Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matem-up1

.pdf

Скачиваний:

379

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2423 24 > Следующая >>>

5)	f (x) = a x . Имеем
lim ∆f (x) = lim (a x+∆x − a x )			= a x lim (a∆x − 1)= 0 ,
∆x→0		∆x→0	∆x→0
так как	lim a∆x = 1 . Это было показано в примере 5.3.
	∆x→0		loga x, arcsin x, arccos x,
6)	Непрерывность функций
arctgx, arcctgx		следует из теоремы 5.12, так как эти функции

являются обратными для уже рассмотренных непрерывных функций.

7) Степенную функцию с произвольным показателем можно записать в виде суперпозиции уже рассмотренных функций:

f (x) = xs = es ln x . Поэтому она непрерывна по теореме 5.9.

Функции из класса элементарных можно получить при помощи конечного числа алгебраических операций над основными элементарными функциями и их суперпозицией. Из теорем 5.8, 5.9 следует, что все элементарные функции непрерывны в своей области определения. Теорема 5.13 доказана.

Замечание. Если функция является кусочноаналитической, то она может иметь разрывы в тех точках, где меняется её аналитическое выражение.

3. Вычисление пределов с помощью сравнения бесконечно малых

Как было показано, сумма, разность и произведение бесконечно малых функций – бесконечно малые. Этого, вообще гово-

ря, нельзя сказать о частном. Пусть α (x) и β (x) – бесконечно

малые функции в окрестности точки x0. Рассмотрим правила сравнения этих функций.

Функция α (x) называется бесконечно малой более высо-

кого порядка, чем	β (x), если lim	α (x)	= 0 . Можно сказать,
		β (x)
	x→x0
что в этом случае	α (x) стремится к 0 быстрее, чем β (x).

Употребляется запись: α (x) = o(β (x)), которая читается так:

181

α (x)	есть «о малое» от		β (x). Например, sin2 x = o(x) при
x → 0	, так как lim	sin2 x	= lim	sin x	lim sin x = 1 0 = 0 .
		x		x
	x→0		x→0		x→0

Функции α (x), β (x) называются бесконечно малыми од-

ного порядка, если предел их отношения – конечное ненулевое число:

	lim	α (x)	= A, A ≠ 0,	A ≠ ∞ .
		β (x)
	x→x0
При этом используется запись: α (x) = O(β (x)).					и β (x)
В частности, если этот предел равен 1, то α (x)
называются	эквивалентными.			Применяется	запись:
α (x) β (x).	Например,		бесконечно малые x2 + 2 x и

3x3 + 2x при x → 0

	lim	x2 + 2 x
	lim	3x3 + 2 x
	x→0	3x3 + 2 x

эквивалентны:
= lim	x (x + 2)	= lim	x + 2		= 1 .
			3x2 +
x→0 x (3x2 + 2)		x→0		2

Приведём две простые теоремы, полезные при вычислении пределов.

Теорема 5.14. Если α (x)= o(β (x)), то α (x)+ β (x) β (x).

Доказательство. Действительно:

lim	α (x)+ β (x)	=	lim	α (x)	+ 1 = 0 + 1 = 1 .
	β (x)			β (x)
x→x0			x→x0

Теорема 5.15. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Доказательство. Пусть α (x) α1 (x), β (x)

β1 (x). Тогда

lim

= lim

lim

x→x0

α1

β1 x→x0

α1 x→x0

β1 x→x0

= 1 1 lim

α1

= lim

α1 .

x→x0

β1

x→x0

β1

182

Приведём таблицу основных эквивалентностей при x → 0 , которые используются при вычислении пределов:

sin x

x ;

arcsin x x ;

tgx

x ;

arctgx

x ;

logа (

1 + x)

;

a x − 1

x lna ;

lna

(1 + x)a − 1 x a a ≠ 0 .

Докажем эти эквивалентности.

1) Следует из первого замечательного предела.

lim arcsin x =

arcsin x = y x = sin y = lim

= 1 .

x→0

→

→ 0

y→0

sin y

lim

tgx

= lim

sin x

= 1 .

x→0

cos x

lim arctgx

arctgx

= y x = tgy

= lim

= 1 .

x→0

→ 0 y → 0

y→0

tgy

loga (1 + x)

lim

= lna lim loga (1 + x)

= lna loga lim (1 + x)

x→0

lna

= lna loga e = 1 .

Здесь была использована непрерывность функции

loga ( 1 + x ) ,

а также второй замечательный предел.

6) lim ax −1 =

ax −1 = y x = loga ( 1+ y )

= lim

=1.

lna

x→0 xlna

x →0 y →0

y→0 loga (1+ y)

В последнем равенстве применили предыдущее утверждение 5).

			1
	(1 + x)a − 1		(1 + x)		x a − 1	= lim	eax − 1
7) lim		= lim		x				= 1 .
	ax		ax				ax
x→0		x→0				x→0

В последнем равенстве применили утверждение 6): ex − 1 x .

183

Следует иметь в виду, что в таблице эквивалентностей аргумент x может быть заменён любой бесконечно малой функцией. Например,

1 + sin x − 1

sin x

при x → 0 ,

ln x = ln(1 + (x − 1))

x − 1 при x → 1 .

Пример 5.24. Вычислить lim

arctg (2 x)

Решение.

x→0

e−x − 1

lim

arctg (2 x)

arctg (2x)

2 x,

= lim

2 x

= −2 .

−x

− 1 −x

−x

− 1

−x

x→0

cos π x

Пример 5.25. Вычислить lim

Решение.

x→1

x − 1

cos

π x

x − 1 = t x = 1 + t

cos

lim

= lim

x → 1 t → 0

x − 1

1 + t − 1

x→1

t→0

= lim

−sin

2 t

sin 2 t

2 t

= lim

− 2 t

= −π .

t →0

1 + t − 1

t→0

Пример 5.26. Вычислить lim lncos x ctgx .

x→0

Решение.

ln(1+(cos x −1))

limlncos x ctgx =(0 ∞)

=lim

lncos x

=lim

tg x

x→0

ln(1 +(cos x −1))

cos x −1 = −2 sin

2 x

−2

x 2

= −

tg x

184

	−	x2		1
= lim		2	= −		lim x = 0 .
		x
x→0				2 x→0

Замечание. Для бесконечно больших функций понятие эквивалентности вводится и используется аналогично.

Пример 5.27. Показать, что при x → ∞ целая рациональная функция

P	(x)= a	0	xn + a	1	xn−1	+ ...+ a	n	(a	0	≠ 0, n	)
n		0		1			n		0

(многочлен степени n) есть бесконечно большая функция, эквивалентная старшему члену a0 xn .

Решение. Действительно,

lim

Pn (x)

= lim

K +

a xn

x→∞

при x → ∞ .

1	= 1 P	(x)	a x	n


xn	n		0

4. Контрольные вопросы

1.	Как	определяется		lim		f (x) = b на		«языке	окрестно-
				x→x0
стей»?					lim f (x) = b на «языке ε −δ » в
2.	Как сформулировать				lim f (x) = b на «языке ε −δ » в
					x→x0
следующих		случаях:	а)	x0	и	b	конечны;	б) x0	конечно,
b = −∞ ;	в)	x0 = +∞ ,	b конечно;			г)	x0 = −∞ ,	b = +∞ ?

3.Как связаны существование и величина предела функции в конечной точке с односторонними пределами в этой точке?

4.Какая функция называется бесконечно малой при x→x0 , каковы её основные свойства?

5.Какая функция называется бесконечно большой при

x→x0 , каковы её основные свойства?

6. Какова связь между функцией, её пределом и бесконечно малой?

185

7. В чём заключаются арифметические свойства предела функции?

8. Как показать, что lim	sin x	= 1 (1-й замечательный пре-
	x
x→0

дел)?

9.Что называют 2-м замечательным пределом?

10.Что называется числовой последовательностью? Приведите примеры.

11.Как определяется предел последовательности?

12.Какие последовательности называются сходящимися? Приведите примеры сходящейся и расходящейся последовательности.

13.В чём состоит достаточное условие сходимости монотонной числовой последовательности?

14.Какие равносильные определения непрерывности функции в точке Вы знаете? Сформулируйте их.

15.Какие точки называются точками разрыва функции?

Когда точка x0 является точкой разрыва 1-го рода; точкой разрыва 2-го рода; устранимой точкой разрыва?

16.Какие свойства функций, непрерывных в точке, Вы

знаете?

17.Какие свойства функций, непрерывных на отрезке, Вы

знаете?

18.В каких точках непрерывна любая элементарная функ-

ция?

19.Когда бесконечно малые (или бесконечно большие)

α(x) и β (x) называют эквивалентными при x→x0 ?

20.Какие основные эквивалентности бесконечно малых функций Вы знаете?

21.Чему эквивалентен многочлен

P	(x) = a	xn + a	1	xn−1	+ ...+ a	n	(a ≠ 0, n	) при x → ∞ ?
n	0		1			n	0

22.Как используют эквивалентности при вычислении пределов?

186

5.Упражнения

1.Сформулируйте определение предела на языке «ε – δ» в следующих случаях:

а)	lim	f (x) = b ;	б)	lim	f (x) = −∞ ;
	x→−∞			x→+∞
в)	lim	f (x) = +∞ ;	г)	lim	f (x) = +∞ ;
	x→−∞			x→x0 −0
д)	lim	f (x) = b ;	е)	lim	f (x) = −∞ .
	x→x0 +0			x→x0

2.Пользуясь определением предела на языке «ε – δ», доказать, что:

а)

lim

(10 x −7 ) = 3 ;

б)

lim

= +∞ ;

(x + 1)2

x→1

x→−1

в)

lim 3 x = −∞ ;

г)

lim

2 x + 3

= 2 .

x + 1

x→−∞

x→+∞

Вычислить пределы функций:

а)

lim

x − 2 x

;

б)

lim

2 − x

;

3x +

x2 −6 x +

x→0

x→3

в)

lim

2 x − 1

;

г)

lim

x2 + 3x + 2

;

x→−2

x + 2

x→−1 x3 + 2 x2

− x − 2

д)

lim

6 x − 5

;

е)

lim

4 x3 + x − 1

;

2 − 3x

x→∞

x→ ∞ x2 + 2x −

ж)

lim

(x + 1)2 ;

з)

lim

5 − x − 2

;

x − 1

x→∞

x3 + 1

x→1

и)

lim

1 − x − 1

;

к)

lim

x2 +1 − 2x

;

2 −

2 + x

x + 3

x→0

x→+∞

л)

lim

x2 + 1 − 2x

;

м) lim

x2 + x −

x2 − x

)

x + 3

x→−∞

x→+∞(

Вычислить пределы последовательностей:

а)

nlim→∞ n( n

+ 1 − n);

б) lim

2n +7 n

;

−

n−

n→∞

187

в)

lim

2 +4 +6 + K + 2n

;

+ 3

+5 +K +(2n −

n→∞

г)

lim

+ ...+

1 2

n (n +1)

n→∞

5. Найти и исследовать точки разрыва функций:

а) f (x)=

;

б)

f (x)=

x2 −6 x − 16

;

+ x)2

x + 2

f (x)=

г)

f (x)= arctg

;

в)

x ;

−

д)

f (x)= sin

;

е)

f (x)=

x−1

1 − 3 x−3

6. Исследовать функции на непрерывность, установить характер точек разрыва и построить графики:

а)

в)


0,					x < 0,
		x		, 0	≤ x < 2, б)
f (x)= 2
					x ≥ 2;
x + 2,
			2	− 4
	x				, x ≠ −2,

f (x)= x + 2
					x = −2;
0,

10 − x

x ≤ 3,

f (x)=

, 3

< x ≤ 4;

x −

x > 4;

log

г) f (x)

x − 1

x − 2

Вычислить пределы:

			a x
а)	lim	1 +			;

	x→∞		x
в)	lim	2x + 1			x−1
						;
				+ 3
	x→−∞	4 x
д)	lim (	1 + sin x)−				1	;
						x
	x→0

б)

г)

е)

3x + 1 3−x lim ; x→∞ 3x − 1

lim	x + 1	x2
			;

x→+∞ x + 2

lim (cos x)sin x .

x→0

188

8.Вычислить пределы с помощью эквивалентных бесконечно малых:

а) lim	sin7 x	;	б) lim	arc sin		2 x	;
x→0	x2 +π x		x→0	tg	x
				tg	2

в)

д)

ж)

и)

lim

cos 4 x − 1

;

г)

lim

eπ x − 1

;

x arctg2 x

3 1 + x − 1

x→0

lim

ln(1 − 5 x)

;

е)

lim

log2 (1 + x2 )

;

sin(π (x +7 ))

1 − cos x

x→0

π x

lim

1 − sin3 x

;

з)

lim

cos 2

;

x→

cos2 x

x→1

2x−1 −

lg x − 1

lim

x→10

x − 9 −

6. Ответы к упражнениям

1. а) ε > 0 N > 0 : x < −N f (x)− b < ε ;

б) K > 0 N > 0 : x > N f (x)< −K ; в) K > 0 N > 0 : x < −N f (x)> K ;

г) K > 0 δ > 0 : x0 −δ < x < x0 f (x) > K ; д) ε > 0 δ > 0 : x0 < x < x0 +δ f (x)− b < ε ; е) K > 0 δ > 0 : 0 < x − x0 <δ f (x)< −K .


3. а) 0; б) −∞ ;		в) не существует; г) – 0,5; д) –2;						е)	∞ ;
ж) 0;	з) – 0,25;	и)	2 ;	к) –1;		л) – 3;	м) 1. 4. а) 0,5;			б) – 7;
в) 1;	г) 1.	5.	а)	x = −1		– точка разрыва 2-го рода,
f (−1 ± 0) = −∞ ;		б)	x = −2		–	точка	устранимого		разрыва,
f (−2 ± 0) = −10 ;		в)		x = 0		– точка	разрыва	2-го		рода,
f (0 −0) = 0, f (0 + 0) = +∞ ;					г) x = 5 – точка разрыва 1-го рода,

189

f (5 ± 0)= ±π ;

д) x = 0

– точка разрыва 2-го рода, lim sin

x = 1

x→0

не

существует;

е)

–

точка

разрыва

2-го рода,

f (1 ± 0)= ±∞ ,

x = 3

–

точка

разрыва

1-го

рода,

f (3 −0)= 1, f (3 + 0)= 0 .

6. а) непрерывна во всех точках, кроме

x = 0 ;

в точке x = 0

непрерывна справа ( f (0 + 0)= f (0)= 1 ),

слева имеет разрыв

1-го рода ( f (0 −0)= 0 );

б) непрерывна во всех точках, кроме

x = 3 ;

в точке x = 3

непрерывна

слева ( f (3 −0)= f (3)= 1 ),

справа

имеет разрыв 2-го рода ( f (3 + 0)= +∞);

в) непрерывна

во всех точках, кроме

x = −2 ; в точке

x = −2

устранимый раз-

рыв

f (−2 ± 0)= −4 ≠ f (−2)= 0 );

г) непрерывна во всех точках,

кроме

x = 0 (разрыв 2-го рода,

f (0 ± 0)= m∞ ) и

x = 2 (разрыв

1-го рода, f (2 −0)= −0,5 , f (2 + 0)= 1,5 ). 7.

а)

ea ; б)

e− 3 ;

в) +∞ ; г) 0; д)

; е) 1.

8. а)

; б) 4; в) 4; г) 3π ; д)

;

е) 0; ж) 1,5; з) −π lg 4 ; и) 0,2 lg e .

7. Образец контрольного задания

1. Вычислить

lim

x2 + x − 2

x2 − 4 x +

x→1

2. Вычислить

lim

2 x + 1

x→∞

4 x − 1

3. Вычислить

lim

2 + x − 2

x→2

x − 2

4. Вычислить

lim

e4 x − 1

sin 2 x

x→0

5. Сколько последовательностей из перечисленных являются сходящимися?

190

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2423 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2019172 Кб14magn.doc
#
17.08.20198 Мб27Makroekonomika (1).doc
#
14.02.20152 Мб44MAKROEKONOMIKA_1.pdf
#
01.07.2025210 Кб3marchenko_g_l_po_zapadnomu_kavkazu_1972.doc
#
14.02.20157 Мб62Martynova_E_V_Lineynaya_algebra.doc
#
14.02.20152 Мб379matem-up1.pdf
#
14.02.2015543 Кб40matematika_ekzamen - .doc
#
14.02.20153 Мб330matematika_metod_posobie.docx
#
14.02.20152 Мб263Matematika_ryad.doc
#
14.02.20152 Мб71Matematika_Zaytsev_ch2.pdf
#
01.05.2025132 Кб0matematika-123-KTM-B.doc