Теоретическая механика, решение задач

где

H ′ = H ′(q′, p′, t) –

.

взаписанная

Гамильтонафункция

.

н вых канонических перемен ых2

2

помощью

построенобытьможетпреобразованиеКаноническое

производящей

∂F

(

ПФ

∂F

существуетВсего

функции

)

F.

:

четыре основных типа производящихi

функцийi

1. F

= F ( q , q ′, t ),

p

=

∂F1

,

p ′

= −

∂F1 ;

(11.3.1)

1

i

∂qi

i

∂qi′

2. F = F2 (q, p′, t),

pi

=

∂F

,

qi′

=

∂F

;

(11.3.2)

∂qi

∂pi′

′

pi = −

3

′

= −

3

;

(11.3.3)

3. F = F3 (q, p , t),

∂p

, pi

∂q

′

4. F = F4 (q, p′, t),

pi

= −

∂F4 ,

pi′ =

∂F4 .

(11.3.4)

Для[всехf , fтипо]

∂pi

∂pi′

в≡производящих−

функций имеем=

′

′

′

+

∂F

(11.4)

H (q , p , t) = H (q, p, t)

∂t q=q( q′, p′,t )

p= p( q′, p′,t )

При

хскичеканон

-

соПуассонаскобкиияхванобразопре

вид:

свой храняют

∂f1 ∂f 2

∂f1 ∂f 2

1

2

q, p

∑

∂qi ∂pi

i

∂pi ∂qi

(11.5)

∂f1 ∂f 2

∂f1

−

∂f 2

≡ [ f1 , f 2 ]q′, p′

= ∑

∂qi′ ∂pi′

i

∂pi′ ∂qi′

функцийкачествеввзятьЕсли

f1

и

f2

(11.1),

выражения

80

,

(11.5)

:

изтоКПзадающие

получим

′

′

′

′

]q, p

=

′

′

= δ ik .

(11.6)

[qi

, qk

0, [pi

, pk ]q, p =

0, [qi , pk ]q. p

ия Выраже

(11.6)

усло достаточное и необходимое задают

-

Удачно

(11.1).

остиканоничвие

образования .

-

существенно

пров

каноническиеденные

по

сле овательно ′уравнения Гамильтона′

чтопреобразованиясвою очередь′

зволяют

,

системы Гамильтона функцию упростить

,

,

,

,

д

.

решенияихспособаупрощениюкитприво

11.1.

i

,

i

i

Задачиi

,

:

) F1

смыслихустановитьиПФпорождаемыеКПНайти

=

∑qk qk ;

) F2

=

∑qk pk ;

в

) F2

= ∑ fk (q1 ,...qm ) pk

;

а

k

б

k

k

′

′

′

′

) F2 (r,ϕ , p1

, p2 ) = p1r cos

ϕ + p2 r sin ϕ .

г

:

)

′

, p

′

= −q (

,

p = q

етОтв

′координаты ′

преобразование

меняющее

местами′

импульсы

тожде

ственное

преобразование

);

) pi′ = pi , qi′ = qi

(

-

гнат

);

)

qi′ = fi (q1 ,Kqm , t),

∂fk

pi′

координыхенобобщпреобразованияточечные

pi

= ∑

(

-

∂q

i

);

) qk

= r cos ϕ , q2 = r sin ϕ , p1

= pr cosϕ −

pϕ

sin ϕ ,

r

81

′

= pr

sin ϕ +

pϕ

cosϕ

(

-

p2

r

к

переход

координаполярным

там

).

11.2.

ГамильтонафункциюновуюиПКНайти

H ′ ,

если

видимеетПФ

:

F2 (r , p , t) = rp

′

′

+ mru, u = const .

− up t

R

R

R

R

: r =

′ + ut, p =

p′ + mu

(

),

Ответ

r

илеяГалпреобразования

H ′ =

H

− up .

RR

11.3.

,

КПНайти

ПФаваемоеадз

R R ′

′

1

′2

R R

′

=

m

R R′

2

;

RR

−

p

t,

а

) F1 (r , r , t)

2t

(r

− r )

) F2 (r , p , t)

= rp

2m

б

.

частицысвободнойдляГамильтонациюнкфуновуюи

R

R

′

+

t

R ′

R

R ′

′

= 0 ;

Ответ

: ) r

= r

m

p , p

= p ; H

а

R

R

′

+

t

R

′

R

R

′

′

= 0 .

) r

= r

m

p , p = p ; H

11.4.

.

тяжестисилыполемнооднородвдвижетсяЧастица

ГамильтонафункциюновуюНайти

H ′

,

КПи

ПФзадаваемое

′

+ mgrt .

2 (r , p , t) = rp

б

:

R

R′

R

R

′

R

′

=

1

R

′

R

2

.

Ответ

2m

82

11.5.

-

гармодляКПиальтонГамифункциюуюовнНайти

аосцилляторнического

,

:

видимеетПФиесл

′

1

(ip

′2

− imω x

2

′

а

) F2 ( x, p ) =

2

+ 2 2mω xp ) ;

′

= −

1

2

tg x

′

;

) F1 (x.x )

mω x

2

′

1

2

′

+ ω t) .

) F1 ( x, x , t) = − mω x tg( x

2

тьиВычисл

x′(t), p′(t), x(t), p(t) .

Ответы

:

б

x =

x′ − ip′

, p = −i

mω

′

′

′

′ ′

а

)

2mω

2

( x

+ ip ), H

= −iωp x

;

в

2 p′

′

′

′

′

x =

= −

2mω p

′

H

= ω p

)

mω cos x , p

sin x ,

;

б

2 p′

′

′

) x =

= −

2mω p

′

mω

cos(ωt + x ), p

sin(ωt + x ),

H

′

= 0

11.6.

полеитномагнмвтсядвижеЗаряд

-

повекторнымс

R

,

R

тенциалом

A(r ) = B(− y,0,0) .

′

′

ПФзадаваемоеКПИспользуя

R

R

′

RR

′

eB

в

−

p1 p2

, ω

B =

,

-

F2 (r ,

p ) = rp