8. Доға ұзындығын есептеу

Егер жазық кисық тікбұрышты координаттар жүйесіне қатысты болып және немесе теулерімен немесе параметрлік теңдеулерімен берілсе, онда оның доғасының ұзындығының дифференциалы келесі формуламен беріледі:

Ал AB доғасының ұзындығы келесі формуламен анықталады:

Егер жазық кисық тікбұрышты координаттар жүйесіне қатысты болып және теңдеулері берілсе, онда

Мысал. A(2; -1) және B(5;-8) нүктелерінің арасындағы жартыкубтық параболаның доғасының ұзындығын есептеңіз.

Бұл теңдеуді y-ке қатысты шешеміз, сондықтан y’-ті табамыз:

(қисықтың таңбасы Ox өсіне симметриялы екенін көрсетеді; қарама-қарсы ординаттары бар A және B түктелері Ox өсінен төмен орналасқан қисықтың бөлігінде жатады.)

Бұдан

Тапсырмалар:

1.	циклоидының бір аркасының доғасының ұзындығын есептеңіз;
2.	қисығының доғасының ұзындығын есептеңіз;
3.	эллипс эволютының доғасының ұзындығын есептеңіз;
4.	Архимед спиралының бірінші түйінінің доғасының ұзындығын есептеңіз;
5.	кардиоидының доғасының ұзындығын есептеңіз;
6.	және түзулері арасындағы қисығының доғасының ұзындығын есептеңіз;
7.	Ox өсімен қиылысу нүктелері арасындағы қисығының доғасының ұзындығын есептеңіз;
8.	және түзулері арасындағы тізбекті сызығының доғасының ұзындығын есептеңіз;
9.	астроидының доғасының ұзындығын есептеңіз;
10.	өсімен қиылысу нүктелері арасындағы қисығының доғасының ұзындығын есептеңіз;

9. Көлемді есептеу

xOy жазықтығында D облысты табаны бар және жоғарыдан бетімен шектелген вертикаль цилиндрлі дененің көлемі келесідей екілік интегралымен өрнектеледі:

Қиынырақ формадағы денелердің көлемін есептеу бірнеше вертикаль цилиндрлі денелердің көлемінің алгебралық қосындысын есептеуге келеді.

Мысал. Беттермен шектелген дененің көлемін есептеңіз:

Бұл дене вертикаль цилиндр түрінде берілген. Оны жоғарыдан жазықтығымен шектелген, ал төменнен параболасы мен түзуінің арасындағы xOy жазықтығының бөлігімен шектелген.

Жоғарыдағы формулаға сәйкес бұл дененің көлемі келесідей болады:

Басқа ретпен интегралдаған кезде

Тапсырмалар:

Беттермен шектелген дененің көлемін есептеңіз:

1.
2.
3.
4.	конуспен және цилиндрмен және жазықтықпен берілген.
5.	жазықтығымен және цилиндрмен берілген.
6.	сферамен және цилиндрмен берілген.
7.	жазықтықтармен және цилиндрмен берілген.
8.	эллиптикалық параболоидтармен және жазықтықтармен берілген.
9.	жазықтықтармен берілген.
10.	цилиндрімен және жазықтықтарымен берілген.