2)Момент инерции тонкого стержня.

3)Задача по теме колебания.

Ответы:

1)Кинематика-определение положения тела в пространстве в данный момент времени по известным начальным условиям выбранным в СО. Прямолинейное равномерное движение это такое движение при котором за равные промежутки времени тело совершает одинаковые перемещение таким образом что отношение перемещение остаётся величиной постоянной и называется скоростью ПРД.V=S/T.

Движение материальной точки всегда рассматривается относительно какого-либо тела, которое в даннойзадаче принимается за неподвижное и называется телом отсчета. С ним связывается система координат; вместе с телом отсчета они образуют систему отсчета. Для прямолинейного движения достаточно выбрать одну ось координат, например ОХ. Тогда положение точки будет определяться его координатой х. Уравнение равномерного движения в скалярной форме будет выглядеть так:

где x0 — координата точки в момент времени t = 0.

Основное ур-е: x2= x1+ v1*t+a*t^2/2 - где х1 и х2 нач и конечная точки, в1 нач скорость, Т - время, А- ускорение.

Основные характеристики движения материальной точки: траектория движения, перемещение точки, пройденный ею путь, координаты, скорость и ускорение.

график зависимости проекции скорости от времени.

график зависимости проекции скорости от времени.

 

2)Тонкий стержень длины л, препендикулярно проходящей через его середину ml2/12. Для вычисления момента инерции мы должны мысленно расчленить тело на достаточно малые элементы, точки которых можно считать лежащими на одинаковом расстоянии от оси вращения, затем найти произведение массы каждого элемента на квадрат его расстояния от оси и, наконец, просуммировать все полученные произведения.

Билет№3.

1)Кинематика криволинейного движения. Характеристики. Нормальное тангенциальное ускорение.

2)Момент инерции сплошного шара, радиусом r, и массой м и оси проходящий через центр масс шара.

3)Задачка на тема энергия.

Ответы:

1) Криволинейное движение

Криволинейные движения – движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии. По криволинейным траекториям движутся планеты, воды рек.

Криволинейное движение – это всегда движение с ускорением, даже если по модулю скорость постоянна. Криволинейное движение с постоянным ускорением всегда происходит в той плоскости, в которой находятся векторы ускорения и начальные скорости точки. В случае криволинейного движения с постоянным ускорением в плоскости xOy проекции vxи vy ее скорости на оси Ox и Oy и координаты x и  y точки в любой момент времени t определяется по формулам

   

  

Частным случаем криволинейного движения – является движение по окружности. Движение по окружности, даже равномерное, всегда есть движение ускоренное: модуль скорости все время направлен по касательной к траектории, постоянно меняет направление, поэтому движение по окружности всегда происходит с центростремительным ускорением  гдеr – радиус окружности.

Вектор ускорения при движении по окружности направлен к центру окружности и перпендикулярно вектору скорости.

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной   и тангенциальной   составляющих:

 ,

  - нормальное (центростремительное) ускорение, направлено к центру кривизны траектории и характеризует изменение скорости по направлению:

v – мгновенное значение скорости,   r – радиус кривизна траектории в данной точке.

  - тангенциальное (касательное) ускорение, направлено по касательной к траектории и характеризует изменение скорости по модулю.

Полное ускорение, с которым движется материальная точка, равно:

 .

Кроме центростремительного ускорения, важнейшими характе­ристиками равномерного движения по окружности являются период и частота обращения.

Период обращения— это время, за которое тело совершается один оборот.

Обозначается период буквой Т (с) и определяется по формуле:

где t — время обращения, п — число оборотов, совершенных за это время.

Частота обращения— это величина, численно равная числу оборотов, совершенных за единицу времени.

Обозначается частота греческой буквой  (ню) и находится по формуле:

Измеряется частота в 1/с.

Период и частота — величины взаимно обратные:

Если тело, двигаясь по окружности со скоростью v, делает один оборот, то пройденный этим телом путь можно найти, умножив ско­рость v на время одного оборота:

l = vT. С другой стороны, этот путь равен длине окружности 2πr. Поэтому

vT = 2πr,

где w (с-1) - угловая скорость.

При неизменной частоте обращения центростремительное ускорение прямо пропорционально расстоянию от движущейся частицы до центра вращения.

Угловая скорость (w) – величина, равная отношению угла поворота радиуса, на котором находится вращающаяся точка, к промежутку времени, за который произошел этот поворот:

 .

 

Связь между линейной и угловой скоростями:

v= wr.

Движение тела можно считать известным лишь тогда, когда известно, как движется каждая его точка. Самое простое движение твердых тел – поступательное. Поступательным называется движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается параллельно самой себе.

2) Чтобы найти момент инерции тела, надо просуммировать момент инерции всех материальных

точек, составляющих данное тело .

Билет№4.

1)Кинематика твёрдого тела. Число степеней свободы. Связь. Абсолютное твёрдое тело.

2)Момент инерции полого шара, относительно оси проходящий через его центр масс, масса шара м, внутренний радиус r, внешний R.

3)___

Ответы:

1) Основные понятия, определения и задачи кинематики твердого тела.

В кинематике твердого тела изучается движение тел, которые по условию задачи можно принять за твердое тело.

К основным задачам кинематики твердого тела относятся определение положения всех точек тела в системе отсчета и нахождение их скоростей и ускорений.

Число степеней свободы твердого тела.

Числом степеней свободы твердого тела является число независимых между собой параметров, которые определяют положение всех точек тела в системе отсчета.

Поясним это понятие, определяя число степеней свободы свободного твердого тела. Вспомним, что свободным твердым телом называется тело, движение которого в пространстве ничем не ограничено.

На рис. 69 изображены свободное твердое тело в системе отсчета Oxyz и его кинематическая модель ΔABC . Положение трех точек A, B, C, и следовательно, всех точек твердого тела, определяется девятью их координатами. Но эти координаты связаны между собой тремя уравнениями:

То есть независимыми будут только шесть параметров, которые можно выбирать произвольно, а остальные три параметра определяются из трех последних уравнений. Следовательно, свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы.

2) Для вычисления момента инерции мы должны мысленно расчленить тело на достаточно малые элементы, точки которых можно считать лежащими на одинаковом расстоянии от оси вращения, затем найти произведение массы каждого элемента на квадрат его расстояния от оси и, наконец, просуммировать все полученные произведения. Чтобы найти момент инерции тела, надо просуммировать момент инерции всех материальных точек, составляющих данное_тело

БИЛЕТ№5.

1)Движение твёрдого тела, закреплённой точкой. Теорема Эйлера. Мгновенная ось вращения. Кинематические уравнение Эйлера.

2)Динамика специальной теории относительности.

3)Задача энергия колебательного движения. Ответы:

1) Движение твердого тела с одной неподвижной точкой.

Примеры таких тел: волчок с шарнирно закрепленным острием (а), конус, катающийся по плоскости без проскальзывания (б). В этом случае тело имеет три степени свободы - начала систем XYZ и x0y0z0, можно совместить с точкой закрепления, а для описания движения тела использовать три угла Эйлера:

Для твердого уела с одной неподвижной точкой справедлива теорема Эйлера: твердое тело, закрепленное в одной точке, может быть переведено из одного положения в любое другое одним поворотом на некоторый угол вокруг неподвижной оси, проходящей через точку закрепления. Для нас важно следствие из этой теоремы: движение закрепленного в точке твердого тела в каждый момент времени можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку закрепления. Естественно, что положение этой оси как в пространстве, так и относительно самого тела с течением времени в общем случае меняется. МГНОВЕННАЯ ОСЬ ВРАЩЕНИЯ

прямая, неподвижная в данный момент в нек-рой инерциальной системе отсчёта, относительно к-рой сложное движение твёрдого тела в этот момент можно представить как вращат. вокруг этой прямой. М. о. в. может лежать как внутри тела, так и вне его. С течением времени положение М. о. в. изменяется относительно как неподвижной системы отсчёта, так и системы отсчёта, движущейся вместе с телом.

Уравнение Эйлера

1) в механике — динамич. и кинематич. ур-ния, используемые в механике при изучении движения тв. тела; даны Л. Эйлером (L. Euler; 1765).

Динамические Э. у. представляют собой дифф. ур-ния движения тв. тела вокруг неподвижной точки и имеют вид:

где Ix., Iу, Iz— моменты инерции тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки; wх, wу, wz — проекции мгновенной угл. скорости тела на эти оси; Мх, Мy, Mz — гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей; w'х, w'y, w'z — производные по времени от wх, wу, wz.

Кинематические Э. у. дают выражения wх, wу, wz через Эйлеровы углы j, y, q и имеют вид:

Система ур-ний (1) и (2) позволяет, зная закон движения тела, определить момент действующих на него сил и, наоборот, зная действующие на тело силы, определить закон его движения.

2) Специальная теория относительности (СТО; также частная теория относительности) — теория, описывающая движение, законы механики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света. В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей. Обобщение СТО для гравитационных полей называется общей теорией относительности.

Описываемые специальной теорией относительности отклонения в протекании физических процессов от предсказаний классической механики называют релятивистскими эффектами, а скорости, при которых такие эффекты становятся существенными, — релятивистскими скоростями. Релятивистская механика — раздел физики, рассматривающий законы механики (законы движения тел и частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света. При скоростях значительно меньших скорости света переходит в классическую (ньютоновскую)механику.

Билет№6.

1)Инерциальная система отсчёта. Принцип относительности и преобразования Галилео.

2)Момент инерции сплошного цилиндра, масса м, радиус R.

3)Задача по теме термодинамика.

Ответы:

1) Инерциа́льная систе́ма отсчёта (ИСО) — система отсчёта, в которой справедлив закон инерции: все свободные тела (то есть такие, на которые не действуют внешние силы или действие этих сил компенсируется) движутся прямолинейно и равномерно или покоятся[1]. Эквивалентной является следующая формулировка, удобная для использования в теоретической механике[2]:

Инерциальной называется система отсчёта, по отношению к которой пространство является однородным и изотропным, а время — однородным. Системы отсчета, для которых выполняется закон инерции, называют инерциальными системами. Опыты Галилея показали, что Земля — инерциальная система отсчета. Но Земля — не единственная такая система. Инерциальных систем отсчета — бесчисленное множество. Например, поезд, идущий с постоянной скоростью по прямому участку пути,— тоже инерциальная система отсчета. Тело получает ускорение относительно поезда также только под действием других тел. Если какая-либо система отсчета движется относительно инерциальной системы поступательно, но не равномерно и прямолинейно, а с ускорением или же вращаясь, то такая система не может быть инерциальной. Действительно, относительно такой системы тело может иметь ускорение даже в отсутствие действия на него других тел. Например, тело, покоящееся относительно Земли, будет иметь ускорение относительно тормозящего поезда или поезда, проходящего закругление пути, хотя никакие тела это ускорение не вызывают.

Галилея принцип относительности

Галилея принцип относительности

        принцип физического равноправия инерциальных систем отсчёта (См. Инерциальная система отсчёта) в классической механике, проявляющегося в том, что законы механики во всех таких системах одинаковы. Отсюда следует, что никакими механическими опытами, проводящимися в какой-либо инерциальной системе, нельзя определить, покоится ли данная система или движется равномерно и прямолинейно. Это положение было впервые установлено Г. Галилеем в 1636. Одинаковость законов механики для инерциальных систем Галилей иллюстрировал на примере явлений, происходящих под палубой корабля, покоящегося или движущегося равномерно и прямолинейно (относительно Земли, которую можно с достаточной степенью точности считать инерциальной системой отсчёта): «Заставьте теперь корабль двигаться с любой скоростью и тогда (если только движение будет равномерным и без качки в ту и другую сторону) во всех названных явлениях вы не обнаружите ни малейшего изменения и ни по одному из них не сможете установить, движется ли корабль или стоит неподвижно... Бросая какую-нибудь вещь товарищу, вы не должны будете бросать ее с большей силой, когда он будет находиться на носу, а вы на корме, чем когда ваше взаимное положение будет обратным; капли, как и ранее, будут падать в нижний сосуд, и ни одна не упадет ближе к корме, хотя, пока капля находится в воздухе, корабль пройдет много пядей» («Диалог о двух главнейших системах мира птоломеевой и коперниковой», М. — Л., 1948, с. 147).

         Движение материальной точки относительно: её положение, скорость, вид траектории зависят от того, по отношению к какой системе отсчёта (телу отсчёта) это движение рассматривается. В то же время законы классической механики (см. Ньютона законы механики), т. е. соотношения, которые связывают величины, описывающие движение материальных точек и взаимодействие между ними, одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Относительность механического движения и одинаковость (безотносительность) законов механики в разных инерциальных системах отсчёта и составляют содержание Г. п. о.

         Математически Г. п. о. выражает инвариантность (неизменность) уравнений механики относительно преобразований координат движущихся точек (и времени) при переходе от одной инерциальной системы к другой — преобразований Галилея.

         Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта, одну из которых, Σ, условимся считать покоящейся; вторая система, Σ', движется по отношению к Σ с постоянной скоростьюu так, как показано на рисунке. Тогда преобразования Галилея для координат материальной точки в системах Σ и Σ' будут иметь вид:

         x' = x - ut, у' = у, z' = z, t' = t (1)

         (штрихованные величины относятся к системе Σ', нештрихованные — к Σ). Т. о., время в классической механике, как и расстояние между любыми фиксированными точками, считается одинаковым во всех системах отсчёта.

         Из преобразований Галилея можно получить соотношения между скоростями движения точки и её ускорениями в обеих системах:

         v' = v - u, (2)

         a' = a.

         В классической механике движение материальной точки определяется вторым законом Ньютона:

         F = ma, (3)

         где m — масса точки, a F — равнодействующая всех приложенных к ней сил. При этом силы (и массы) являются в классической механике инвариантами, т. е. величинами, не изменяющимися при переходе от одной системы отсчёта к другой. Поэтому при преобразованиях Галилея уравнение (3) не меняется. Это и есть математическое выражение Г. п. о.

         Г. п. о. справедлив лишь в классической механике, в которой рассматриваются движения со скоростями, много меньшими скорости света. При скоростях, близких к скорости света, движение тел подчиняется законам релятивистской механики Эйнштейна (см.Относительности теория), которые инвариантны по отношению к другим преобразованиям координат и времени — Лоренца преобразованиям (при малых скоростях они переходят в преобразования Галилея).

         В. И. Григорьев.

        

        Инерциальная система отсчёта Σ' (с координатными осями x', y', z') движется относительно другой инерциальной системы Σ (с осями х, у, z) в направлении оси х с постоянной скоростью u. Координатные оси выбраны так, что в начальный момент времени (t = 0) соответствующие оси координат совпадают в обеих системах.

2) В случае с толстостенным однородным цилиндром рассмотрим два цилиндра - сплошной и тот, что был вырезан из его полости. Момент первого обозначим 0,5 * M * R^2, а второго 0,5 * m * r^2 Так как момент инерции - величина аддитивная, - то искомый момент равен просто разности этих моментов: 0,5 * ( M * R^2 - m * r^2). Где R и r - внешний и внутренний радиусы толстостенного цилиндра, а M и m - массы сплошного и внутреннего. Остаётся только выразить массу через плотность материала ro и длину цилиндра L. M = ro * V = ro * pi * R^2 * L m = ro * pi * r^2 * L Искомый момент равен: 0,5 * ro * pi * L * (R^4 - r^4)

Не знаю точно но может быть: J=(mR^2)/2.

Билет №7.

 1)Первый закон Ньютона. Явление инерции. Примеры, масса как мера инертности.

2) Момент инерции полого цилиндра относительно оси совпадающей с осью симметрии.

3)Задача на тему импульс.

Ответы:

1)Существуют такие системы отсчёта относительно которых, тело движется равномерно и прямолинейно, если на него не действуют другие тела, такие СО называются инерциальными. Для того чтобы изменилась состояние тела его характер движения, необходимо чтоб на него воздействовали другие тела. Ине́рция — свойство тел сохранять покой или равномерное прямолинейное движение, если внешние воздействия на него отсутствуют или взаимно скомпенсированы, постулируется Первым законом Нью́тона.Примеры Яишницу на сковородке снимаешь с плиты-по инерции жарится, ты бежишь и не можешь резко остановиться потому что мышцы какое то время продолжали двигаться по инерции.

2) момент инерции.

Билет№8.

1)Второй закон Ньютона. Соотношение между первым и вторым.

2)Главные оси. Главные моменты инерции. Теорема Штейнера Гюгенса.

3)Задача по теме энергия.

Ответы:

1) Второй закон Ньютона – основной закон динамики. Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.

Приступая к формулировке второго закона, следует вспомнить, что в динамике вводятся две новые физические величины – масса тела m и сила F а также способы их измерения. Первая из этих величин – масса – является количественной характеристикой инертных свойств тела. Она показывает, как тело реагирует на внешнее воздействие. Вторая – сила F – является количественной мерой действия одного тела на другое.

Второй закон Ньютона – это фундаментальный закон природы; он является обобщением опытных фактов, которые можно разделить на две категории:

Если на тела разной массы подействовать одинаковой силой, то ускорения, приобретаемые телами, оказываются обратно пропорциональны массам: 

a~1/m при F = const.

Если силами разной величины подействовать на одно и то же тело, то ускорения тела оказываются прямо пропорциональными приложенн силам: 

a~F при m = const.

Обобщая подобные наблюдения, Ньютон сформулировал основной закон динамики:

Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение:F=ma.

Это и есть второй закон Ньютона. Он позволяет вычислить ускорение тела, если известна его масса m и действующая на тело сила F:a=F/m.

Во втором законе Ньютона заключен, как частный случай, первый закон, или закон инерции. Действительно, из формулы (a=f/m) видно, что если f=0, то и а=0, т. е. если на тело не действуют силы (или силы действуют, но их равнодействующая равна нулю), то и ускорение равно нулю, и значит, тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

2) ОСИ ИНЕРЦИИ главные - три взаимно перпендикулярные оси, которые можно провести через любую точку твердого тела, отличающиеся тем, что если тело, закрепленное в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии внешних сил оно будет продолжать вращаться вокруг этой оси, как вокруг неподвижной. 

Главные оси и главные моменты инерции твердого тела.

При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Для описания вращательного движения нужно задать положение в пространстве оси вращения и угловую скорость тела в каждый момент времени.

Ось, положение которой в пространстве остается неизменным при вращении вокруг нее тела в отсутствие внешних сил, называется свободной осью тела.

Можно доказать, что для тела любой формы и с произвольным распределением массы существуют три взаимно перпендикулярные, проходящие через центр инерции тела оси, которые могут служить свободными осями: они называются главными осями инерции.

У тела, обладающего осевой симметрией (например, у однородного цилиндра), одной из главных осей инерции является ось симметрии, в качестве двух других осей могут служить две любые взаимно перпендикулярные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии и проходящие через центр инерции тела. Таким образом, у тела с осевой симметрией фиксирована только одна  из главных осей инерции.

Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции тела. В общем случае эти моменты различны: . Для тела с осевой симметрией два главных момента имеют одинаковую величину, третий же, отличен от них: . В случае тела с центральной симметрией все три главных момента инерции одинаковы: .

Момент инерции в динамике вращательного движения играет ту же роль, что и масса тела в динамике поступательного движения. Но есть и принципиальная разница. Если масса – внутреннее свойство данного тела, не зависящее от его движения, то момент инерции тела зависит от того, вокруг какой оси оно вращается. Для разных осей вращения моменты инерции одного и того же тела различны.

Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера, или просто теорема момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела JC относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:.

JC — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

J — искомый момент инерции относительно параллельной оси,

m — масса тела,

d — расстояние между указанными осями.

Вывод

Момент инерции, по определению:

Радиус-вектор  можно расписать как разность двух векторов:

,

где  — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

Вынося за сумму , получим:

Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен нулю:

Тогда:

Откуда и следует искомая формула:

,

где JC — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

БИЛЕТ№9.

1)Взаимодействие тел. Третий закон Ньютона.

2) Свободные оси в твердом теле. Устойчивость свободных осей.

3)Задача на тему Энергия.

Ответы:

1) ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА

В природе никогда не бывает одностороннего действия одного тела на другое, между телами всегда возникает взаимодействие. 

Взаимодействие между телами может происходить как при соприкосновении, так и без соприкосновения тел.

В результате изучения взаимодействия тел, Ньютон открыл третий закон динамики: Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, всегда равны по величине и противоположны по направлению.

Одна из этих сил называется действующей, а другая - противодействующей. F1=-F2.

Эти силы: - действуют вдоль одной прямой;  - направлены в противоположные стороны;  - равны по величине;  - приложены к разным телам, поэтому не уравновешивают друг друга;  - одинаковой природы.

Главные и свободные оси тела

Ось приведенного во вращение твердого тела со временем меняется. Ось вращения, направление которой в пространстве не изменяется с течением времени без действия на неe внешних сил называется свободной осью тела.

Можно доказать, что в любом твердом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через его центр масс, которые могут служить свободными осями. Эти оси называются главными осями инерции.

У тела с центральной симметрией (например, однородный шар) главными осями являются любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс. У тела с осевой симметрией (например, однородный цилиндр, конус) одна из главных осей фиксирована (совпадает с осью симметрии). У однородного параллелепипеда главные оси проходят через центры противоположных граней.

Вращение твердого тела устойчиво относительно главной оси с максимальным и минимальным моментами инерции. Вращение неустойчиво относительно главной оси с промежуточным моментом инерции (рис. 25). Например, у прямоугольного параллелепипеда , являются моментами инерции относительно осей, параллельных его самой длинной и короткой сторон. При подбрасывании вверх с вращением относительно этих осей, движение происходит устойчиво. Если вращать относительно третьей оси – параллелепипед совершает беспорядочное движение.

Найдем момент внешних сил, который необходимо приложить для удержания несвободной оси тела в неизменном положении. Пусть однородный стержень жестко скреплен с осью вращения в середине (центр масс - точка С на рис. 26). Угол  - угол между осью и стержнем,  - угловая скорость стержня.

Момент внешних сил, который необходимо приложить к оси, чтобы ее направление не менялось

Билет№10

1)Импульс тела. Уравнение движение материальной точки. Импульс Силы.

2)Движение твёрдого тела закреплённого в точке. Динамическое уравнение Эйлера. Угол проекции, угол скорости. Проекции на ось xyz.

3)Задача на тему колебания тела.

Ответы:         

p=mV.Произведение массы тела на его скорость называют импульсом (или количеством движения) тела. Импульс тела — векторная величина, так как скорость — вектор. Формула (49.2) выражает закон изменения импульса тела: изменение вектора импульса тела под действием постоянной силы равно произведению силы на время ее действия.

Если сила не остается постоянной, то формула (49.2) применима только для таких малых промежутков времени, за которые сила не успевает еще заметно измениться ни по величине, ни по направлению. При большом изменении силы формулой (49.2) также можно пользоваться, но в качестве / следует тогда брать среднее значение силы за рассматриваемый промежуток времени.

В случае прямолинейного движения тела формулу (49.2) можно написать в скалярном виде:

mv — mv0 = ft.          (49.3)

В этой формуле, как обычно, разные знаки величин v, v0 и f будут обозначать противоположные направления скоростей и сил. Импульс силы — это мера воздействия силы на тело за данный промежуток времени (в поступательном движении). За конечный промежуток времени он равен определенному интегралу от элемен­тарного импульса силы, где пределами интегрирования являются моменты начала и конца промежутка времени действия силы:

В случае одновременного действия нескольких сил сумма их импульсов равна импульсу их равнодействующей за то же время. Любая сила, приложенная даже в доли секунды (например, при отталкивании коньком от льда), имеет   импульс (рис.   9).

Во вращательном движении момент   силы,   действуя   в   течение определенного времени, создает импульс момента силы. ,     Импульс момента силы — это мера воздействия момента силы относительно данной оси за данный промежуток времени (во вра­щательном движении).

 

Количество движения 1 — это мера поступательного движения шла, характеризующая его способность передаваться другому телу в виде механического движения. Количество движения тела измеряется произведением массы тела на его скорость:

количество движения тела может быть определено, например, по тому, как долго оно движется до остановки под действием измеренной тормозящей силы.

 

Кинетический момент 1 — это мера вращательного движения тела, Характеризующая его способность передаваться другому телу в виде Механического движения. Кинетический момент равен произведению момента инерции относительно оси вращения на угловую скорость тела:Импульс силы и импульс момента силы.

2) Вращение тела вокруг неподвижной точки

Название такого вида движения довольно точно его определяет. Часто это движение  называют сферическим движением потому, что все точки тела движутся по сферическим поверхностям.

Наглядным примером такого движения является волчок, закономерности движения которого лежат в основе гироскопических приборов.

1) Углы Эйлера. Уравнения вращения тела с одной неподвижной точкой.

Рис. 9.5.

Положение тела определяется тремя углами. Используются различ­ные системы углов. Например, кора­бельные углы, самолётные углы и др. Но самыми распространёнными яв­ляются углы Эйлера:  (пси),  (тета),  (фи).

Положение тела опре­деляется следующим образом. На­значаются две системы декартовых осей. Первая система – неподвижные оси . На­чало которых берётся в неподвижной точке  тела (рис. 20). Вторая сис­тема, оси , связывается с телом. Поэтому положение тела будет опреде­ляться как положение этих осей относи­тельно неподвиж­ных.

Рис. 9.5.

Когда  углы Эйлера  равны  нулю, под­вижные  оси  совпадают с непод­вижными. Чтобы опреде­лить положение тела, соот­ветст­вующее заданным углам Эйлера, производим следующие  действия. Сначала  подвижные  оси,  а значит и тело, поворачи­ваем на угол  вокруг оси . При этом  оси   и  отойдут от осей  и  в гори­зон­тальной плоскости и ось  займёт по­ложение  (рис.20). Затем тело вращаем вокруг но­вого  поло­жения  оси  (прямой ) на угол . Ось  отойдёт от оси  на этот угол , а ось  приподнимется над горизонтальной плоскостью. Наконец, тело (и подвижные оси) вращаем вокруг нового положения оси  на угол . Ось  отойдёт от положения  в на­клонной плоскости, перпендикуляр­ной оси . Это положение тела и будет соответствовать углам Эйлера (на рисунке само тело не пока­зано).

Линия  пересечения  неподвижной  плоскости   и  подвижной , прямая , называ­ется линией узлов. Угол  называется углом прецессии, угол  – углом  нутации,  угол  – углом собственного вращения. Эти названия углов пришли из теории гироскопов.

При движении тела углы Эйлера изменя­ются по определённым законам  которые называются уравнениями вра­щения.

На примере вращающегося волчка можно лучше разобраться в этих углах Эйлера (рис.21). Ось волчка  описывает конус вокруг неподвижной оси . Это вращение определяется углом  (говорят: волчок совершает прецессию). Отклонение оси волчка от вертикали – угол нутации .

А вращение  волчка  вокруг  своей  оси ,  определяемое углом  – собственное вращение.

Рис.21

Углы Эйлера определяют три поворота системы, которые позволяют привести любое положение системы к текущему. Обозначим начальную систему координат как (x,y,z), конечную как (X,Y,Z). Пересечение координатных плоскостей xy и XY называется линией узлов N.

Угол α между осью x и линией узлов.

Угол β между осями z и Z.

Угол γ между осью X и линией узлов.

Повороты системы на эти углы называются прецессия, нутация и поворот на собственный угол (вращение). Такие поворотынекоммутативны и конечное положение системы зависит от порядка, в котором совершаются повороты. В случае углов Эйлера это последовательность 3,1,3 (Z,X,Z).

БИЛЕТ№11.

1)Уравнение движение системы материальных точек. Центр масс. Теорема о движение центра масс.

2)Гироскоп. Свободная и вынужденная прецессии .

3)Задача на тему

Ответы:

1)Система материальных точек это совокупность выделенных для рассмотрения решение задач, ещё называется механической системой.

 Центр масс и система центра масс

     В любой системе частиц имеется одна замечательная точка С- центр инерции, или центр масс, - которая обладает рядом интересных и важных свойств. Центр масс является точкой приложения вектора импульса системы , так как вектор любого импульса является полярным вектором. Положение точки С относительно начала О данной системы отсчета характеризуется радиусом-вектором, определяемым следующей формулой:

     

(4.8)

     где  - масса и радиус-вектор каждой частицы системы, M - масса всей

     системы (рис. 4.3).

2) Гироско́п(от др.-греч. γυρο «вращение» и др.-греч. σκοπεω «смотреть») — устройство, способное измерять изменение углов ориентации связанного с ним тела относительно инерциальной системы координат. Основные два типа гироскопов по принципу действия: механические гироскопы,  оптические гироскопы.  По режиму действия гироскопы делятся на: датчики угловой скорости,  указатели направления.  Однако, одно и то же устройство может работать в разных режимах в зависимости от типа управления. Среди механических гироскопов выделяется ро́торный гироско́п — быстро-вращающееся твёрдое тело, ось вращения которого способна изменять ориентацию в пространстве. При этом скорость вращения гироскопа значительно превышает скорость поворота оси его вращения. Основное свойство такого гироскопа — способность сохранять в пространстве неизменное направление оси вращения при отсутствии воздействия на неё моментов внешних сил. Свойства гироскопа используются в приборах — гироскопах, основной частью которых является быстро вращающийся ротор, который имеет несколько степеней свободы (осей возможного вращения).

Прецессия — явление, при котором момент импульса тела меняет своё направление в пространстве под действием момента внешней силы.

Углы Эйлера определяют три поворота системы, которые позволяют привести любое положение системы к текущему. Обозначим начальную систему координат как (x,y,z), конечную как (X,Y,Z). Пересечение координатных плоскостей xy и XY называется линией узлов N.

Угол α между осью x и линией узлов.

Угол β между осями z и Z.

Угол γ между осью X и линией узлов.

Повороты системы на эти углы называются прецессия, нутация и поворот на собственный угол (вращение). Такие поворотынекоммутативны и конечное положение системы зависит от порядка, в котором совершаются повороты. В случае углов Эйлера это последовательность 3,1,3 (Z,X,Z).

Нута́ция (от лат. nūtāre — колебаться) — слабое нерегулярное движениевращающегося твёрдого тела, совершающего прецессию. Напоминает «подрагивание» оси вращения и заключается в слабом изменении так называемого угла нутации между осями собственного и прецессионного вращения тела.

Чистая нутация — это такое движение оси вращения, при котором первый угол Эйлера остаётся постоянным. В случае асимметрического волчка описывается траекториями мгновенной угловой скорости волчка 

БИЛЕТ№12.

1)Момент импульса, момент силы. Уравнение моментов. Момент Инерции силы.

2)Постулаты специальной теории относительности. Следствие из преобразования Лоренса.

3)Задача на тему энергия колебательных движений.

Ответы:

1) Векторное произведение радиуса-вектора  материальной точки на ее импульс:  называют моментом импульса , этой точки относительно точки О (рис.5.4)

. Вектор  иногда называют также моментом количества движения материальной точки. Он направлен вдоль оси вращения перпендикулярно плоскости, проведенной через векторы  и  и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из вершины вектора видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от  к  происходит против часовой стрелки).

Векторную сумму моментов импульсов  всех материальных точек системы называют моментом импульса (количества движения)  системы относительно точки О:

Векторы  и  взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости перпендикулярной оси вращения тела. Поэтому .С учетом связи линейных и угловых величин

и направлен вдоль оси вращения тела в ту же сторону, что и вектор .

Таким образом.

Момент импульса тела относительно оси вращения

т.е.

Следовательно, момент импульса тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость вращения тела вокруг этой оси.

Момент силы — это мера вращающего действия силы на тело; он определяется произведением модуля силы на ее плечо :

Момент силы считают положительным, когда сила вызывает поворот тела против часовой стрелки, и отрицательным при повороте тела по часовой стрелке (со стороны наблюдателя).

Момент силы — величина векторная: сила проявляет свое вращаю­щее действие, когда она приложена на ее плече (рис. 8, а). Иначе! говоря, линия действия силы не должна проходить через ось вращения.   Если сила лежит не в плоскости, перпендикулярной к оси, находят составляющую силы, лежащую в этой плоскости (рис. 8, б); она и вызывает момент силы относительно оси. Остальные составляющие на него не влияют. Понятно, что сила, совпадающая с осью или параллельная ей, также не имеет плеча относительно оси, а следо­вательно, нет и ее момента.

 

Тяга каждой мышцы образует момент силы относительно оси соответствующего сустава. Силы, извне приложенные к телу во время движения, обычно не проходят через его центр масс, так что возникают моменты сил относительно ЦМ. Силу, не проходящую через точку (например, через ЦМ), в твердом теле можно привести к этой точке.

2)Постулаты Специальной Теории Относительности (СТО)

Классическая механика Ньютона прекрасно описывает движение макротел, движущихся с малыми скоростями (υ << c). В нерелятивистской физике принималось как очевидный факт существование единого мирового времени t, одинакового во всех системах отсчета. В основе классической механики лежит механический принцип относительности(или принцип относительности Галилея): законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.Этот принцип означает, что законы динамики инвариантны (то есть неизменны) относительно преобразований Галилея, которые позволяют вычислить координаты движущегося тела в одной инерциальной системе (K

Из преобразований Галилея следует классический закон преобразования скоростейпри переходе от одной системы отсчета к другой.

Принцип относительности: все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. Это означает, что во всех инерциальных системах физические законы (не только механические) имеют одинаковую форму. Таким образом, принцип относительности классической механики обобщается на все процессы природы, в том числе и на электромагнитные. Этот обобщенный принцип называют принципом относительности Эйнштейна.

Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Скорость света в СТО занимает особое положение. Это предельная скорость передачи взаимодействий и сигналов из одной точки пространства в другую. Следствия из преобразований Лоренца

1. Если в одной системе отсчета некоторые события происходят в точках x1 и x2 в один и тот же момент вр емени t, то в другой системе отсчета эти события происходят в точкахx'1 и x'2 в разные моменты времени t'1 и t'2:

Понятие одновременности оказывается зависящим от выбора системы отсчета.

2. Если в одной системе отсчета между двумя событиями, происходящими в одной и той же точке, проходит время t, то в другой системе отсче та между этими же событиями проходит время

Это соотношение выражает релятивистский эффект замедления времени в движущихся объектах.

3. Если в одной системе отсчета покоящаяся линейка имеет длину l, то в системе отсчета, в которой линейка движется со скоростью u вдоль своей оси, ее длина

Этот эффект называется релятивистским сокращением продольных размеров тела. Поперечные размеры тела не изменяются при переходе в другие инерциа льные системы отсчета.

4. Если в одной системе отсчета тело имеет скорость v = (vx, vy, vz), то его скорос ть v' = (v'x, v'y, v'z) в другой системе отсчета равна

или в трехмерной векторной форме 

5. Из соотношени (n4), (n5) следует постоянство скорости c в различных системах отсчета. Действительно, если вычислить сумму квадратов левых частей этих равенств при условии

v2=(vx)2+(vy) 2+(vz) 2=c2, (n6)

получим

v'2=(v'x)2+ (v'y)2+(v'z) 2=c2. (n7)

Т. е. скорость c одинакова по величине во всех инерциальных системах отсчета (независимо от направления). Заметим, что направления скоростей v и v' в общем случае различны в разных системах отсчета.

БИЛЕТ №13.

1)Работа, энергия.

2)Инертное свойство и релятивистские частицы, и возможности её ускорения до сверх звуковых скоростей. Кинетическая энергия. Полная энергия. Энергия покоя.

3)Задача по теме Энергия.

Ответы:

1) Работа и Энергия

Термин "работа" в механике имеет два смысла: работа как процесс, при котором сила перемещает тело, действуя под углом, отличном от 90°; работа - физическая величина, равная произведению силы, перемещения и косинуса угла между направлением действия силы и перемещением:

А = Fs cos a.

Работа равна нулю, когда тело движется по инерции (F = 0), когда нет перемещения (s = 0) или когда угол между перемещением и силой равен 90° (cos а = 0). Единицей работы в СИ служит джоуль (Дж).

1 джоуль - это такая работа, которая совершается силой 1 Н при перемещении тела на 1 м по линии действия силы. Для определения быстроты совершения работы вводят величину "мощность".

Мощность равняется отношению совершенной работы ко времени, за которое она выполнена:

Единицей мощности в СИ служит 1 ватт (Вт). 1 Вт - мощность, при которой совершается работа в 1 Дж за 1 секунду.

Рассмотрим действие на тело некоторой постоянной силы F. На участке пути s будет произведена работа А. В результате у тела изменится скорость:

Величину  для материальной точки называют кинетической энергией тела.

Кинетическая энергия - энергия движения, ею обладают все движущиеся тела. Эта величина является относительной, то есть она изменяется в зависимости от выбранной системы отсчета.

Кроме этого вида механической энергии, существует и другой ее вид - потенциальная энергия. Рассмотрим систему двух взаимодействующих тел. Например, тела, поднятого над Землей, и саму Землю.

Работа силы тяжести при перемещении тела на отрезке |h1 - h2| будет равна:

Величину mgh в соответствующей точке, которая расположена на высоте h, называют потенциальной энергией тела, находящегося в поле тяжести.

Из предыдущего уравнения вытекает, что работа не зависит от траектории движения в доле силы тяжести, а определяется лишь изменением высоты.

Потенциальная энергия характеризует и другие взаимодействующие тела. Так, потенциальной энергией обладает сжатая пружина:

где k - модуль упругости, х - смещение от положения равновесия.

Потенциальная энергия, как и кинетическая, является величиной относительной, поскольку и высота, и смещение зависят от выбора точки отсчета.

2)РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЧАСТИЦЫ. В классической механике основной характеристикой любого тела является масса, определяющая инертные свойства этого тела, т. е. способность получать под действием приложенной к нему внешней силы то или иное ускорение. В новой, вытекающей из специальной теории относительности Эйнштейна так называемой релятивистской механике масса любого тела зависит от его скорости. По мере приближения скорости движения к скорости света масса тела стремится к бесконечности. По этой же причине ни одно тело нельзя разогнать до скорости света. Частицы, масса которых вследствие огромной скорости их движения изменяется в соответствии с приведенным законом, называют релятивистскими.

Энергия - физическая величина, характеризующая состояние тела или системы тел по их движению и взаимодействию. В механике энергия тела или системы тел определяется взаимным положением тел или системы тел и их скоростями.

Кинетическая энергия.

Кинетическая энергия - энергия движущегося тела.(От греческого слова kinema - движение). По определению кинетическая энергия покоящегося в данной системе отсчета тела обращается в ноль.

В СТО масса тела m определяется из уравнения релятивистской динамики:

где E — полная энергия свободного тела, p — его импульс, c — скорость света.

Энергия покоя. Энергия покоя E0, или массовая энергия покоя частицы — её энергия, когда она находится в состоянии покоя относительно данной инерционной системы отсчёта; может немедленно перейти в потенциальную (пассивную) и в кинетическую (активную) энергию, что определяется математической формулой эквивалентности массы и энергии следующим образом:

E0 = m0c2,

где m0 - масса покоя частицы, c - скорость света в вакууме.

Можно видеть, что эта формула получается из предыдущей при p = 0, т.е. когда скорость частицы равна нулю.

Релятивистский импульс Четырёх импульс, 4-импульс, релятивистский импульс — 4-вектор энергии-импульса, релятивистское обобщение классического трёхмерного вектора импульса (количества движения) на четырёхмерное пространство-время. Три компоненты классического вектора импульса материальной точки при этом становятся тремя пространственными компонентами вектора четырёх импульса. Временной компонентой вектора четырёх импульса является (с точностью до множителя) полная энергия материальной точки.

Или другими словами: p = Ev / c

ЭНЕРГИЯ ПОКОЯ тела, энергия E0 свободного тела в системе отсчета, в которой тело покоится: E0=m0c2, где m0 - масса покоя, c - скорость света в вакууме. В энергию покоя входят все виды энергии, кроме кинетической энергии движения тела как целого и потенциальной энергии его взаимодействия с внешним полем. Теоретически извлечь полностью энергию покоя можно лишь при реакциях аннигиляции, при обычных ядерных реакциях извлекаются лишь доли процента, а при химических реакциях ~10-8 энергии покоя тела (смотри также Внутренняя энергия).2

БИЛЕТ №14.

1)Потенциальная энергия. Связь между консервативной силой и потенциалом силового поля.

2)Определение колебания, условие возникновения колебания, примеры колебательной системы. Уравнение движение линейного гармонического осциллятора.

3)Задача ….

Ответы:

1) Потенциальная энергия - механическая энергия системы тел, которая определяется характером сил взаимодействия между ними и их взаимным расположением.  Пусть взаимодействие тел друг на друга осуществляется силовыми полями (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), которые характеризуются тем, что работа, совершаемая действующими в системе силами при перемещении тела из первое положения во второе, не зависит от траектории, по которой это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений системы. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, - консервативными. В случае, если работа силы зависит от траектории перемещения тела из одного положения в другое, то такая сила называется диссипативной; примером диссипативной силы является сила трения.  Тело, находящееся в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией P. Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении состоянии системы равна приращению потенциальной энергии, взятому с отрицательным знаком, так как работа производится за счет уменьшения потенциальной энергии:   (2)  Работа dA выражается как скалярное произведение силы F на перемещение dr и выражение (2) примет вид  (3) Значит, если известна функция P(r), то из (3) можно найти силу F по модулю и направлению.  Потенциальная энергия может быть найдена, используя (3) как   где С - постоянная интегрирования, т. е. потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной. Но это не отражается на физических законах, они спользуют или разность потенциальных энергий в двух различных положениях тела, или производная P по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении считают равной нулю (выбирают удобный для решения прикладных задач нулевой уровень отсчета), а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно выбранного нулевого уровня. Для консервативных сил    или в векторном виде   (4)  где   (5)  (i, j, k - единичные векторы координатных осей). Вектор, определяемый выражением (5), называется градиентом скаляра P.  Для него наряду с обозначением grad P применяется также обозначение . (<набла>) означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона или набла-оператором:   (6)  Конкретный вид функции P зависит от вида силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна   (7)  где высота h отсчитывается от выбранного нулевого уровня, для которого P0=0. Выражение (7) следует из того, что потенциальная энергия тела равна работе силы тяжести при падении данного тела с высоты h на поверхность Земли.  Так как начало отсчета можно выбрать произвольно, то потенциальная энергия может быть величиной меньшей нуля (при этом кинетическая энергия всегда положительна!). Если принять за нуль потенциальную энергию тела, находящегося на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты, глубина которой h', P= -mgh'. 

1. Связь между потенциальной энергией и силой. Потенциальная энергия тяготения и упругих деформаций.

Пространство, в котором действуют консервативные силы, называется потенциальным полем. Каждой точке потенциального поля соответствует некоторое значение силы F, действующей на тело, и некоторое значение потенциальной энергии U. Значит, между силой F и U должна быть связь , с другой стороны, dA = –dU, следовательно Fdr=-dU, отсюда: 

Проекции вектора силы на оси координат:  Вектор силы можно записать через проекции: , F = –grad U, где .

Градиент – это вектор, показывающий направление наибыстрейшего изменения функции. Следовательно, вектор направлен в сторону наибыстрейшего уменьшения U.

2) Свободные (или собственные) — это колебания в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие). Простейшими примерами свободных колебания являются колебания груза, прикреплённого к пружине, или груза, подвешенного на нити.

Условия возникновения механических колебаний

1. Хотя бы одна сила должна зависеть от координат.

2. При выведении тела из положения устойчивого равновесия возникает равнодействующая, направленная к положению равновесия. С энергетической точки зрения это значит, что возникают условия для постоянного перехода кинетической энергии в потенциальную и обратно.

3. Силы трения в системе малы.

Для возникновения колебания тело необходимо вывести из положения равновесия, сообщив либо кинетическую энергию (удар, толчок), либо – потенциальную (отклонение тела).

Примеры колебательных систем:1. Нить, груз, Земля.2. Пружина, груз.3. Жидкость в U-образной трубке, Земля.

Гармонический осциллятор (в классической механике) — это система, которая при смещении из положения равновесияиспытывает действие возвращающей силы , пропорциональной смещению  (согласно закону Гука):

где k — положительная константа, описывающая жёсткость системы.

Если  — единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором. Свободные колебания такой системы представляют собой периодическое движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды.

Если имеется ещё и сила трения (затухание), пропорциональная скорости движения (вязкое трение), то такую систему называютзатухающим или диссипативным осциллятором. Если трение не слишком велико, то система совершает почти периодическое движение — синусоидальные колебания с постоянной частотой и экспоненциально убывающей амплитудой. Частота свободных колебаний затухающего осциллятора оказывается несколько ниже, чем у аналогичного осциллятора без трения.

Если осциллятор предоставлен сам себе, то говорят, что он совершает свободные колебания. Если же присутствует внешняя сила (зависящая от времени), то говорят, что осциллятор испытывает вынужденные колебания.

Механическими примерами гармонического осциллятора являются математический маятник (с малыми углами отклонения), груз на пружине, торсионный маятник и акустические системы. Среди других аналогов гармонического осциллятора стоит выделить электрический гармонический осциллятор 

БИЛЕТ№15.

1)Кинетическая энергия, теорема о кинетической энергии.

2)Сложение колебаний.

3)Задача по теме динамика.

Ответы:

1) Это выражение показывает, что работа, совершенная силой (или равнодействующей всех сил), связана с изменением квадрата скорости (а не самой скорости).

Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела: 

Работа приложенной к телу равнодействующей силы равна изменению его кинетической энергии. 

Это утверждение называют теоремой о кинетической энергии. Теорема о кинетической энергии справедлива и в общем случае, когда тело движется под действием изменяющейся силы, направление которой не совпадает с направлением перемещения.

Кинетическая энергия – это энергия движения. Кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью  равна работе, которую должна совершить сила, приложенная к покоящемуся телу, чтобы сообщить ему эту скорость: 

Если тело движется со скоростью  то для его полной остановки необходимо совершить работу 

Кинети́ческая эне́ргия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения.

Единица измерения в системе СИ — Джоуль.

Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением. Теорема о кинетической энергии.

Теорема о кинетической энергии - правило для нахождения равнодействующей внешних сил:  Работа равнодействующей внешних сил, приложенных к телу, равна изменению его полной механической энергии.  Изменение кинетической энергии тела равно изменению его потенциальной энергии, взятой со знаком минус, и работе внешних сил. 

2)Неpедки случаи, когда система одновpеменно участвует в двух или нескольких независимых дpуг от дpуга колебаниях. В этих случаях обpазуется сложное колебательное движение, котоpое создается путем наложения (сложения) колебаний дpуг на дpуга. Очевидно, случаи сложения колебаний могут быть весьма pазнообpазны. Они зависят не только от числа складываемых колебаний, но и от паpаметpов колебаний, от их частот, фаз, амплитуд, напpавлений. Не пpедставляется возможным обозpеть все возможное pазнообpазие случаев сложения колебаний, поэтому огpаничимся pассмотpением лишь отдельных пpимеpов.         1. Сложение колебаний одного напpавления. Сложим два колебания одинаковой частоты, но pазличных фаз и амплитуд.                                                                                                                             (4.40)         Пpи наложении колебаний дpуг на дpуга          Введем новые паpаметpы А и согласно уpавнениям:                                                                                                                             (4.42) Система уpавнений (4.42) легко pешается. (4.43)                                                                                                                             (4.44)         Таким обpазом, для х окончательно получаем уpавнение                                                                                                                             (4.45)         Итак, в pезультате сложения однонапpавленных колебаний одинаковой частоты получаем гаpмоническое (синусоидальное) колебание, амплитуда и фаза котоpого опpеделяется фоpмулами (4.43) и (4.44).          Рассмотpим частные случаи, пpи котоpых соотношения между фазами двух складываемых колебаний pазличны:                                                                                                                             (4.46)         Сложим тепеpь однонапpавленные колебания одинаковой амплитуды, одинаковых фаз, но pазной частоты.                                                                                                                             (4.47)         Рассмотpим случай, когда частоты близки дpуг к дpугу, т. е.w1~w2=w Тогда пpиближенно будем считать, что (w1+w2)/2= w, а (w2-w1)/2 величина малая. Уpавнение pезультиpующего колебания будет иметь вид:                                                                                                                             (4.48) Его гpафик изобpажен на    pис. 4.5 Такое колебание называется биением. Оно осуществляется с частотой w но его амплитуда совеpшает     колебание с большим пеpиодом.         2. Сложение двух взаимно пеpпендикуляpных колебаний. Допустим, что одно колебание осуществляется вдоль оси х, дpугое - вдоль оси y. Результиpующее движение, очевидно, pасполагается в плоскости xy.         1. Допустим, что частоты колебаний и фазы одинаковы, а амплитуды pазличны.                                                                                                                         (4.49) Чтобы найти тpаектоpию pезультиpующего движения, нужно из уpавнений (4.49) исключить вpемя. Для этого достаточно поделить почленно одно уpавнение на другое, в pезультате чего получим                                                                                                                          (4.50) Уpавнение (4.50) показывает, что в данном случае сложение колебаний пpиводит к колебанию по пpямой линии , тангенс угла наклона котоpой опpеделяется отношением амплитуд.         2. Пусть фазы складываемых колебаний отличаются дpуг от дpуга на /2 и уpавнения имеют вид:                                                                                                                         (4.51) Чтобы найти тpаектоpию pезультиpующего движения, исключив вpемя, нужно уpавнения (4.51) возвести в квадpат, пpедваpительно поделив их на А1 и А2 соответственно, а затем сложить. Уpавнение тpаектоpии пpимет вид :                                                                                                                         (4.52)         Это - уpавнение эллипса. Можно доказать, что и пpи любых начальных фазах и любых амплитудах двух складываемых взаимно пеpпендикуляpных колебаний одинаковой частоты pезультиpующее колебание будет осуществляться по эллипсу. Его оpиентация будет зависеть от фаз и амплитуд складываемых колебаний.         Если же складываемые колебания имеют pазличные частоты, то тpаектоpии pезультиpующих движений получаются весьма pазнообpазными. Только в случае если частоты колебаний по х и по y кpатны дpуг дpугу, получаются замкнутые тpаектоpии. Такие движения можно отнести к числу пеpиодических. В этом случае тpаектоpии движений называются фигуpами Лиссажу. Рассмотpим одну из фигуp Лиссажу, котоpая получается пpи сложении колебаний с отношениями частот 1:2, с одинаковыми амплитудами и фазами в начале движения.                                                                                                                         (4.53) Вдоль оси y колебания пpоисходят в два pаза чаще, чем вдоль оси х. Сложение таких колебаний пpиведет к траектоpии движения в виде восьмеpки (pис.4.7).

Билетет№16.

1)Импульс. Закон сохранение импульса.

2) Уравнение гармонических колебаний на примере пружинного маятника.

3)Задача по теме кинематика.

Ответы:

1) И́мпульс (Количество движения) — векторная физическая величина, характеризующая меру механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этой точки на её скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

.

Импульс. Закон сохранения импульса.

При решении динамических задач необходимо знать какие силы действуют на тело, закон, позволяющий рассчитать конкретную силу. Цель: получить решение задачи механики исходя из начальных условий, не зная конкретного вида взаимодействия.

Законы Ньютона в полученной ранее форме не позволяют решать задачи на движение тела с переменной массой и при скоростях, сравнимых со скоростью света. Цель: получить записи законов Ньютона в форме, справедливой для этих условий.

Импульс силы    Векторная физическая величина, являющаяся мерой действия силы за некоторый промежуток времени. - импульс силы за малый промежуток времени t.

Вектор импульса силы сонаправлен с вектором силы.

Импульс тела. (Количество движения)      Векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения и равная произведению массы тела на его скорость.

Вектор импульса тела сонаправлен с вектором скорости тела.

Основное уравнение динамики

Из второго закона Ньютона: 

Тогда получим: -

 

второй закон Ньютона в импульсной  форме

( Dt = t - t0 = t  при t0 = 0).

Импульс силы равен изменению импульса тела.  Вектора импульса силы и изменения импульса тела сонаправлены.

Неупругий удар (шарик "прилипает" к стенке):

Абсолютно упругий удар (шарик отскакивает с прежней по величине скоростью):

Геометрическая (векторная) сумма импульсов взаимодействующих тел, составляющих замкнутую систему, остается неизменной.

Замкнутой называется система тел, взаимодействующих только друг с другом и не взаимодействующих с другими телами. Можно пользоваться и для незамкнутых систем, если сумма внешних сил, действующих на тела системы, равна нулю, или процесс происходит очень быстро, когда внешними воздействиями можно пренебречь (взрыв, атомные процессы).

В общем виде: т.к. система замкнутая, то , следовательно 

Примеры применения закона сохранения импульса:

1. Любые столкновения тел (биллиардных шаров, автомобилей, элементарных частиц и т.д.);

2. Движение воздушного шарика при выходе из него воздуха;

3. Разрывы тел, выстрелы и т.д.

2) Уравнение гармонических колебаний маятника

Гармонические Колебания

Механическое гармоническое колебание - это прямолинейное неравномерное движение, при котором координаты колеблющегося тела (материальной точки) изменяются по закону косинуса или синуса в зависимости от времени.

Согласно этому определению, закон изменения координаты в зависимости от времени имеет вид:

где wt - величина под знаком косинуса или синуса; w- коэффициент, физический смысл которого раскроем ниже; А - амплитуда механических гармонических колебаний.

Уравнения (4.1) являются основными кинематическими уравнениями механических гармонических колебаний.

Уравнение гармонических колебаний на примере пружинного маятника.

если мы НЕ знаем заранее что оно гармоническое: F = x*k a= -F/m = -x*k/m x''+x*k/m=0 x(t) = с1*sin(sqrt(k/m)*t)+c2*cos(sqrt(k/m)*t) с учетом x''(0)=0 получаем с2=0 и видим что уравнение движения гармоническое с известной частотой и неизвестной без дополнительных данных амплитудой. если мы знаем заране, что движение гармоническое: x(t) = A*sin(w*t) v(t) = x'(t) = A*w*cos(w*t) a(t) = v'(t) = -A*w^2*sin(w*t) = -w^2*x(t) но мы знаем что для пружины a=-x*k/m, значит -w^2=-k/m, w=sqrt(k/m)

БИЛЕТ№17.

1)Столкновение частиц.

2)Параметрические колебания. Автоколебания. Понятие о нелинейных колебаниях

3)Задача по теме кинематика вращательного движения.

Ответы:

1) В результате абсолютно неупругого столкновения обе частицы "слипаются" и далее движутся как единое целое. Пусть две частицы, массы которых и  имеют в K-системе до столкновения скорости и . После столкновения образуется частица с массой , что прямо следует из аддитивности массы в ньютоновой механике. Скорость образовавшейся частицы можно найти сразу из закона сохранения импульса:

     

.

     Ясно, что скорость  равна скорости центра масс системы.

     В С-системе этот процесс выглядит наиболее просто: до столкновения обе частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми значениями импульсов , а после столкновения образовавшаяся частица оказывается неподвижной. При этом суммарная кинетическая энергия  частиц целиком переходит во внутреннюю энергию  образовавшейся частицы, то есть . Отсюда с учетом формулы(4.16) найдем

     

     Таким образом, величина  для данной пары частиц зависит только от их относительной скорости.

     В результате абсолютно упругого столкновения внутренняя энергия частиц не меняется, а поэтому не меняется и кинетическая энергия системы. Рассмотрим два частных случая: центральное и нецентральное упругие столкновения.

     1. При центральном столкновении обе частицы до и после столкновения движутся по одной и той же прямой, так как у обеих частиц скорости направлены вдоль прямой, соединяющей их центры масс. Пусть до столкновения скорости частиц в K-системе отсчета равны и  (частицы движутся или навстречу друг другу, или одна частица догоняет другую). Определим скорости этих частиц после столкновения.

     Рассмотрим этот процесс сначала в С-системе, где до и после

     столкновения обе частицы имеют одинаковые по модулю и противоположные по направлению импульсы (рис. 4.6). Более того, так как

     суммарная кинетическая энергия частиц до и после столкновения одинакова, также как и их приведенная масса, то, согласно (4.16), импульс каждой частицы в результате столкновения изменит только направление на противоположное, не меняясь при этом по модулю, т. e . Аналогично, и скорости каждой частицы в С-системе будут противоположны:

     

     Теперь найдем скорость каждой частицы после столкновения в К-системе отсчета. Для этого используем формулы преобразования скоростей при переходе между системами, а также предыдущее равенство. Тогда

     

     где  - скорость центра масс (т.е. С-системы) в K-системе отсчета; эта скорость определяется формулой (4.9). Итак, скорость частицы в K-системе после столкновения есть

     

(4.18)

     где . В проекциях на произвольную ось х это равенство имеет вид

     

(4.19)

     В частности, если массы частиц одинаковы, то легко убедиться, что частицы в результате столкновения просто обмениваются скоростями, т. е.

     

     2. Нецентральное столкновение возникает, когда при столкновении скорость хотя бы одной из частиц не лежит на прямой, соединяющей их центры масс. Ограничимся случаем, когда одна из частиц покоится до столкновения. Пусть в K-системе отсчета частица массы  с импульсом p испытала упругое нецентральное столкновение с покоившейся частицей массы . Определим возможные импульсы этих частиц после столкновения.

     Рассмотрим этот процесс также сначала в С-системе. Здесь, как и в предыдущем случае, обе частицы в любой момент времени до и после столкновения имеют одинаковые по модулю и противоположные по направлению импульсы. Кроме того, импульс каждой частицы изменится по модулю в результате столкновения, т. е.

     

     Однако направление разлета частиц теперь будет иным. Оно будет составлять с первоначальным направлением движения некоторый угол  (рис. 4.7), зависящий от закона взаимодействия частиц и их взаимногорасположения в процессе столкновения.

     Теперь найдем импульс каждой частицы в K-системе отсчета после столкновения. С помощью формул преобразования скоростей при переходе от С к K-системе получим:

     

(4.20)

     где  -скорость -системы относительно K-системы отсчета. Сложив отдельно левые и правые части этих равенств с учетом того, что  получим

2) Параметрические колебания.

В повседневной жизни мы сталкиваемся с незатухающими колебаниями, для поддержания которых требуется периодически менять какой-либо параметр колебательной системы. Одним из ярких примеров являются колебания качелей. Хорошо известно, что можно поддерживать колебания длительное время, если быстро приседать в момент наибольшего отклонения качелей и также быстро вставать при прохождении положения равновесия. Благодаря этому параметр физического маятника (качелей) - расстояние  между осью вращения и центром масс - меняется скачкообразно на величину .Величина  должна быть такой, чтобы обеспечить баланс энергии системы: потери энергии маятника за период должны компенсироваться за счет совершения работы, осуществляемой при приседании и вставании.

АВТОКОЛЕБАНИЯ - незатухающие колебания в дис-сипативной нелинейной системе, поддерживаемые за счёт энергии внеш. источника, параметры к-рых (амплитуда, частота, спектр колебаний) определяются свойствами самой системы и не зависят от конечного изменения нач. условий

Если в процессе колебаний параметры системы остаются постоянными, а силы, действующие на колеблющиеся тела, выражаются линейными функциями от этих параметров, то колебательные системы и сами колебания называются линейными.

Отличие линейных колебательных систем от нелинейных проявляется в характере вынужденных колебаний: в линейных системах синусоидальная внешняя сила вызывает гармонические колебания, а в нелинейных системах эти колебания отличаются от гармонических тем сильнее, чем больше амплитуда вынужденных колебаний.

БИЛЕТ№18.

1)Упругое столкновение двух частиц. Лобовой удар.

2)Затухающие колебания.

3)Задача по теме….

Ответы:

1) Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел.

Во многих случаях столкновения атомов, молекул и элементарных частиц подчиняются законам абсолютно упругого удара.

При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса выполняется закон сохранения механической энергии.

Простым примером абсолютно упругого столкновения может быть центральный удар двух бильярдных шаров, один из которых до столкновения находился в состоянии покоя (рис. 1.21.2).

Центральным ударом шаров называют соударение, при котором скорости шаров до и после удара направлены по линии центров. Рисунок 1.21.2.

Абсолютно упругий центральный удар шаров

В общем случае массы m1 и m2 соударяющихся шаров могут быть неодинаковыми. По закону сохранения механической энергии 

Здесь υ1 – скорость первого шара до столкновения, скорость второго шара υ2 = 0, u1 и u2 – скорости шаров после столкновения. Закон сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, записывается в виде: 

m1υ1 = m1u1 + m2u2.

Мы получили систему из двух уравнений. Эту систему можно решить и найти неизвестные скорости u1 и u2 шаров после столкновения: 

В частном случае, когда оба шара имеют одинаковые массы (m1 = m2), первый шар после соударения останавливается (u1 = 0), а второй движется со скоростью u2 = υ1, т. е. шары обмениваются скоростями (и, следовательно, импульсами).

Если бы до соударения второй шар также имел ненулевую скорость (υ2 ≠ 0), то эту задачу можно было бы легко свести к предыдущей с помощью перехода в новую систему отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно со скоростью υ2относительно «неподвижной» системы. В этой системе второй шар до соударения покоится, а первый по закону сложения скоростей имеет скорость υ1' = υ1 – υ2. Определив по приведенным выше формулам скорости u1 и u2 шаров после соударения в новой системе, нужно сделать обратный переход к «неподвижной» системе.

Таким образом, пользуясь законами сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновения, если известны их скорости до столкновения.

2) Все реальные колебательные системы являются диссипативными. Энергия механических колебаний такой системы постепенно расходуется на работу против сил трения, поэтому свободные колебания всегда затухают - их амплитуда постепенно уменьшается. Во многих случаях, когда отсутствует сухое трение, в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях движения силы, вызывающие затухание механических колебаниях, пропорциональны скорости. Эти силы, независимо от их происхождения, называют силами сопротивления. (7.17)

где r - коэффициент сопротивления, v - скорость движения. Запишем второй закон Ньютона для затухающих колебаний тела вдоль оси ОХ 

или(7.18)

Перепишем это уравнение в следующем виде:

и обозначим:

где  представляет ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления среды, т.е. при r = 0. Эту частоту называют собственной частотой колебания системы; β - коэффициент затухания. Тогда

(7.19) Будем искать решение уравнения (7.19) в виде где U - некоторая функция от t.

Продифференцируем два раза это выражение по времени t и, подставив значения первой и второй производных в уравнение (7.19), получим 

Решение этого, уравнения существенным образом зависит от знака коэффициента, стоящего при U. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положительный. Введем обозначение  тогда С вещественным ω решением этого уравнения, как мы знаем, является функция 

Таким образом, в случае малого сопротивления среды  , решением уравнения (7.19) будет функция

(7.20)

График этой функции показан на рис. 7.8. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки. Величину  называют собственной циклической частотой колебаний диссипативной системы. Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, т.к, в них никогда не повторяются, например, максимальные значения смещения, скорости и ускорения. Величину  обычно называют периодом затухающих колебаний, правильнее - условным периодом затухающих колебаний,

Натуральный логарифм отношения амплитуд смещений, следующих друг за другом через промежуток времени, равный периоду Т, называют логарифмическим декрементом затухания.

Обозначим через τ промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Тогда

откуда

Следовательно, коэффициент затухания есть физическая величина, обратная промежутку времени τ, в течение которого амплитуда убывает в е раз. Величина τ называется временем релаксации.

Пусть N - число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е раз, Тогда

Следовательно, логарифмический декремент затухания δ есть физическая величина, обратная числу колебаний N, по истечению которого амплитуда убывает в е раз

БИЛЕТ№19

1)Движение тел переменной массы. Уравнение Мещерского.

2)Вынужденные колебания. Примеры, уравнение. Резонанс.

3)Задача по теме кинематика вращательного движения.

Ответы:

1) Движение тела переменной массы

В некоторых случаях тел связано с изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.  Произведем вывод уравнения движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной т-dm, а скорость станет равной v+dv. Изменение импульса системы за промежуток времени dt    где u - скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда    здесь учтено, что dmdv - малое высшего порядка малости по сравнению с остальными слагаемыми. Если на систему действуют внешние силы, то dp=Fdt, поэтому    или  (1)  Второе слагаемое в правой части (1) называют реактивной силой Fp. Если u противоположен v по направлению, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится.  Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменной массы  (2)  которое впервые было выведено И. В. Мещерским (1859-1935).  Рассмотрим случай отсутвтия воздействия внешних сил на ракету. Положим в уравнении (1) F=0 и будем считать, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим    откуда    Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени стартовая масса m0, а ее скорость ракеты равна нулю, то С = uln(m0). Следовательно,    Это соотношение называется формулой Циолковского.  Выражения (2) и (3) верны для нерелятивистских движений, т. е. для случаев, когда скорости v и u малы по сравнению со скоростью света в вакууме.

2) Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными.

В этом случае внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω0.

Если свободные колебания происходят на частоте ω0, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы.

После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Δt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания τ свободных колебаний в колебательной системе.

В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса – вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ω0. Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω внешней вынуждающей силы.

Рассмотрим в качестве примера вынужденные колебания тела на пружине (рис. 2.5.1). Внешняя сила  приложена к свободному концу пружины. Она заставляет свободный (левый на рис. 2.5.1) конец пружины перемещаться по закону 

y = ym cos ωt.

где ym – амплитуда колебаний, ω – круговая частота.

Такой закон перемещения можно обеспечить с помощью шатунного механизма, преобразующего движение по окружности в поступательно-возвратное движение (рис. 2.5.1).

Вынужденные колебания груза на пружине. Свободный конец пружины перемещается по закону y = ym cos ωt. l – длина недеформированной пружины, k – жесткость пружины

Если левый конец пружины смещен на расстояние y, а правый – на расстояние x от их первоначального положения, когда пружина была недеформирована, то удлинение пружины Δl равно: 

Δl = x – y = x – ym cos ωt.

Второй закон Ньютона для тела массой m принимает вид : 

ma = –k(x – y) = –kx + kym cos ωt.

В этом уравнении сила, действующая на тело, представлена в виде двух слагаемых. Первое слагаемое в правой части – это упругая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия (x = 0). Второе слагаемое – внешнее периодическое воздействие на тело. Это слагаемое и называют вынуждающей силой.

Уравнению, выражающему второй закон Ньютона для тела на пружине при наличии внешнего периодического воздействия, можно придать строгую математическую форму, если учесть связь между ускорением тела и его координатой:  Тогдауравнение вынужденных колебаний запишется в виде (**)

где  – собственная круговая частота свободных колебаний, ω – циклическая частота вынуждающей силы. В случае вынужденных колебаний груза на пружине (рис. 2.5.1) величина A определяется выражением: 

Уравнение (**) не учитывает действия сил трения. В отличие от уравнения свободных колебаний (*) (см. §2.2) уравнение вынужденных колебаний (**) содержит две частоты – частоту ω0 свободных колебаний и частоту ω вынуждающей силы.

Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят на частоте внешнего воздействия по закону x (t) = xmcos (ωt + θ).

Амплитуда вынужденных колебаний xm и начальная фаза θ зависят от соотношения частот ω0 и ω и от амплитуды <m>m>ymвнешней силы.

На очень низких частотах, когда ω << ω0, движение тела массой m, прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом x (t) = y (t), и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила  приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы при ω << ω0 стремится к нулю. Резонанс — резкое возрастание амплитуды результирующих колебаний при совпадении собственных колебаний системы.

Так как при резонансе внешняя сила совершает за период максимальную положительную работу над колебательной системой, то условие резонанса можно определить как условие максимальной передачи энергии колебательной системе. Чем меньше трение в системе, тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе. При отсутствии трения амплитуда возрастает со временем неограниченно.

БИЛЕТ№20

1)НИСО. Абсолютное, переносное, относительное движения.

2)Упругие деформации. Механическое напряжение. Модуль Юнга.

3)Задача по теме «Момент инерции».

1)Неинерциальные системы отсчёта.

Неинерциа́льная систе́ма отсчёта — произвольная система отсчёта, не являющаяся инерциальной. Всякая система отсчета, движущаяся с ускорением относительно инерциальной является неинерциальной.

При рассмотрении уравнений движения тела в неинерциальной системе отсчета необходимо учитывать дополнительные силы инерции. Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчёта. Для того, чтобы найти уравнение движения в неинерциальной системе отсчёта, нужно знать законы преобразования сил и ускорений при переходе от инерциальной системы к любой неинерциальной.

Классическая механика постулирует следующие два принципа:

время абсолютно, то есть промежутки времени между любыми двумя событиями одинаковы во всех произвольно движущихся системах отсчёта;

пространство абсолютно, то есть расстояние между двумя любыми материальными точками одинаково во всех произвольно движущихся системах отсчёта.

Эти два принципа позволяют записывать уравнение движения материальной точки относительно любой неинерциальной системы отсчёта, в которой не выполняется Первый закон Ньютона.

Основное уравнение динамики относительного движения материальной точки имеет вид:

,

где  — масса тела,  — ускорение тела относительно неинерциальной системы отсчёта,  — сумма всех внешних сил, действующих на тело,  — переносное ускорение тела,  — кориолисово ускорение тела.

Это уравнение может быть записано в привычной форме Второго закона Ньютона, если ввести фиктивные силы инерции:

 — переносная сила инерции

 — сила Кориолиса

2)Упругие деформации. Модуль Юнга. Коэффициент Пуассона. Закон Гука.

Упругая деформация представляет собой обратимую деформацию, т. е. исходные размеры восстанавливаются после снятия приложенных внешних напряжений. В этом заключается принципиальное отличие упругой деформации от пластической (см. гл. 2.3) и вязкого течения .

В большинстве материалов упругая деформация линейно зависит от приложенного напряжения, особенно при малых напряжениях. Рассматриваемые ниже исключения из этого правила объясняются особенностями структуры.

Обычно предполагают, что упругая деформация возникает мгновенно, в момент приложения внешнего напряжения. Практически это действительно так, поскольку время запаздывания упругой деформации обычно меньше возможностей измерительной аппаратуры. Однако существует ряд особых случаев, когда время запаздывания нельзя игнорировать. Причины более медленной реакции на приложенное напряжение будут рассмотрены ниже в разделе, посвященном неупругости.

В монокристаллах или в материалах с преимущественной ориентировкой упругая деформация анизотропна. Эта анизотропия будет рассмотрена ниже, но без строгого математического доказательства, которое потребовало бы применения тензорного анализа.

Упругое поведение твердых тел зависит от температуры, так как тепловое возбуждение влияет на межатомные связи и на перестройку атомов под действием направленных напряжений. В этом случае молекулярные и атомные твердые тела ведут себя совершенно различно.

Модуль Юнга.

Из трех модулей упругости первым будет рассмотрен модуль Юнга Е, связывающий деформацию ε и одноосное напряжение σ:

ε = σ/E.                                   (2.19)

Это уравнение, часто называемое законом Гука, указывает на линейное соотношение между напряжением и деформацией. Такое предположение представляется обоснованным при деформациях не более 1—2%, т. е. может быть распространено на все твердые тела, за исключением молекулярных, цепи которых могут распрямляться под действием на грузки.

Модуль упругости Е является мерой жесткости. Так как сила связана с напряжением, а изменение расстояния — с деформацией, то мо дуль упругости данного материала может быть найден по наклону кривой, выражающей зависимость действующей силы от расстояния. Наклон этой кривой представляет собой непрерывную функцию и существенно не изменяется при отклонении на 1—2% в ту или другую сторону от равновесного расстояния. Таким образом, величина модуля Юнга оказывается одинаковой при растягивающих и сжимающих напряжениях.

 Значения модуля упругости непосредственно связаны с энергией межатомных связей. Материалы, характеризуемые глубоким и узким минимумом у кривой изменения энергии, имеют большой модуль упругости, так как производная dF/da равна второй производной энергии по расстоянию. Качественно это соотношение вытекает из сравнения рис. 2.21, а и б, данные, приведенные втабл. 2.3, подтверждают его количественно.

Нелинейное соотношение между напряжением и деформацией имеет важное значение для каучуков, у которых из-за распрямления молекулярных цепей упругая деформация может превышать 100%. Приложенные небольшие напряжения вызывают в них значительные деформации (рис. 2.22), но по мере распрямления цепей молекул сопротивление дальнейшему деформированию возрастает, так как дальнейшая деформацияIя требует разрыва связей уже выпрямленных молекул, т. е. нарушения естественной конформации молекул.

Коэффициент Пуассона.

Деформация в одном направлении сопровождается изменением размеров. Согласно рис. 2.23, растягивающее напряжение σzвызывает деформацию по этой оси +εz и сжатие по боковым направлениям -εx и -εy. В случае изотропного материала εх и εy равны.

Отношение

ν = -εx/εz (2.20)

 называется коэффициентом Пуассона или коэффициентом поперечного сжатия. Это отношение равно 0,5 для идеального» материала, объем которого при упругом нагружении остается постоянным. Согласно приведенным в табл. 2.4значениям коэффициента Пуассона, на практике такие «идеальные» материалы если и существуют, то встречаются относительно редко.

Объемный модуль упругости.

Всестороннее сжатие  вызывает уменьшение объема ΔV/V, первоначально пропорциональное приложенному давлениюσгидр:

ΔV/V = βσгидр,(2.21а)откудаK = 1/β = σгидр/(ΔV/V).(2.21б)

Здесь β — сжимаемость, а К — объемный модуль упругости, или коэффициент всестороннего сжатия, равный отношению давления к возникающей деформации.

Модуль Юнга и объемный модуль упругости связаны между собой коэффициентом Пуассона. для вывода этого соотношения обратимся к рис. 2.23, б и рассмотрим ступенчатый процесс нагружения, при котором сначала прикладывается напряжение σz, а затем добавляются σx и σy с тем чтобы все три напряжения были равны напряжению σгидр от гидростатического давления. Сначала εz=σz/E. Затем после приложения σx и σy величина σz изменяется на –νεx и -νεy соответственно, в результате чего получаем:

εz = σz/Ε + (-νεx) + (-νεy) = σz/Ε – νσx/Ε –νσy/Ε

и

εz  = [σz – ν(σx +σy)]/Ε                        (2.22)

что представляет собой общую форму закона Гука. Так как при всестороннем сжатии  σгидр=σx=σy=σz, и ΔV/V≈εx+εy+εz=3εz, то ΔV/V=3σгидр(1/2ν)/Ε. Отсюда

Ε = 3Κ(1-2ν).                                     (2.23)

Это соотношение связывает модуль упругости (модуль Юнга)  Е с модулем поперечного всестороннего сжатия (коэффициентом Пуассона) ν и модулем всестороннего сжатия Κ.

Модуль сдвига.

Упругие деформации сдвига γ возникают под действием напряжения сдвига (касательного напряжения) τ. Отношение этого напряжения к деформации называется модулем сдвига:

G = τ/γ.

 Как видно из этого уравнения, модуль сдвига зависит только от свойств образца и не зависит ни от размеров его, ни от формы. Модуль сдвига является величиной размерной и измеряется в динах на сантиметр квадратный (в системе СИ - в Н/м2). Деформацию сдвига можно определить как тангенс угла сдвига α, согласно рис. 2.24:

γ = tg α = x/y.                             (2.25)

Аналогично другим модулям, модуль сдвига является постоянным при обычно встречающихся деформациях, если они меньше пластической деформации, т. е. если между деформацией и силой существует прямая пропорциональность [1].

Путем несложных выкладок можно было бы показать, что модуль сдвига связан с модулем Юнга посредством коэффициента Пуассона:

G = E/2(1+γ).                         (2.26а)

С учетом уравнений (2.23) и (2.26) получаем

Так как коэффициент Пуассона всегда меньше 0,5 и обычно составляет 0,3, то модуль сдвига, как правило, равен 35—40% модуля Юнга Е [1].

3)Задача по теме момент импульса.

БИЛЕТ№21

1) Произвольно движущаяся система отсчета. Теорема Кориолиса, Сила Кориолиса.

2)Волновое движение. Частота, Длина волны, поляризация, скорость.

3)Задача на определение положение центра масс.

Ответы:

1)

2) Волны - это изменение состояния среды (возмущения), распространяющиеся в этой среде и несущие с собой энергию и импульс без переноса вещества. Наиболее часто встречающиеся виды волн — упругие (звук) и электромагнитные (свет, радиоволны и другие).

Примером волнового движения может быть возмущение воды от падающих капель, которое распространяется в виде расширяющихся концентрических кругов.

Волновое уравнение: A = A0 cos(ωt + kx)

Волновое уравнение описывает распространение гармонических колебаний в пространстве. Характерными параметрами, описывающими гармоническую волну являются: A0 - амплитуда колебаний; ω - круговая частота (рад/с); период колебаний T (с), который связан с круговой частотой соотношением: T = 2π/ω; частота колебаний γ (Гц = 1/с) выражается через период: γ = 1/T; волновое число k = ω/v (где v- скорость распространения волны, измеряется в м/с); λ - длина (м) волны (λ = vT). Скорость распространения каждого вида волн зависит от свойств среды, в которой они распространяются. Если колебания совершаются поперек по отношению к направлению распространения волн, они называются поперечными, если вдоль - продольными.

Виды волн: поперечные, продольные, поверхностные.

Продольные волны могут возникать, как в твердых телах, так и в жидкостях и газах.

Поперечные волны могут возникать в твердых телах.

Частота и длина волны

Электромагнитная волна характеризуется одним главным параметром — числом гребней, которые за секунду проходят мимо наблюдателя (или поступают в детектор). Эту величину называют частотой излучения ν. Поскольку для всех электромагнитных волн скорость в вакууме (с) одинакова, по частоте легко определить длину волны λ:

λ = с/ν.

Мы просто делим путь, пройденный светом за секунду, на число колебаний за то же время и получаем длину одного колебания. Длина волны — очень важный параметр, поскольку она определяет пограничный масштаб: на расстояниях заметно больше длины волны излучение подчиняется законам геометрической оптики, его можно описывать как распространение лучей. На меньших расстояниях совершенно необходимо учитывать волновую природу света, его способность обтекать препятствия, невозможность точно локализовать положение луча и т. п.

Из этих соображений, в частности, следует, что невозможно получить изображение объектов, если их размер порядка или меньше длины волны излучения, на которой ведется наблюдение. Это, в частности, ставит предел возможностям микроскопов. В видимом свете невозможно рассмотреть объекты размером менее полмикрона; соответственно, увеличение больше чем 1-2 тысячи раз для оптического микроскопа лишено смысла.

ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВОЛН

- характеристика волн, определяющая пространственную направленность векторных волновых полей. Исторически это понятие было введено в оптике ещё во времена "довекторных описаний" и первоначально основывалось на свойствах поперечной анизотропии волновых пучков (см. Поляризация света). Оно распространено на все без исключения типы физ. волновых возмущений (см. Волны), но осн. терминология по-прежнему осталась связанной с эл.-магн. (в частности, оптическими) полями.

Различают продольно и поперечно поляризованные волны в зависимости от ориентации вектора поля относительно волнового вектора (k). В электродинамике примером продольных волн служат плоские однородные плазменные волны (см. Ленгмюровские волны); к поперечным волнам в первую очередь относятся плоские однородные эл.-магн. волны в вакууме или в однородных изотропных средах. Поскольку в последних электрич. ( Е) и магн. (Н) векторы перпендикулярны волновому вектору (k), то их часто наз. волнами типа ТЕМ илиТЕН (см. Волновод). Причём, если векторы поля ( Е, Н) лежат в фиксиров. плоскостях ( Е, k) и ( Н,k), т. е. имеют фиксиров. направления в пространстве, используется термин "волны линейной поляризации". Суперпозиция двух линейно поляризованных волн, распространяющихся в одном направлении (k) и имеющих одинаковую частоту но отличающихся направленностью векторных полей, даёт в общем случае волну эллиптической поляризации. В ней концы векторов E. и H описывают в плоскости, перпендикулярной k, эллиптич. траектории, ориентированные по правому или по левому винту в направлении k в зависимости от знака и величины разности фаз  между исходными линейно поляризованными составляющими. Соответственно, такая волна наз. право- или левополяризованной, что не совпадает с терминологией, принятой в оптике, где отсчёт направления вращения вектора поля ведётся в направлении (-k), т. е. в направлении на источник. В частном случае вырождения эллипсов в окружности волны становятся циркуляр-но поляризованными. Иногда именно волны с циркулярной (круговой) поляризацией выбирают в качестве нормальных мод среды. Линейно, эллиптически и цир-кулярно поляризованные волны являются полностью поляризованными волнами. Неполяризов. волны имеют в отличие от них некоррелированное во времени случайное направление векторов полей ( Е и Н) (в оптике - естественный свет). Когда в волновом поле наряду со случайной присутствует ещё и поляризов. составляющая, то говорят о частично поляризованных волнах, количественно характеризуемых степенью поляризации, равной отношению средней по времени интенсивности поляризованной части излучения к полному её значению (см. Когерентность).

Весьма сложными поляризац. свойствами обладают пространственно неоднородные волны, к-рые в принципе можно рассматривать как суперпозицию однородных плоских волн (см.Волновод). При этом характер поляризации векторов Е и Н часто оказывается различным. Так, если в бегущих вдоль оси x волнах типа ТМ поле Н. ориентировано в поперечной к kплоскости  а поле Е образует эллипс поляризации в плоскости ( Е, k), то в волнах типа ТЕ данное свойство видоизменяется Для чисто стоячих волн приходится всегда указывать, относительно какого направления ориентированы эллипсы поляризации.

В неоднородных средах, как правило, описать поляризацию волновых полей очень трудно. Обычно ограничиваются рассмотрением лишь случая кусочно-однородных сред, в частности задачи о падении плоской волны на резкую границу раздела двух однородных изотропных сред (см. Френеля формулы).

В анизотропных средах волны разной поляризации имеют разл. скорости распространения и разл. коэф. затухания. Поэтому при падении волны на границу раздела с анизотропной средой могут возникать сразу неск. преломлённых волн, распространяющихся под углами, отличными от устанавливаемых Снелля законами. Такие свойства анизотропных сред лежат в основе многих поляризационных приборов (разл. поляризаторов, деполяризаторов, поляризац. анализаторов, компенсаторов и т. п.)

БИЛЕТ №22

1)Диаграмма растяжений. Закон Гука.

2)Интерференция, Дифракция механических волн, с примерами.

3)Задача по теме кинематика поступательного движения.

ОТВЕТЫ:

1) Диаграмма растяжения. Определения предела текучести и предела прочности

На рисунке 1 приведена кривая зависимости напряжения от деформации.

Рисунок 1

Описание характерных точек диаграммы.

σп - Наибольшее напряжение, до которого материал следует закону Гука, называется пределом пропорциональности. Предел пропорциональности зависит от условно принятой степени приближения, с которой начальный участок диаграммы можно рассматривать как прямую.

Упругие свойства материала сохраняются до напряжения, называемого пределом упругости σу , т.е это наибольшее напряжение, до которого материал не получает остаточных деформаций.

σт - предел текучести.

Под пределом текучести понимается то напряжение, при котором происходит рост деформации без заметного увеличения нагрузки. В тех случаях, когда на диаграмме отсутствует явно выраженная площадка текучести, за предел текучести условно принимается величина напряжения, при котором остаточная деформация составляет 0,2%.

Отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения носит названиепредела прочности или временного сопротивления. Предел прочности также является условной величиной.

Единица измерения предела текучести и предела прочности - паскаль Па. Более удобно предел текучести и предел прочности измерять в мегапаскалях МПа.

Закон Гука раскрывает вязь между напряжением и деформацией упругой среды. Применяется исключительно в отношении малых напряжений и деформаций. В некоторых средах закон Гука не применяется вовсе. Если взять тонкий стержень, который будут растягивать, то закон можно записать в виде формулы:

F=-kΔх F – сила натяжения стержня; Δх  - удлинение стержня;

k -  коэффициент упругости (жесткость);

k определяется свойствами материала, который подвергается деформации, и размерами материального тела.

 

2) Явление интерференции возникает при наложении когерент­ных волн.

Когерентные волны - это волны, имеющие одинаковые частоты, постоянную раз­ность фаз, а колебания происходят в одной плоскости.

Результат суперпозиции волн зависит от того, в каких фазах накладываются друг на друга колебания.

Если волны от источников А и Б придут в точку С в одинаковых фазах, то произойдет усиление колебаний; если же — в про­тивоположных фазах, то наблюдается ослабление колебаний.

Постоянное во времени явление взаимного усиления и ослаб­ления колебаний в разных точках среды в результате наложения когерентных волн называется интерференцией. В результате в пространстве образуется устойчивая картина чередования об­ластей усиленных и ослабленных колебаний.

 Если разность хода волн равна целому числу волн (т. е. четному числу по­луволн), то в точке наложения этих волн образуется интерференционный максимум.

Если разность хода волн равна нечетному числу полуволн, то в точке наложения этих волн образуется интерференционный минимум.

   Если разность хода не определяется данными соотношениями, то наблюдается промежуточный результат: 0<А<2х.

Распределение энергии при интерференции.

Наличие минимума в точке С означает: энергия W сюда не поступает.

Наличие максимума в точке С означает: происходит увеличе­ние за счет перераспределения энергии в пространстве. Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, ТО при увели­чении амплитуды в 2 раза энергия увеличивается в 4 раза. Это означает, что в точку С поступает энергия в 4 раза боль­ше энергии одного вибратора при условии: энергии вибраторов равны.

Интерференция присуща волнам любой природы (механиче­ским, электромагнитным).

Стоячие волны

Если раскачивать один конец веревки с правильно подобран­ной частотой (другой ее конец закреплен), то к закрепленному концу побежит непрерывная волна, которая затем отразится с потерей полуволны. Интерференция падающей и отраженной волн приведет к возникновению стоячей волны, которая выгля­дит неподвижной.

Устойчивость стоячей волны удовлетворяет следующему условию:  где L—длина веревки; п=1, 2, 3 и т.д.; v—скорость распро­странения волны, которая зависит от натяжения веревки. Стоячие волны возбуждаются в любых телах, способных со­вершать колебания. Точки, где интерференция гасится, называются узлами, а точки, где интерференция усиливается,— пучностями. Помимо поперечных стоячих волн существуют еще и продольные стоячие волны.

Нередко волна встречает на своем пути небольшие (по сравнению с длиной волны) препятствия, которые она способна огибать. Когда размеры препятствий малы, волны, огибая края препятствий, смыкаются за ними. Так, морские волны свободно огибают выступающий из воды камень, если его размеры меньше длины волны или сравнимы с ней. За камнем волны распространяются так, как если бы его не было совсем. Точно так же волна от брошенного в пруд камня огибает торчащий из воды прутик. Только за препятствием большого по сравнению с длиной волны размера (большой камень на рисунке 8.52) образуется «тень»: волны за него не проникают.

Способностью огибать препятствия обладают и звуковые волны. Вы можете слышать сигнал машины за углом дома, когда самой машины не видно. В лесу деревья заслоняют ваших товарищей. Чтобы их не потерять или не потеряться самому, вы начинаете кричать. Звуковые волны в отличие от света свободно огибают стволы деревьев и доносят ваш голос до товарищей. Отклонение от прямолинейного распространения волн, или огибание волнами препятствий — называется дифракцией1. Дифракция присуща любому волновому процессу, так же как и интерференция. При дифракции происходит искривление волновых поверхностей у краев препятствий.

Дифракция волн проявляется особенно отчетливо в случаях, когда размеры препятствий меньше длины волны или сравнимы с ней.

Явление дифракции волн на поверхности воды можно наблюдать, если, например, поставить на пути волн экран с узкой щелью, размеры которой меньше длины волны (рис. 8.53). В этом опыте хорошо бывает видно, что за экраном распространяется Kpyroiuui волна, как если бы в отверстии экрана находилось колеблющееся тело — источник волн. Согласно принципу Гюйгенса так и должно быть. Вторичные источники в узкой щели располагаются столь близко друг к другу, что их можно рассматривать как один точечный источник. Если же размеры щели велики по сравнению с длиной    волны, то  картина распространения волн за экраном совершенно иная (рис. 8.54).  1 От латинского слова difractus — разломанны   Волна проходит сквозь щель, почти не меняя своей формы. По краям можно заметить искривления волновой поверхности, в результате чего волна частично проникает и в пространство за экраном.

Принцип Гюйгенса позволяет понять, почему происходит дифракция. Вторичные волны, испускаемые участками среды, проникают за края препятствия, расположенного на пути распространения волны.

БИЛЕТ №23.

1)Задача кинематики. Кинематические уравнение движения (рассмотреть все виды движения).

2) Волновые пакеты. Фазовая и волновая скорость.

3) Задача по теме динамика.

Ответы:

Основная задача кинематики — это получение зависимостей от времени скорости v = v(t) и координат (или радиуса-вектора) r = r(t)материальной точки из известной зависимости от времени ее ускорения a = a(t) и известных начальных усло­вий v0 и r0.  Существует и обратная задача: по известному закону движения r = r(t) находят скорость и ускоре­ние материальной точки. Решение обеих задач в общем виде возможно с помощью дифференциального и ин­тегрального исчисления. Для некоторых простых частных случаев движения задача может быть решена с применением методов элементарной математики. Для прос­тоты рассмотрим движение тел в плоскости XOY. А) Равномерное прямолинейное движение материальной точки; a = 0, v = const. Начальные условия: х0, у0. Б) Равноускоренное прямолиней­ное движение материальной точки: a = const. Начальные условия: х0, у0; v0x, v0y. В) Движение тела по дуге окруж­ности с постоянной по модулю скоростью было рассмотрено выше. Однако возможен другой подход. Формулу центростремительного ускорения можно получить, рассмат­ривая проекции на координатные оси ОХ и ОУ радиуса вектора r точки, движущейся по окружности с задан­ной угловой скоростью, и вектора скорости v этой точки. Г) Гармоническое колебательное движение. Важным случаем механи­ческого движения являются колеба­ния, при которых параметры движе­ния точки (координаты, скорость, ус­корение) повторяются через опреде­ленные промежутки времени. Опыт показывает, что если точка движется по окружности с постоянной по моду­лю скоростью, то проекции радиуса-вектора этой точки совершают коле­бания. Если зависимость координаты от времени выражается через функ­цию синус или косинус, то такие колебания называются гармоничес­кими Анализ выражения (4) пока­зывает, что проекции радиуса-векто­ра точки совершают гармонические колебания. При этом по гармони­ческому закону изменяются также проекции скорости и ускоре­ния.

При движении материальной точки М ее координаты  и радиус-вектор  изменяются с течением времени t.

Поэтому для задания закона движения м.т. необходимо указать либо вид функциональной зависимости всех трех ее координат от времени:

либо зависимость от времени радиус-вектора этой точки

Три скалярных уравнения (1.2) или эквивалентное им одно векторное уравнение (1.3) называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.

2) Волновые пакеты. Фазовая и волновая скорость.

ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ - волновое образование из колебаний произвольной природы, представляющее собой суперпозицию (наложение) плоских монохроматич. волн с близкими значениями частот  и волновых векторов (k). B случае одного пространственного измерения (х)и скалярного комплексного волнового поля В. п.  можно представить в виде интеграла Фурье:

где g (k)заметно отлично от нуля лишь для значений k, лежащих внутри интервала вблизи нек-рого k=k0. В отличие от плоской монохроматич. волны, существующей во всем пространстве, В. п. занимает конечную часть пространства, т. к. из (1) следует:

Разброс  по координатам ф-ции  (ширина пакета) скоррелирован с разбросом Dk ф-ции g(k)по волновым числам k:

Под разбросом (шириной) величины  понимается среднеквадратичное отклонение . Эволюция В. п. (1) предопределена, если известны g (k)и закон дисперсии волн-связь  и k:

Если эта связь линейна,  , где с=const (как в случае световых волн в пустоте), то

т. е. В. п. распространяется со скоростью с без изменения своей формы.

В общем случае произвольной связи  и k зависимость  от х и t имеет более сложный вид, и характер распространения В. п. может быть описан следующим усредненным (интегральным) соотношением:

описывающим равномерное движение центра тяжести В. п. с групповой скоростью , и равенством

характеризующим расширение со временем ("расплывание") В. п., где  - среднеквадратичный разброс величины 

В квантовой механике для волны, де Бройля частицы (где р, т - импульс и масса частицы), т. е. совпадает со ср. значением классич. скорости частицы, а , где  - среднеквадратичный разброс по импульсам в В. п. Соотношения (6), (7) и (4) сыграли важную роль в создании осн. квантовых представлений. Тот факт, что центр масс локализованного в пространстве В. п., составленного из волн де Бройля, перемещается со скоростью классич. частицы, явился иллюстрацией предельного перехода квантовомеханич. законов движения к законам движения классич. частицы по классич. траектории. Аналогично факт расплывания В. п. со временем способствовал принятию статистич. интерпретации квантовой механики (поскольку из него следовало, что квадрат модуля волновой функциинельзя рассматривать как плотность частицы). Учитывая, что в квантовой теории  , из (3) непосредственно получается неопределенностей соотношение для координаты и импульса:

Для движения частицы во внеш. поле в случае, когда спектр её энергии дискретен, также может быть рассмотрен В. п., представляющий собой суперпозицию состояний с разл. значениями энергии. Центр масс такого В. п. тоже движется по классяч. траектории, при этом для нек-рых потенциалов поля (типа потенциала поля осциллятора) существуют нерасплывающиеся В. п. (см. Когерентное состояние).

При использовании соотношений (6), (7) для распространения света в среде следует иметь в виду, что они получены в предположении вещественности  , т. е. в пренебрежении эффектами диссипации. Эти соотношения могут оказаться неправильными при их формальном использовании в случае В. п. с частотами, лежащими вблизи области т. н. аномальной дисперсии данной среды, где диссипац. эффектами пренебрегать нельзя. В этой области частот понятие групповой скорости теряет смысл, поскольку при движении В. п. будет происходить его сильное экспоненциальное затухание, как это следует из выражения (1).

БИЛЕТ №24.

1) Основные понятия кинематики (радиус-вектор, координата, траектория, путь, перемещение, скорость, ускорение).

2) Поперечные и продольные волны. Плоские, цилиндрические и сферические волны.