Теоретическая механика, решение задач

14.

отсчетасистемахнеинерциальныхвДвижение

-

отсчесистемутакуюиматьнпобудемерциальнойнеинПод

,

R

-

w(t)

ательноуппостдвижетсякотораята

ускорением

враи

скоростью угловой с щается

R

наперед любой относительно

Ω(t)

инерциальнойзаданной

системы

.

Функция

гранжаЛ

отсчета

частицысвободной

в

а

имеет

отсчетсистеменеинерциальной

:

L = mv

2

− mvr + mv

[Ω × r ]

+ m [Ω × r ]

− U

(14.1)

R

R

2

RR

R

R

R

2

2

d ∂L

−

∂L

= 0

-

УравненияN

Лагранжа

R

R

приводят

dt ∂v

∂r

следуюк

движенияуравнениющему

:

вид

R

∂U

R

R

R

R

&&

= −

+ FD + FN + FK + FK ,

(14.2)

mr

R

∂r

R

R

где

FD = −mw –

;

R

Даламбераинерциисила

F

R

&

,

= m[r × Ω] –

неравномерностьюобусловленнаясила

;

отсчетасистемывращения

;

FK

=

2m[v × Ω]

–

R

R

R

лиса Кори сила

ила

FC

m[Ω × [r × Ω]] –

центробежная

.

,

с

-

втицычаимпульсобобщенныйотсчетачтосистемеОтметимальной

неинерци

100

R

∂L

R

R

]

p =

R

R = mv + m[Ω × r

(14.5)

∂v

некостиравен,

импульсукинематическому

mv .

.

,

14.1.

Задачи

-

движениязаконОпределить

гармоническо

частотой плоского колебания совершающего ятора цилл ос го

плос в

-

,

ω

оси перпендикулярной относительно я аетс вращ рая кото

равновесияположениечерезпроходящей

.

Враще

-

равномерным считать ние

происходящим

ско угловой малой осциллятора

-

ростью

Ω << ω .

,

:

Потенциальная

энергия

осциллятора

Решение

U =

mω 2

2

+ y

2

) .

-

2

равенстопределяетсясилаКвазиупругая

∂U

mω

R = −

2

R

F = −

2

(x, y,0) .

вом

∂r

вращения скорость Угловая

R

Ωz ) .

Ω = (0,0,

-

отсчетаистемы

скороугловоймалостисилуВ

с

F

,

Ω2

,

ти

силой центробежной

c

пропорциональной

можно

F

ω

2

.

поебречьпре

с

силой

силуВ

толькоТдвиженияостаетсяинерцииследовательносилпоступательноговсехквазиупругойшаетизсовервращениясравнениюСледовательноотсчетаомерностиравсистема

н

R

FN = 0 . . .

&

,

Ω =0 ,

,

R

= 0 .

FD

,

101

R

Кориолисасила

FK .

,

(14.2)

уравнениеобразомТаким

запишется

:

виде в

x + ω

2

x

= 2Wz

y

&&

&

,

(14.4)

y

= -2Wz x

y + ω

2

&&

&

=Умa e

жив,

науравнениевторое

i

и:

первымссложив

,

-

A

полу

одно

ξ +

2iWzξ

+

ω ξ

=

0 ,

ξ = x

+ iy .

уравнение

&&

&

2

где

При

Wz

<<

ω

:

видимеетуравненияэтого

ξ = A ei

(ω −Ωz )t

+

A e−i (ω

+Ωz )t .

1

2

A = a eiα1 ,

Представив

комплексные

амплитуды

в

виде

1

1

2

2

iα2

движениязаконполучаем

чим

cos(ω 2t

+ α2 ) ,

x

= a1 cos(ω1 t

+ α1 )

+ a2

решениеy = a1 sin(ω1 t + α1 ) - a2 sin(ω 2t + α2 ) ,

где

ω1 = ω - Wz ,ω2 = ω + Wz .

,

траекториячтоВидим

угловойсосиугвок

Wz .

ваетсявращениичиповоравыводжеттоЭ

траектории

вокруг

скоростьюосиr ϕ =угловойr W .

скоро

ϕью= Ω

,

изисходясделатьможно

-

Wz

)

-

ний

(14.4)

непосредственно.

,

–

.

науравнеуравнениепервоеУмножим

второе

получаетсяТогдавычтемихна

d

( yx - xy)

= -

d

( x

2

+ y

2

)Wz .

dt

&

&

dt

&переходяиОтсюдаИнтегрируя

,

вранаходимскоростьугловуюкоординатамдаетичтополярнымк

2

&

2

z

z

102

.

-

наложенный

рии

системаРассмотренная

распо

издном

еФукомоделируетмаятникЗемли

маят

дейстподЗемлитяжестиполеполюсовколебанияющийтраектсовершкщения

-

о

, .

.

,

-

вием

.

инерциисил

,

14.2.

:

малой Земли вращения скорость вую о угл Считая

)

,

-

найти

отклонени0 z е

вертикалиоттелападающегободноосв

обу

б

теладляплоскостиот

поверхсброшенного

ием н враще

;

словленное

Земли

,

-

)

R

скоростью ачальной н с и Земл ности

v0 .

1

Ответ

:

а

)

y = - 13 (2gh )2

gW cos

λ ( λ –

,

).

длякоторуюширота

определенности предполагаем–

северной,

Отрицательные значе,

-

;

ния у соответствуют отклонению на восток .

) y =

4v 2

1

б

g

3

15.

¶Механикаt

сплошных¶x

сред

средаСплошная

рас

жидкостиэто

телаупругиеигазы

таучбезсматриваемые

структурыатомнойх

:

Общее

уравнение

и

видимеетсредсплошныхжениядв

ρ

¶v

R

¶pij

+ ρfi

R

ρ –

;

v –

движенияскорость

средысплошнойплотность

;

pij

–

;

fi –

-

средысплошнойментовгдеэл

напряженийтензор

объ

,

.

массыединицунадействующаясилаемная

приводитимпульсамоментаизменениязаконаВыполнение

напряжений тензора симметричности требованию к

:

pij

= p ji .

Закон сохранения массы приводит(15.1)

-

непрерывуравнениюк

:

ности

¶ρ

R

(15.2)

¶t

+ divρ v = 0 .

есжимаемансредааясплошЕсли

(ρ = const),

изто

(15.2)

несжимаемости

div v = 0 .

R

условиеследует

тензортьазн

уравнение решить Чтобы

напряжений

pij .

мо оди газов необх жидкостей вязких Для

pij

R

¶v

+

¶v j

= - pδ ij + (ξ - 32 η )δ ij div v +η

¶x

i

¶x

,

(15.4)

j

i

–

, η –

, ξ – -

ргде

сдвиговойкоэффициент

вязкости

ко

эффицие

остивязобъемнойт

Подставляя

полу-

Навье давление урав чим

-Стокса:

.

(15.3) (15.1)

-

¶v

R R

R

R

R

+ (vÑ)v = ρ f - Ñp +η Dv + (ξ + 13 η)Ñdivv .

ρ

R

R

R

R

¶t

общегополучитьИзможно

(15.4)

(15.1)

деформисредыупругогошнойдлясплодвиженияуравнения

104

.

,

-

телатвердогоруемого

Последнее¶t

¶t

тем

дачто

внешснятииприктеризуетсяхараравновесияположенияизсмещаютсямало

же приu –

довольно

больших.

внешних

частицыего

него: воздействия опять возвращаютсявоздействияхисходное положение

,

-

Поэтому

.

¶v

¶

2u

¶pij

u

R

R

¶

2

R

R

R

+

(vÑ)v »

2 ,

(15.5)

где

смещенийвектор

вид

имеюттелауемогомирдефоргооупругдвиженияУравнения

ρ

0

¶t 2

i

=

¶x j

+ ρ

0

f

i

,

(15.6)

где

ρ0 –

телагоннонедеформироваплотность

.

можно тела твердого деформируемого деформации Малые

:

деформаций тензором симметричным характеризовать

1

¶u

i

¶u j

uij =

+

(15.7)

2

¶x j

¶xi

Связь

выражадеформацийтензоромснапряжений

-

Гук тензора законом ется

:

pij

= λijkl ukl ,

(15.8)

λijkl –

,

-

обла постоянная постоянных упругая упругих симметрии независимая ранга свойствами еется и четвертого тензор случае следующ общем В дающий где

им