Принцип суперпозиции

№ п/п

ЗАДАЧИ ПП 26

4. Решение НЛДУ второго порядка методом вариации произвольных постоянных

Ответ

№ 11

Найдите решение НЛДУ: .

Решение: Найдем решение ОЛДУ: ,,,,.

Частные решения ОЛДУ: .

Найдем .

Отсюда .

№ 12

Найдите решение задачи Коши

,,.

Решение: 1) Находим общее решение однородного уравнения.

Характеристическое уравнение .

, - пара комплексно сопряженных корней кратности 1.

.

2) Общее решение неоднородного уравнения. ,

где и- неизвестные функции. Система дифференциальных уравнений для их определения имеет вид

Решая систему, получаем

,.

Интегрируя эти уравнения с разделяющимися переменными, имеем

,;

,.

.

3) Из начальных условий находим неизвестные постоянные: ,.

Решение задачи Коши принимает вид:

. .

Вид правой части

Корни характеристического уравнения

Вид частного решения

1. - многочлен степениn

а) число 0 не является корнем

б) число 0 является корнем кратности r

2.

а) число не является корнем

б) число является корнем кратностиr

3.

а) число не является корнем

б) число является корнем кратностиr

4.

а) число не является корнем

б) число является корнем кратностиr

+

5.

а) число не является корнем

б) число является корнем кратностиr

№ п/п

ЗАДАЧИ ПП 26

5. Решение НЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов

Ответ

№ 13

Найдите решение НЛДУ .

Решение: Характеристическое уравнение ,.

Общее решение однородного уравнения:

.

Правая часть уравнения имеет вид:

, где ,

корни характеристического уравнения не совпадают с .

Частное решение ищем в виде:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим:

,

.

Общее решение:

.

№ 14

Найдите решение НЛДУ .

Решение: 1) Характеристическое уравнение: ,.

Общее решение ОЛДУ:

.

2) имеет вид:

,

.

Частное решение НЛДУ ищем в виде:

, ,.

Подстановка этих значений в исходное уравнение дает

откуда .

.

3) Общее решение НЛДУ:

№ 15

Найдите общее решение дифференциального уравнения

.

Решение: 1) Находим общее решение однородного уравнения. ,

, ,- три действительных корня кратности 1.

Общее решение однородного уравнения вид

.

2) Находим частное решение неоднородного уравнения. В правой части уравнения имеется сумма двух слагаемых, частное решение ищем в виде, гдеи- частные решения уравнений

соответственно.

2.1) Находим частное решение первого уравнения.

, .

Подставляя это выражение в уравнение, находим ,;

2.2) Находим частное решение второго уравнения.

, .

Подставляя в уравнение, получаем

.

Приравнивая коэффициенты при и, получаем,.

Частное решение НЛДУ: .

3) Общее НЛДУ является суммой найденных решений: . .