Лабораторная работа № 4 Тема: Проверка статистических гипотез
Цель работы: Приобретение навыков проверки гипотез про выборочное среднее и дисперсию, сравнение выборочных средних двух совокупностей
Задания на выполнение лабораторной работы
Задание 1. Проверка равенства выборочного среднего генеральному значению (при известной дисперсии).
Измеритель добротности комплектуется набором эталонных катушек индуктивности с указанными номиналами (выборка X). Проверить гипотезу о равенстве выборочного значения индуктивности эталонных катушек паспортному значению (математическому ожиданию). Проверку гипотез произвести дважды при различных значениях математического ожидания: a1 и a2.
Исходные данные приведены в таблице 1.
Итак,
нулевая гипотеза имеет вид: H0
:
=
a
, а альтернативную гипотезу следует
принять такую:
H1
:
> a,
где a
- математическое ожидание, которое при
расчетах принимает значения a1
и a2.
Уровень значимости для всех четырех заданий выбрать из таблицы
|
Варианты |
Уровень значимости, |
|
1-4 |
0,05 |
|
4-8 |
0,01 |
|
9-12 |
0,1 |
|
13-16 |
0,025 |
Задание 2. Сравнение выборочных средних двух совокупностей (дисперсии неизвестные, но равные).
Имеются результаты десяти измерений коэффициента пульсации на выходе выпрямителя. Измерения проводятся аналоговым вольтметром (выборка X1) и цифровым (эталонным) вольтметром (выборка X2). Проверить гипотезу о равенстве средних значений коэффициентов пульсации, измеренных двумя приборами.
Проверяемая
гипотеза
альтернативная
гипотеза
где
математические
ожидания двух выборок.
Исходные данные приведены в таблице 2.
Задание 3.Сравнение выборочных средних двух совокупностей (дисперсии неизвестны и нет предположения о равенстве)
Проведено
десятикратное измерение сопротивления
кабеля при температуре
(выборкаX1)
и при температуре
(выборкаX2).
Можно ли считать средние значения
сопротивления одинаковыми?
Проверяемая
гипотеза
альтернативная
гипотеза
Исходные данные для разных вариантов приведены в таблице 3.
Задание 4. Проверка равенства генеральной дисперсии некоторому гипотетическому значению
Точность
работы омметра проверялась по дисперсии
измеренного значения эталонного
сопротивления 2.
Проведено 10 измерений (выборка
X).
Проверить гипотезу, заключающуюся в
том, что выборка взята из генеральной
совокупности с некоторым гипотетическим
значением дисперсии 02,
т.е. нулевая гипотеза
.
В качестве альтернативной взять
гипотезу
.
Исходные данные приведены в таблице 4.
Указания по выполнению лабораторной работы
Задание 1
Требуется
проверить гипотезу о равенстве выборочного
среднего генеральному значению при
известной дисперсии. Напомним, что
нулевая гипотеза имеет вид: H0:
=a,
а альтернативная:
H0
:
> a.
Уровень значимости ,
значение дисперсии
.
Проверку гипотезы следует провести
вначале для гипотетического
(предполагаемого) значения математического
ожиданияa1
, а затем для a2
.
Для
проверки гипотезы
необходимо вычислить выборочную
статистику (критическую функцию):
.
Значение n принимается равным десяти (таково число элементов в выборочной совокупности).
Определяем
критическое значение правостороннего
критерия для заданного уровня значимости
(критическую точку z1-
).Критическую
точку нужно определять с помощью
нормированного нормального распределения
при a
= 0 и
= 1 (функция Лапласа) . Гипотеза
отклоняется, если выполняется неравенствоz
> z1-
.
Задание 2
Определяем выборочную статистику:
где
средние
значения двух выборок,
объёмы
выборок,
среднеквадратичное
отклонение, которое рассчитывается по
формуле:
.
С
помощью распределения Стьюдента находим
критическое значение двустороннего
критерия
.
Для этого необходимо использовать
заданный уровень значимости
и число степеней свободы
.
Как известно гипотеза
принимается, если выполняется неравенство:
.
Задание 3
Определяем число степеней свободы:
;
и
приближённый
критерий:
.
Заметим, что определении k необходимо расчетное значение округлить до ближайшего большего целого числа.
Критическое
значение
определяется с помощью распределения
Стьюдента. Для этого используются
заданный уровень значимости
и число степеней свободы
;
вид критерия - двусторонний.
Напомним,
что гипотеза
принимается, если выполняется неравенство
.
Задание 4
Для
проверки гипотезы
вычислим выборочную статистику с помощью
критической функции:
По уровню значимости и числу степеней свободы df = = n – 1 определим критическую точку (квантиль) распределения Пирсона.
Гипотеза
принимается, если выполняется неравенство:2
< k2
.
Таблица 1
|
№ |
Вар.1 |
Вар.2 |
Вар.3 |
Вар.4 |
Вар.5 |
Вар.6 |
Вар.7 |
Вар.8 |
Вар.9 |
Вар. 10 |
Вар. 11 |
Вар. 12 |
Вар. 13 |
Вар. 14 |
Вар. 15 |
Вар. 16 |
|
1 |
0,1 |
0,01 |
1 |
100 |
0,1 |
1 |
0,01 |
100 |
99 |
1,4 |
0,1 |
1,1 |
101 |
0,12 |
1 |
100 |
|
2 |
0,12 |
0,011 |
1,04 |
102 |
0,1 |
1,3 |
0,013 |
108 |
101 |
1,2 |
0,11 |
1 |
100 |
0,1 |
1,1 |
103 |
|
3 |
0,11 |
0,011 |
0,95 |
98 |
0,09 |
0,99 |
0,009 |
96 |
97 |
0,9 |
0,105 |
1,05 |
98 |
0,098 |
0,96 |
102 |
|
4 |
0,08 |
0,009 |
1,1 |
94 |
0,12 |
1,18 |
0,008 |
102 |
100 |
0,98 |
0,094 |
0,96 |
100 |
0,11 |
1,3 |
98 |
|
5 |
0,1 |
0,012 |
0,9 |
104 |
0,11 |
1 |
0,011 |
98 |
103 |
0,89 |
0,12 |
0,94 |
103 |
0,1 |
0,98 |
100 |
|
6 |
0,07 |
0,008 |
1,18 |
100 |
0,07 |
1,1 |
0,012 |
101 |
96 |
1,1 |
0,098 |
1 |
99 |
0,098 |
0,94 |
99 |
|
7 |
0,11 |
0,01 |
0,97 |
95 |
0,1 |
0,95 |
0,011 |
99 |
100 |
1 |
0,1 |
1,15 |
104 |
0,1 |
1,2 |
104 |
|
8 |
0,12 |
0,012 |
0,99 |
99 |
0,08 |
0,9 |
0,009 |
100 |
102 |
0,99 |
0,95 |
0,98 |
98 |
0,11 |
0,99 |
100 |
|
9 |
0,09 |
0,009 |
1,3 |
101 |
0,11 |
1,2 |
0,012 |
103 |
98 |
1 |
0,11 |
1 |
100 |
0,1 |
1,4 |
95 |
|
10 |
0,1 |
0,013 |
1 |
100 |
0,12 |
1,1 |
0,008 |
95 |
100 |
1,1 |
0,1 |
1,3 |
96 |
0,96 |
0,97 |
96 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0,7 |
0,6 |
0,8 |
0,6 |
0,7 |
0,5 |
0,8 |
0,5 |
0,7 |
0,6 |
0,5 |
0,8 |
0,8 |
0,5 |
0,7 |
0,7 |
|
a1 |
0,1 |
0,01 |
1 |
70 |
0,1 |
1 |
0,009 |
77 |
99 |
1,04 |
0,045 |
1 |
99,8 |
0,1 |
1 |
100 |
|
a2 |
0,09 |
0,009 |
0,6 |
99 |
0,05 |
0,5 |
0,003 |
100 |
99,5 |
0,7 |
0,1 |
0,6 |
99 |
0,18 |
1,2 |
99 |
Таблица 2
|
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
Вариант 4 |
Вариант 5 |
Вариант 6 |
Вариант 7 |
Вариант 8 | ||||||||
|
№ |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
|
1 |
0,365 |
0,4 |
0,57 |
0,43 |
0,88 |
0,8 |
0,45 |
0,57 |
0,91 |
0,55 |
0,65 |
0,89 |
0,43 |
0,56 |
0,66 |
0,54 |
|
2 |
0,34 |
0,41 |
0,59 |
0,41 |
0,97 |
0,91 |
0,4 |
0,59 |
0,66 |
0,58 |
0,91 |
0,85 |
0,36 |
0,78 |
0,51 |
0,5 |
|
3 |
0,33 |
0,43 |
0,46 |
0,49 |
0,86 |
0,73 |
0,21 |
0,34 |
0,68 |
0,51 |
0,84 |
0,79 |
0,65 |
0,62 |
0,58 |
0,61 |
|
4 |
0,56 |
0,37 |
0,5 |
0,35 |
0,81 |
1,1 |
0,41 |
0,5 |
0,53 |
0,2 |
0,8 |
0,93 |
0,41 |
0,47 |
0,44 |
1 |
|
5 |
0,48 |
0,36 |
0,58 |
0,38 |
0,8 |
1 |
0,48 |
0,44 |
0,69 |
0,68 |
1,2 |
0,99 |
0,49 |
0,44 |
0,56 |
0,365 |
|
6 |
0,23 |
0,38 |
0,5 |
0,55 |
0,93 |
0,95 |
0,31 |
0,35 |
0,6 |
0,55 |
0,91 |
0,65 |
0,56 |
0,57 |
0,51 |
0,34 |
|
7 |
0,29 |
0,47 |
0,41 |
0,51 |
0,94 |
0,92 |
0,56 |
0,85 |
0,46 |
0,49 |
1,05 |
0,88 |
0,31 |
0,49 |
0,63 |
0,33 |
|
8 |
0,45 |
0,44 |
0,46 |
0,5 |
0,8 |
0,88 |
0,7 |
0,41 |
0,5 |
0,53 |
1,3 |
0,92 |
0,48 |
0,61 |
0,6 |
0,56 |
|
9 |
0,365 |
0,4 |
0,5 |
0,43 |
0,81 |
0,72 |
0,3 |
0,55 |
0,34 |
0,61 |
0,85 |
0,99 |
0,41 |
0,53 |
0,5 |
0,84 |
|
10 |
0,36 |
0,4 |
0,47 |
0,4 |
0,9 |
0,89 |
0,45 |
0,5 |
0,5 |
0,8 |
0,8 |
1 |
0,47 |
0,5 |
0,98 |
0,23 |
Продолжение таблицы 2
|
|
Вариант 9 |
Вариант 10 |
Вариант 11 |
Вариант 12 |
Вариант 13 |
Вариант 14 |
Вариант 15 |
Вариант 16 | ||||||||
|
№ |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
|
1 |
0,11 |
0,09 |
0,89 |
0,91 |
0,81 |
0,73 |
0,45 |
0,5 |
0,61 |
0,67 |
0,76 |
0,46 |
0,22 |
0,46 |
0,88 |
0,8 |
|
2 |
0,34 |
0,1 |
0,56 |
0,76 |
0,8 |
0,7 |
0,67 |
0,75 |
0,64 |
0,8 |
0,84 |
0,63 |
0,13 |
0,74 |
0,81 |
0,9 |
|
3 |
0,15 |
0,04 |
0,93 |
1,1 |
0,8 |
0,73 |
0,47 |
0,35 |
0,6 |
0,73 |
0,36 |
0,64 |
0,42 |
0,32 |
0,86 |
0,81 |
|
4 |
0,08 |
0,36 |
0,67 |
0,81 |
0,8 |
0,77 |
0,87 |
0,67 |
0,64 |
0,74 |
0,75 |
0,74 |
0,1 |
0,11 |
0,82 |
0,9 |
|
5 |
0,56 |
0,27 |
0,88 |
0,65 |
0,79 |
0,83 |
0,76 |
0,58 |
0,59 |
0,78 |
0,86 |
0,38 |
0,04 |
0,23 |
0,79 |
0,93 |
|
6 |
0,14 |
0,06 |
0,92 |
0,98 |
0,82 |
0,88 |
0,53 |
0,86 |
0,59 |
0,71 |
0,97 |
0,97 |
0,55 |
0,05 |
0,64 |
0,83 |
|
7 |
0,06 |
0,46 |
1 |
1,5 |
0,79 |
0,81 |
0,79 |
0,83 |
0,63 |
0,74 |
1 |
0,66 |
0,75 |
0,09 |
0,64 |
0,93 |
|
8 |
0,5 |
0,28 |
0,57 |
0,76 |
0,81 |
0,77 |
0,64 |
0,57 |
0,66 |
0,77 |
0,45 |
0,85 |
0,13 |
0,12 |
0,75 |
0,82 |
|
9 |
0,14 |
0,05 |
0,56 |
0,45 |
0,83 |
0,79 |
0,71 |
0,78 |
0,63 |
0,79 |
0,67 |
0,49 |
0,32 |
0,34 |
0,84 |
0,86 |
|
10 |
0,26 |
0,45 |
0,89 |
0,87 |
0,8 |
0,71 |
0,32 |
0,43 |
0,53 |
0,77 |
0,43 |
0,67 |
0,16 |
0,33 |
0,81 |
0,91 |
Таблица 3
|
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
Вариант 4 |
Вариант 5 |
Вариант 6 |
Вариант 7 |
Вариант 8 | ||||||||
|
№ |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
|
1 |
3,6 |
5 |
8 |
5,67 |
10,44 |
16 |
33,24 |
43 |
7,5 |
8,6 |
10,5 |
11 |
15 |
18,5 |
33,5 |
25,6 |
|
2 |
4,7 |
6,4 |
3,6 |
8,3 |
28,44 |
34 |
55,25 |
45,1 |
8,6 |
7,9 |
10 |
12 |
15,7 |
16,7 |
33,7 |
26,7 |
|
3 |
3 |
5,2 |
8,7 |
5 |
35,57 |
31 |
33 |
48,9 |
7,4 |
8 |
9,5 |
12,6 |
13,5 |
46,7 |
26,7 |
27,8 |
|
4 |
6,3 |
8,4 |
3,7 |
7,8 |
26,75 |
25,6 |
24,64 |
31,6 |
7 |
6,9 |
9,1 |
12,9 |
16,4 |
12,5 |
28,5 |
29,1 |
|
5 |
6,5 |
3,6 |
6,5 |
5,8 |
32,46 |
30,5 |
19,78 |
52 |
6,9 |
6,4 |
10,9 |
13 |
15,9 |
18,5 |
34,6 |
31,4 |
|
6 |
7,4 |
6,6 |
7,5 |
4,9 |
26,56 |
27,5 |
38,67 |
44 |
8 |
8,4 |
9 |
10,9 |
13,8 |
17,4 |
27,9 |
22,5 |
|
7 |
8,4 |
7,5 |
7,3 |
7,7 |
29,46 |
25,7 |
47,78 |
34,5 |
7,2 |
7,4 |
11 |
12,8 |
12 |
18,9 |
34,1 |
32,5 |
|
8 |
3,7 |
7,3 |
9,6 |
4,9 |
18,46 |
18,9 |
43,46 |
41,45 |
8,2 |
6,9 |
10,8 |
13,1 |
14,7 |
17,4 |
35,6 |
24,2 |
|
9 |
3,8 |
5,7 |
6 |
6,9 |
15,55 |
15,6 |
38 |
32,56 |
7,7 |
7,6 |
9,7 |
9 |
15,4 |
16,8 |
22,4 |
25,8 |
|
10 |
7 |
6,7 |
5,7 |
6,2 |
3 |
13,9 |
51,7 |
23,56 |
7 |
8,3 |
9,9 |
11,3 |
15,9 |
16,1 |
31 |
29,5 |
Продолжение таблицы 3
|
|
Вариант 9 |
Вариант 10 |
Вариант 11 |
Вариант 12 |
Вариант 13 |
Вариант 14 |
Вариант 15 |
Вариант 16 | ||||||||
|
№ |
X1 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
X2 |
X1 |
|
1 |
8,3 |
6,2 |
17,41 |
15,3 |
63,11 |
77,9 |
42,6 |
51,6 |
31 |
37,6 |
14,2 |
11,2 |
5,22 |
6,3 |
7,3 |
6,2 |
|
2 |
7,5 |
6,7 |
16,4 |
15,1 |
61,5 |
75,3 |
43,8 |
53,9 |
36,4 |
33,9 |
16,3 |
13,2 |
5,8 |
6,1 |
6,2 |
6,9 |
|
3 |
8,9 |
5,4 |
16,3 |
16,9 |
60,1 |
79,4 |
48,5 |
52,9 |
22,8 |
31,5 |
13,8 |
10,6 |
5,9 |
5,9 |
7,9 |
6,8 |
|
4 |
7,2 |
7,9 |
18,9 |
15,8 |
64,7 |
62,6 |
57,8 |
58,94 |
39,6 |
49,4 |
14,9 |
9,9 |
4,56 |
5,3 |
8,3 |
7,2 |
|
5 |
7 |
6,4 |
17,1 |
16,5 |
64,9 |
79,1 |
37,9 |
44,7 |
35,1 |
38,9 |
16,3 |
12,5 |
4,5 |
5,7 |
7,5 |
5,7 |
|
6 |
6,9 |
6,9 |
16,2 |
17,1 |
61,4 |
82,6 |
45,3 |
56,7 |
41,6 |
26,8 |
15,3 |
11,8 |
5,6 |
6,7 |
5,8 |
5,5 |
|
7 |
9 |
5,6 |
17,2 |
14,1 |
68,7 |
61,9 |
41,9 |
65,3 |
37,8 |
24,7 |
15,9 |
9,6 |
6,1 |
5,8 |
5,7 |
6,5 |
|
8 |
8,5 |
7,2 |
18,6 |
12,4 |
63 |
75,8 |
61,8 |
67,4 |
30,1 |
31,6 |
16,7 |
12,6 |
4,8 |
5,1 |
7,8 |
7,1 |
|
9 |
7,9 |
7,1 |
16,1 |
15,3 |
55,9 |
78,3 |
44,7 |
46,8 |
28,9 |
32,7 |
12,6 |
15,2 |
4,1 |
6,8 |
7,1 |
6,8 |
|
10 |
9,4 |
5,1 |
17,3 |
15,8 |
58,3 |
59,3 |
38,9 |
41,7 |
26,4 |
44,2 |
11,5 |
13,9 |
5,3 |
5,6 |
6,9 |
6,3 |
Таблица 4
|
№ |
Вар.1 |
Вар.2 |
Вар.3 |
Вар.4 |
Вар.5 |
Вар.6 |
Вар.7 |
Вар.8 |
Вар.9 |
Вар.10 |
Вар.11 |
Вар.12 |
Вар.13 |
Вар.14 |
Вар.15 |
Вар.16 |
|
1 |
100,4 |
5,9 |
63,6 |
1,2 |
7,5 |
2,7 |
5,6 |
33 |
8,2 |
0,47 |
7 |
1,2 |
34 |
0,48 |
5,6 |
100 |
|
2 |
108,4 |
6 |
63,5 |
1,3 |
7,8 |
2,4 |
5,9 |
31,8 |
8,9 |
0,55 |
7,5 |
1,3 |
33,7 |
0,54 |
5,1 |
102 |
|
3 |
95,8 |
4,8 |
61,7 |
1,4 |
7 |
2,4 |
5,1 |
32,5 |
7,2 |
0,37 |
6,9 |
1,4 |
32,4 |
0,31 |
6,3 |
109 |
|
4 |
94,6 |
5,7 |
58,9 |
0,8 |
6,5 |
1,8 |
5,3 |
35,6 |
7,6 |
0,41 |
8,4 |
0,9 |
31,2 |
0,47 |
4,9 |
97,7 |
|
5 |
103,5 |
5,1 |
66,3 |
0,6 |
6,9 |
1,9 |
4,9 |
33 |
8,1 |
0,52 |
7,2 |
2,1 |
36,1 |
0,52 |
5,1 |
98 |
|
6 |
99,3 |
6,3 |
62,6 |
1,3 |
7,3 |
2 |
4,8 |
34,6 |
9 |
0,49 |
7,1 |
0,8 |
33 |
0,47 |
5 |
103 |
|
7 |
92,6 |
4,6 |
61,9 |
1,2 |
7,2 |
2,5 |
6,1 |
31,6 |
8,2 |
0,51 |
7,9 |
1,1 |
33,2 |
0,39 |
4,8 |
100 |
|
8 |
106,4 |
4,7 |
69,3 |
1,6 |
8,1 |
2,9 |
6 |
36,4 |
7,9 |
0,38 |
6,8 |
1 |
33 |
0,43 |
5,6 |
94,9 |
|
9 |
101,7 |
5,6 |
59,4 |
0,9 |
6,8 |
2,7 |
5,7 |
28,6 |
7,7 |
0,47 |
8,3 |
1,5 |
34,1 |
0,54 |
5,9 |
100,9 |
|
10 |
97,4 |
5,1 |
57,8 |
0,9 |
7,4 |
1,7 |
5,8 |
29,8 |
8,6 |
0,45 |
7,5 |
1,2 |
33,1 |
0,47 |
5,6 |
105,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 |
20 |
0,35 |
10 |
0,06 |
0,1 |
0,1 |
0,08 |
2,5 |
0,3 |
0,002 |
0,2 |
0,05 |
1,5 |
0,001 |
0,1 |
16 |
Пример выполнения лабораторной работы №4
Задание 1
Дана выборка X: 100, 103, 98, 101, 100, 96, 102, 104, 103, 100.
Требуется проверить гипотезу о равенстве выборочного среднего генеральному значению при известной дисперсии.
Напомним,
что нулевая гипотеза имеет вид: H0:
=a,
а альтернативная:
H0
:
> a.
Уровень
значимости
= 0,05, значение дисперсии
0,5.
Проверку гипотезы следует провести вначале для гипотетического (предполагаемого) значения математического ожидания a1 = 100, затем для a2=100,5.
Решение.
Для
данного примера выборочное среднее
значение составляет:
.
Для
проверки гипотезы
необходимо вычислить выборочную
статистику (критическую функцию):
.
В
данном случае для a1
= 100,
3,13,
а дляa2
= 100,5,
0,894.
Значение n принимается равным десяти (таково число элементов в выборочной совокупности).
Примечание
Ф (zг)=(1 - 2α)/2 – для правосторонней критической области при использовании альтернативной гипотезы типа Н1 или
Ф (zг)=(1 - α)/2 – для двусторонней критической области при использовании гипотезы типа Н2.
Если Zнаб > zг, то нулевую гипотезу отвергают.
Определим критическое значение правостороннего критерия для заданного уровня значимости (критическую точку z1- ). Для данного примера z1- = 1,64. Критическую точку нужно определять с помощью нормированного нормального распределения при a = 0 и = 1 (функция Лапласа) .
Гипотеза
отклоняется, если выполняется неравенствоz
> z1-
.
В
данном примере для a1
= 100 выполняется соотношение 3,13 >
1,64 и гипотеза
отклоняется.
Для
a2
= 100,5 соотношение
иное 0,894 < 1,64, поэтому гипотеза
принимается.
Задание 2
Даны выборка X1: 0,76;0,75;0,34;0,94;0,68;0,34;0,79;0,98;0,34;0,67
и выборка X2: 0,7;0,38;0,98;0,56;0,88;0,57;0,98;0,77;0,63;0,67
Уровень значимости = 0,1.
Решение.
Для
рассматриваемого примера после проведения
расчетов получаем:
Определим выборочную статистику:
где
средние
значения двух выборок,
объёмы
выборок,
среднеквадратичное
отклонение, которое рассчитывается по
формуле:
.
Для данного примера
С
помощью распределения Стьюдента найдём
критическое значение двустороннего
критерия
.
Для этого необходимо использовать
заданный уровень значимости
и число степеней свободы
.
В данном примере
= 0,1, k
= 18. Результат вычисления критической
точки с помощью статистического пакета
для ЭВМ таков:
.
Как
известно гипотеза
принимается, если выполняется неравенство:
.
В рассматриваемом примере 0,54 < 1,73,
поэтому гипотеза
принимается.
Задание 3
Даны выборка X1: 3,5; 3 ;4,9; 6,4; 6,8; 7,2; 8; 3,1; 3,9; 6,3
и выборка X2: 5,2; 6,1; 5,8; 8,1; 3,9; 6; 7,1; 7,2; 5,7; 6,3
Уровень значимости = 0,05.
Решение.
Для
данного примера расчетным путем получаем:
.
Определим число степеней свободы:
;
и
приближённый
критерий:
.
Для рассматриваемого примера k =16 , t = 1,2.
Заметим, что определении k необходимо расчетное значение округлить до ближайшего большего целого числа.
Критическое
значение
определяется с помощью распределения
Стьюдента. Для этого используются
заданный уровень значимости
и число степеней свободы
;
вид критерия - двусторонний.
В данном примере: = 0,05, df = 16.
Результат
вычисления критической точки:
2,12.
Напомним,
что гипотеза
принимается, если выполняется неравенство
.
Так
как фактическое значение критерия
меньше критического (1,2<2,12) , то гипотеза
принимается.
Задание 4
Дана выборка X: 100; 100,3; 99,2; 100,5; 107; 102; 95,4; 98,1; 100,2; 104,1.
Уровень значимости принять = 0,01.
Гипотетическое
(предполагаемое) значение дисперсии:
5,5.
Решение.
Для
рассматриваемого примера находим
выборочную дисперсию:
.
Для
проверки гипотезы
вычислим выборочную статистику с помощью
критической функции:
В рассматриваемом примере 2 = 18,38.
По уровню значимости и числу степеней свободы df = = n – 1 определим критическую точку (квантиль) распределения Пирсона.
При = 0,01 и df = 9 критическое значение составляет k2 = 21,67.
Гипотеза
принимается, если выполняется неравенство:2
< k2
.
Так
как 18,38 < 21,67, то гипотеза
принимается.