаем обе части неравенства
на 3:
И
раскрываем неравенство
с модулем по
правилу 
:
–
интервал сходимости исследуемого
степенного ряда.
Исследуем
сходимость степенного ряда на концах
найденного интервала.
1) При 
Обратите
внимание,
что при подстановке значения 
в
степенной ряд 
у
нас сократилась степень 
.
Это верный признак того, что мы правильно
нашли интервал сходимости ряда.
Исследуем полученный числовой ряд на сходимость.
Используем
признак Лейбница.
– Ряд является
знакочередующимся.
– 
–
члены ряда убывают по модулю. Каждый
следующий член ряда по модулю меньше,
чем предыдущий, значит, убывание
монотонно.
Вывод: Ряд сходится.
Исследуем
ряд на абсолютную сходимость:
Сравним
данный ряд с расходящимся рядом 
.
Используем
предельный признак сравнения:
Получено
конечное число, отличное от нуля, значит,
ряд 
расходится
вместе с рядом 
.
Таким
образом, ряд 
сходится
только условно.
2)
При 
–
расходится (по доказанному).
Ответ: Область
сходимости исследуемого степенного
ряда: 
.
При 
ряд
сходится только условно.
В
рассмотренном примере областью сходимости
степенного ряда является полуинтервал,
причем во всех точках интервала 
степенной
ряд сходится
абсолютно (см.
предыдущий параграф), а в точке 
,
как выяснилось – сходится только
условно.
Пример 3
Найти
интервал сходимости степенного ряда и
исследовать его сходимость на концах
найденного интервала 
Это пример для самостоятельного решения.
Рассмотрим пару примеров, которые встречаются редко, но встречаются.
Пример 4
Найти
область сходимости ряда: 
Решение: Найдем
интервал сходимости данного ряда.
Используем признак Даламбера:
(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3)
Кубы 
и 
по
правилу действий со степенями подводим
под единую степень. В числителе хитро
раскладываем степень 
,
т.е. раскладываем таким образом, чтобы
на следующем шаге сократить дробь на 
.
Факториалы расписываем подробно.
(4)
Под кубом почленно делим числитель на
знаменатель, указывая, что 
.
В дроби сокращаем всё, что можно сократить.
Множитель 
выносим
за знак предела, его можно вынести,
поскольку в нём нет ничего, зависящего
от «динамической» переменной «эн».
Обратите внимание, что знак модуля не
нарисован – по той причине, что 
принимает
неотрицательные значения при любом
«икс».
В пределе получен ноль, а значит, можно давать окончательный ответ:
Ответ: Ряд
сходится при 
А сначала-то казалось, что этот ряд со «страшной начинкой» будет трудно решить. Ноль или бесконечность в пределе – почти подарок, ведь решение заметно сокращается!
Пример 5
Найти
область сходимости ряда 
Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны ;-) Полное решение ответ в конце урока.
Рассмотрим еще несколько примеров, содержащих элемент новизны в плане использования технических приемов.
Пример 6
Найти
интервал сходимости ряда и исследовать
его сходимость на концах найденного
интервала 
Решение: В
общий член степенного ряда входит
множитель 
,
обеспечивающий знакочередование.
Алгоритм решения полностью сохраняется,
но при составлении предела 
мы
игнорируем (не пишем) этот множитель,
поскольку модуль уничтожает все «минусы».
Найдем
интервал сходимости данного ряда.
Используем признак Даламбера:
Составляем
стандартное неравенство:
Ряд сходится
при 
Слева нам
нужно оставить только
модуль,
поэтому умножаем обе части неравенства
на 5:
Теперь
раскрываем модуль уже знакомым способом:
В
середине двойного неравенства нужно
оставить только «икс», в этих целях из
каждой части неравенства вычитаем 2:
–
интервал
сходимости исследуемого степенного
ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала: