matem-up1

точку M1(1, –1, –1), причём одна плоскость содержит ось OX, а

другая – ось OZ.

17. Написать уравнение плоскости, зная, что точки

A(4, 0, –3) и B(1, –5, 2) симметричны относительно этой плоско

сти.

18. Составить уравнения прямой, проходящей через точку

uuuuuuur

M1(5, 3, 4) параллельно вектору M2 M3 , где M2(–1, 1, 5),

M3(1, 6, –3).

19. Найти уравнения прямой, проходящей через точку

(2, –5, 3):

а) параллельно оси OZ;

б) параллельно прямой x 4− 1 = y−−62 = z +9 3 ;

2 x − y + 3 z − 1 = 0,

в) параллельно прямой 5 x + 4 y − z −7 = 0.

20. Составить уравнения прямой L, лежащей в плоскости

OYZ, проходящей через начало координат и перпендикулярной

прямой

2 x − y = 2, L1 : y + 2z = −2.

21. Найти точку A пересечения прямой L, проходящей через

точки M1(–3, –9, –6) и M2(1, –1, –2), с плоскостью

167

P : 4x – 3z – 5 = 0.

10. Ответы к упражнениям

168

2.Найти расстояние от точки A(1, 1) до прямой, проходящей через точки B (2, 3) и C (−1, − 1).

3.Определить угловой коэффициент прямой, лежащей на плоскости OXY и проходящей через точки A(3,7 ), B (1, − 3).

4.Найти радиус окружности x2 + y2 + 4 x − 10 y − 35 = 0 .

5.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

M1 (1, − 1, 2), M2 (2, 1, 2), M3 (1, 1, 4).

Вответе указать аппликату точки пересечения этой плоскости с осью OZ.

6.Составить канонические уравнения прямой L, проходящей через точки M1 (−2, 2, 3), M2 (−1, 0 , 4). В ответе указать зна

чение t, при котором точка M3 (1, − 4 , t ) L .

169

костью 2 x − y + z + 3 = 0 . В ответе указать наименьшую коор динату этой точки.

8. Определить угол между плоскостями 2 x −6 y − 4z + 5 = 0 и 3 x − 9 y −6z − 1 = 0 .

170

Раздел 5. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

1.Предел функции

1.1.Определение

Мы продолжим изучение функций одной действительной переменной, начатое в разделе 1 «Введение». Напомним, такая функция представляет собой отображение f : D → , областью

определения является некоторое множество действительных чисел D . Числа x отождествляются с точками число-

вой прямой, поэтому термины «число» и «точка» в этом разделе означают одно и то же.

Для определения предела функции используется понятие проколотой окрестности. Множество

Uεo (x0 ) ={ x : 0 < x − x0 < ε}

называется проколотой ε-окрестностью точки x0 . Другими словами, из окрестности Uε (x0 ) удаляется сама точка x0.

Проколотые окрестности бесконечно удалённых точек +∞,

–∞ не отличаются от обычных.

Точка x0 называется предельной точкой множества D ,

если любая её проколотая окрестность имеет непустое пересечение с D. Предельная точка может принадлежать, а может и не принадлежать множеству. Важно, что к предельной точке можно стремиться, в D есть точки, произвольно близкие к x0.

Введём понятие предела функции f (x) в точке x0. При

этом x0 должна быть предельной точкой области определения D рассматриваемой функции.

Говоря нестрого, то, что число b является пределом функции f (x) в точке x0 , означает: если переменная x, изменяясь,

стремится к x0, то значения функции f (x) стремятся к числу b.

155

Приведём теперь более строгое определение, использующее понятие проколотой окрестности.

Число b называют пределом функции f (x) в точке x0 , ес-

ли для любой окрестности точки b (даже очень маленькой) найдётся такая проколотая окрестность точки x0, что любое число x

из неё переводится функцией f (x) в окрестность точки b.

Обозначение: b = lim f (x).

x→x0

Это определение коротко можно записать так:

Это достаточно общее определение предела функции, в нём x0 и b не обязательно конечны. Можно дать определение и подругому – как говорят, на языке «ε – δ». Но тогда приходится рассматривать несколько случаев. Например, если x0 и b конечны, определение предела можно записать в таком виде:

Пример 5.3. Показать, что lim a x = 1 .

x→0

156

Решение. Согласно определению предела, нужно показать,

что

ε > 0 δ > 0 : 0 < x <δ a x − 1 < ε .

x <δ loga (1−ε)< x <loga (1+ε) 1−ε <ax <1+ε ax −1 <ε ,

что и требовалось.

Конечно, если ε > 1 , то неравенство 1 −ε < a x нельзя логарифмировать. Да и не нужно – оно справедливо при любых x.

Если хотя бы одно из x0 , b бесконечно, то для определения предела на языке «ε – δ» получаются другие записи. Например, если x0 конечно, а b = +∞ :

двух разных пределов, т.е. если предел существует, то он единственный. Это доказательство – хорошее упражнение на понимание определения предела.

Введём понятия односторонних пределов. Если x → x0 и при этом x < x0 , то говорят, что x стремится к x0 слева и пишут: x → x0 −0 . Аналогично, если x → x0 и x > x0 , то x стремится

157

Из определения предела функции следует, что предел существует тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела и они равны:

роннего и правостороннего пределов соответственно. Если же

f (x0 −0) ≠ f (x0 + 0), то lim f (x) не существует.

x→x0

Пример 5.4. Показать, что функция

ближаясь к x0, не принимала значения x0. Это делается для того, чтобы значение f (x0 ) не влияло на величину предела. Дейст-

вительно, функция в точке x0 может быть и не определена, а если и определена, то не обязательно предел совпадает со значением функции в предельной точке.

158

1.2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

В теории пределов важную роль играют бесконечно малые и бесконечно большие функции. Рассмотрим эти понятия.

Функция α (x) называется бесконечно малой в окрестности точки x0 (или при x → x0 ), если

lim α (x) = 0 .

x→x0

Функция β (x) называется бесконечно большой при x → x0 , если

lim β (x) = +∞ .

x→x0

Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями есть связь.

Теорема 5.1. Если функция α (x) – бесконечно малая в ок-

рестности точки x0 и α (x) ≠ 0 , то α (1x) – бесконечно большая в окрестности x0. Обратно: если функция β (x) бесконечно боль-

1

шая, то β (x) – бесконечно малая.

Доказательство следует из определений бесконечно малой и бесконечно большой и равносильности неравенств:

ε > 0 α (x) < ε α (1x) > ε1 .

Приведём ещё некоторые важные свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, которые следуют из их определений.

Теорема 5.2.

1)Сумма, разность, произведение конечного числа беско-

нечно малых в окрестности точки x0 функций – бесконечно малые в этой окрестности.

2)Произведение бесконечно малой на ограниченную в окрестности точки x0 функцию – бесконечно малая.

159

3)Произведение бесконечно большой в окрестности точки

x0 функции на функцию, имеющую в этой точке ненулевой предел – бесконечно большая.

4)Сумма ограниченной в окрестности точки x0 функции и бесконечно большой в этой окрестности – бесконечно большая.

Понятие предела функции (в случае, когда этот предел конечен) может быть сведено к понятию бесконечно малой.

Теорема 5.3 (связь между функцией, её пределом и бесконечно малой).

lim f (x)=b ε >0 Uo (x0 ): x Uo (x0 ) |α(x)|=| f (x)−b|<ε .

x→x0

А это равносильно тому, что функция α (x) – бесконечно малая.

1.3. Свойства предела функции

Теорема 5.4 (арифметические свойства предела). Пусть су-

160