2. 3. Матеріальний баланс процесів розподілу

 

Поділу підлягає неоднорідна система, що складається з речовини а (дисперсій н ная фаза) і зважених часток b (Дисперсна фаза). G _c - Кількість вихідної суміші, кг; х _з - Вміст речовини b у вихідній суміші, мас. %; G _n - Кількість продукту, кг; х _п - З о тримання речовини b в очищеному продукті, мас. %; G _o - Кількість осаду, кг; x _о - з о тримання речовини b в осаді, мас. %; _про і - Щільності речовин a і b.

При відсутності втрат речовин матеріальний баланс поділу можна представити так:

за загальною кількістю речовин G _c = G _п + G _о;

за кількістю зважених речовин (дисперсної фазі)

Спільне рішення цих рівнянь дозволяє визначити кількість очищеного продукту

 (2. 1)

і кількість осаду

 (2. 2)

Зміст зважених часток у очищеному продукті і в осаді вибирається в з а висимости від технологічних вимог і залежить від методу поділу.

Ефективність поділу характеризується ефектом поділу

Рівняннями (2. 1) і (2. 2) описується також п роцесс змішання. З рівняння (2. 1) може бути знайдена концентрація зваженої речовини в отриманій суміші

де: G _п і G _про - кількості змішаних продуктів; х _п і х _о - масові концентрації в цих продуктах зважених часток; G _с - кількість кінцевої суміші.

 

2. 4. Кінетика розподілу неоднорідних систем

 

Кінетика осадження. Розглянемо рух частинки під дією гравітаційної сили у в'язко й середовищі (рис. 2. 1). На частку будуть діяти сила тяжіння G, архимедова сила А і сила тертя Т.

Рис. 2. 1. Сили, що діють на частинку у в'язкому середовищі

Обсяг частинки довільної форми пропорційно нален лінійного розміру в третьому ступені: V = k ₁ l ^3, де  - Коефіцієнт, що залежить від форми частинки; l - типовий е ський розмір частки (діаметр).

Якщо щільність твердої частинки _т т, а рідини (газу, пари) _ж ж, то на частку де й ствуют сила тяжіння G = k ₁ l ³ _T g і підйомна сила А = k ₁ l ³ _жg g, спрямована в бік, пр про протилежний до напрямку сили тяжіння. Під дією різниці цих сил частинка пров е міщується в рідині.

На одиницю поверхні частки з боку рідини дей ствуют сили тертя T =  dv / dn, де - Коефіцієнт дінамічес кой в'язкості рідини; dv / dn - Зміна швид про сти руху жид кістки в напрямку, нормальному до поверхні частинки. Сума сил тр е ня Т залежить від площі поверхні частки k ₂ l ² (Де k _г - Коефіцієнт, що враховує форму част і ці) і становить T = k ₂ l ² dv / dn

Згідно з другим законом механіки рівнодіюча сил тяжкості, підйомної та тр е ня дорівнює масі частинки, помноженої на прискорення:

 (2. 3)

Це рівність є диференціальним рівнянням осадження ня частинок під Дейсі т Вієм сили тяжіння.

Рівняння (2. 3) не може бути вирішено в загальному вигляді, тому для визначення ск про рости осадження частинок необхідно його прео бразовать в критеріальне рівняння.

Наведемо рівняння (2. 3) до безрозмірного виду, поділивши всі його члени на 

 (2. 4)

де: - Константа, що залежить від форми частинки і звана коефіцієнтом н тому форми частинки.

Сел ле множення членів рівняння (2. 4) на параметричний критерій (відношення щільності твердої частинки до щільності рідини ) Рівняння прийме вид

 (2. 5)

З рівняння (2. 5) можна отримати критерії подібності для процесу осадження част і ці.

З першого члена рівняння (2. 5) за допомогою методів теорії подібності отримаємо

 (2. 6)

з другого члена -

 (2. 7)

де: Re = - Критерій Рейнольдса, що характеризує гидродинамич е ське подобу при обтіканні частинки рідиною.

Після множення виразу (2. 6) на Re ² отримаємо

 (2. 8)

де: Ar - критерій Архімеда, який характеризує відношення різниці сил тяж е сти і підйомної до підйомної силі; v - кінематична в'язкість.

Таким чином, і з диференціального рівняння (2. 3) отримуємо критеріальне ура в нання, що описує процес осадження:

 (2. 9)

де: А - коефіцієнт; h - показник ступеня, який визначається експериментальним п у тем.

На підставі експериментальних даних встановлено такі режими обложена е ня частки в рідини: ламінарний (Re перехідний (0; 2 і турбулен т ний (Re Для кожного режиму експери ного знайдена залежність виду (2. 9):

для ламінарного режиму

 при Re <1,85 або <0,33; (2. 10)

для перехідного режиму

 при 

або (2. 11)

для турбулентного режиму

 при Re> 500 або (2. 12)

За значенням критерію Рейнольдса визначається швидкість осадження частинки в жи д кістки під дією сили тяжіння

 (2. 3)

яка у разі ламінарного руху може бути визначена за рівнянням Ст про кса, п про Лучано п віслюку перетворення рівняння (2. 10):

 (2. 14)

де: d - діаметр частинки.

Формула (2. 14) справедлива для твердих частинок правильної сфе рической форми. Ск про рость осадження частинок неправильної форми менше.

У разі осадження крапель рідини в рідкому середовищі процес ускладнюється тим, що форма крапель безперервно змінюється. Для визначення швидкості осадження крапель можна р е комі н довать формулу

v ₀ = ^,

де: d - Усереднений діаметр краплі; - Поверхневий натяг на кордонах обр а зующих фаз; - Щільність середовища; _ж - щільність рідини, що утворює краплі; _c - в'язкість ср е ди.

Отримані кінетичні закономірності процесу осадження свідчать про те, що швидкість осадження збільшується з збільшенням розмірів і щільності частинок і розумний ь шается із збільшенням щільності і в'язкості середовища, в якій відбувається осадження.

Максимальний розмір твердих часток, осадження яких відбувається за законом Стокса, можна визна еліть, підставити в рівняння (2. 14) вираз швидкості з (2. 13) при Re , Тоді

 (2. 15)

Наведені розрахунки відносяться до вільного відстоювання, при якому осідають ча з тіци практично не роблять взаємного впливу на рух. На практиці доводиться мати справу з так званим обмеженим відстоюванням при значних концент раціях твердих частинок в середовищі. При обмеженому відстоюванні ско рость осідання частинок нижче, ніж при вільному, внаслідок тертя і зіткнень частинок між собою. Для визначення ск про рости приобмеженому відстоюванні в рівняння вводять поправочні коефіцієнти ціент, вчить и вающие концентрацію частинок в середовищі.

Кінетика фільтрування. При фільтруванні потік рідини проходить через пори з тую перегородку з твердого або волокна стого матеріалу, яка може бути представл е на як шар зерни стого матеріалу (рис. 2. 2). Пори між частинками утворюють канали н е пр а вільной форми, по яких рухається потік V філь труемой рідини.

Для опису кінетики фільтрування скористаємося диференціальним рівнянням Н а Вйо-Стокса для усталеного одне мірного руху потоку

Так як це рівняння не може бути вирішено в загальному вигляді, отримаємо з нього крит е риальное рівняння, застосувавши методи тео рії подоби.

Розділивши всі члени рівняння на , Пів у чім

Доданки лівої частини рівняння безрозмірні. Отримаємо з них критерії подібності.

З першого члена, замінивши х на l, отримують критерій Ейлера, що характеризує о т носіння сил тиску до інерційним силам:

 (2. 16)

З другого члена отримує величину, зворотну критерієм Рейнольдса:

 (2. 17)

З третього члена, викресливши символи диференціювання та напрямки, отримують критерії Фруда, що характеризує відношення сил тяжкості до інерційним силам:

 (2. 18)

Рис. 2. 2. Схема руху рідини через фільтру ющую перег про містечок

 

Так як при фільтруванні сили тяжіння малі в порівнянні з силами тиску і тр е ня, ними можна знехтувати. Тому в кри териальное рівняння не вводиться критерій Фр у так. Для характери стіки геометричних особливостей розглянутої системи в критер і альное рівняння вводиться параметричний критерій l / d _ек.

Критеріальне рівняння, що описує рух потоку фільтрованої рідини через пористий шар, записують у наступному вигляді:

 (2. 19)

де: l - товщина осаду або фільтруючої перегородки: d _ек - еквівалентний діаметр каналів.

Коефіцієнт А і показники ступенів піт визначаються екс експериментально.

При малому діаметрі каналів фільтрувальної перегородки або каналів в осаді на філь т рующей перегородці ламінарний режим фільтрування має місце при Re ≤ 35.

Для ламінарного ре жиму фільтрування залежність (2. 19) має вигляд

 (2. 20)

Для турбулентної області при 

 (2. 21)

У рівняннях (2. 20) і (2. 21) визначальним розміром є еквівалентний діаметр каналів в шарі зернистого матеріалу, а ско рость потоку v віднесена до вільного перетину к а налов.

Еквівалентний діаметр каналів в шарі зернистого матеріалу де - Д о ля пустот в шарі зернистого матеріалу, або коефіцієнт вільного об'єму; - Питома площа поверхні зерен, тобто площа поверхні зерен, що знаходяться в одиниці об'єму шару (в м ² / м ^3):

 (2. 22)

де:  V - загальний обсяг, займаний зернистим шаром; V _o - обсяг, зан і травнем

частинками, що утворюють шар, тобто V - V _o = V _св - вільний об'єм (обсяг каналів в шарі); F _з - поверхня зерна; V _з - обсяг зерна.

Еквівалентний діаметр каналів в шарі може бути виражений через діаметр частинок (зерен) d _з.

Еквівалентний діаметр каналів в шарі може бути виражений через діаметр частинок (з е рен) d _3.

Для частинок неправильної форми

 (2. 23)

де: Ф - фактор форми частинок; Ф = F _ш / F; F _ш - площа поверхні кулі, що має той же об'єм, що і розглянута частка площею поверхні F. Наприклад, для куба Ф = 0,806, для циліндра Ф = 0,69, для диска Ф = 0,32. Значення фактора форми частинок пр і водячи т ся в довідниках.

Фактор форми частинок пов'язаний з коефіцієнтом форми частинок Співвідн і ем .

Рух потоку рідини при фільтруванні зазвичай ламінар ве. Це обстоятельс т в п про зв оляет користуватися рівнянням (2. 20).

Перепишемо рівняння (2. 20) в явній формі

 (2. 24)

і введемо в нього замість еквівалентного діаметра d _ек значення його з рівняння (2. 23), а замість швидкості в каналах v - швидкість v _f, віднесену до загальної площі фільтру і опред е ляем співвідношенням Провівши в зрівняні еніі (2. 24) зазначені заміни, отримаємо

 (2. 25)

тобто швидкість фільтрування через шар пористого матеріалу прямо пропорційно квадрату діаметра частинок зернисто го матеріалу, що утворює фільтрувальний шар, і про б ратно пр про пропорційна в'язкості фільтрованої рідини.

З іншого боку, швидкість фільтрування

 (2. 26)

Зіставивши рівність (2. 26) з рівнянням (2. 25), знайдемо

звідки 

Питомий опір фільтруючого шару

 ,

тобто питомий опір фільтруючого шару прямо пропорційно нально в'язкості рідини і обернено пропорційно квадрату діаметра частинок, що утворюють шар.

Основне кінетичне рівняння фільтрування можна запи сать в наступному вигляді:

dV / (Fd ) = p / (l r).