ЧАСТЬ 4. СИМВОЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В MATHCAD

Введение. Сведения о символьных преобразованиях в Mathcad

Mathcad содержит замечательные средства работы не только с числами, но и с формулами (т. е. может оказать помощь в упрощении сложных выражений, приведении подобных слагаемых, нахождении пределов, интегрировании, дифференцировании, решении уравнений в виде формулы зависимости от коэффициентов и во многих других вопросах…). Символьная математика, встроенная в Mathcad, заимствована из известного пакета программ для символьных вычислений Maple.

§14. Осваиваем операции символьной математики

Операции символьной математики проводятся из Меню Symbolics. Освоим ряд его позиций.

14.1. Опция Evaluate – Symbolically

Опция Evaluate – Symbolically позволяет сделать с формулой то, что Вы сами обычно бы сделали для ее приведения к красивой форме. Обратите внимание: понятие «красивая формула» – совершенно неформальное. Но, поскольку символьную математику разрабатывали профессиональные научные работники, в понятие «красота формулы» они вложили свои, привычные представления. Например: все подобные слагаемые должны быть приведены; формула должна быть как можно короче; если есть слагаемые с дробными коэффициентами, не представимыми точно десятичной дробью, то ответ нужно представить с коэффициентами в форме дробей и т. п. Поэтому чаще всего (но не всегда!) результат использования опции Evaluate – Symbolically будет таким же, как Вы сами бы его получили (если бы умели считать быстро и без ошибок).

Рассмотрим пример. Введите выражение:

охватите его синим контуром (как объект выделения в Mathcad), выбери-

те опцию Evaluate – Symbolically из меню Simbolics (или, БЫСТРЕЕ,

нажмите <Shift>+<F9>). Получится:

Теперь представьте себе, что Вы выполняете эти действия вручную, а формула – в 10 раз длиннее!

126

Эту же операцию можно сделать в форме «живой символьной алгебры» (live symbolics) – чтобы ответ изменялся при изменении исходных данных. Научимся этому. Снова наберите (скопируйте) выражение

охватите его синим контуром так, чтобы вертикаль расположилась справа, т. е. так:

после этого введите символьный знак равенства (он имеет форму стрелки) нажатием клавиш <Ctrl>+<Shift>+<точка> (на английской клавиатуре). Получится:

Примечание: клавиша точка в американском варианте называется period.

Сотрите слот (можно и не стирать) и нажмите Enter или щелкните левой кнопкой мыши где-нибудь вне формулы. Получится:

4 x + 15 y2 + 74 x + 19 x + 99 x2 − 191 x → 3128133 x + 15 y2 + 99 x2

Теперь посмотрите, какие замечательные возможности представляет Вам режим live symbolics! Допишите еще несколько слагаемых вначале или внутри формулы. Символический результат будет отслеживать эти изменения и вносить их в результат автоматически, без Вашего участия! Например, внесите в формулу 16 x слева (но НЕ набирайте формулу заново, иначе live symbolics не сработает). Для внесения добавлений слева нужно после охвата формулы синим контуром нажать клавишу Insert. Угол контура переместится влево, давая нам возможность вносить изменения.

16 x + 4 x + 15 y2 + 47 x + 19 x + 99 x2 − 191 x→

Вы увидите, что результат автоматически учтет новые данные:

16x + 4 x + 15 y2 + 47 x + 19 x + 99 x2 − 191 x → 5256133 x + 15 y2 + 99 x2

Пример 1. Пользуясь режимом live symbolics, найдите предел, к которому стремится выражение

1 + 1x x

если х → 0. Для ввода предела используйте панель Calculus из меню View – Toolbars, на появившейся панели найдите иконку пределов (lim)

127

со слотом для ввода имени переменной, по которой ищется предел. Введите формулу, чтобы получилось так:

Затем <Ctrl>+<Shift>+<точка> и щелчок левой кнопки мыши.

Пример 2. Пользуясь режимом live symbolics, найдите предел, к которому стремится выражение при х → 0:

lim

sin(2x)

x → 0 sin(3x)

14.2. Опция Symbolics – Simplify

Опция Symbolics – Simplify позволяет упрощать и приводить к красивой форме более сложные выражения, чем алгебраические. В такие выражения могут входить дроби, для сокращения которых нужно искать корни уравнения, элементарные функции (тригонометрические, логарифмические…) и т. п. Решим несколько примеров.

Введите 2log(x,2). Встроенная функция «логарифм» log(x,2) в этом случае читается как «логарифм числа x с основанием 2». Охватите выражение синим контуром и выберите опцию Simplify из меню Symbolics. Получится x.

Эти же действия можно сделать в режиме live symbolics. Для этого

охватите 2log(x,2) синим контуром справа, введите символьный знак равенства (<Ctrl>+<Shift>+<точка>), в появившийся слот введите ключевое слово simplify (переводится – упрощай). Получится:

2log(x,2) simplify → x

Испытайте режим live symbolics, например, так: замените основание 2 на 10, автоматически выведется:

1

ln(2)

2log(x,10) simplify → x(ln(2)+ln(5))

Рассмотрите еще несколько примеров. Они позволят Вам испытать восхищение перед уровнем алгоритмизации и программирования, позволившим получить замечательные возможности. Упростите выражения (либо Simplify из меню Symbolics, либо в режиме live symbolics) (для ввода степени используйте клавиши <Shift>+<6>):

128

комой переменной и использования позиций меню, а также возможен режим live symbolic, в котором искомые переменные обозначаются ПРОПИСНЫМИ литерами. Покажем это на примерах 1 и 2.

Пример 1. Решение уравнения в режиме live symbolic. Наберите уравнение

a X2 + b X + c 0,

причем знак равенства нужно набрать как жирный (<Ctrl>+<=> ) (с помощью такого набора уравнение остается похожим внешне на публикуемые в литературе, а внутренне вводится различие между обычным знаком равенства (используемым в Mathcad для вывода значений переменных) и знаком равенства в уравнениях. Охватите всё уравнение синим кон-

туром, затем введите символьный знак равенства (<Ctrl>+<Shift>+ <точка>). В появившийся слот введите ключевое слово solve («реши») и через запятую рядом – идентификатор искомой переменной (Х) и щелкните левой кнопкой мыши где-нибудь вне выражения. Получится «живая» формула, автоматически реагирующая на вносимые изменения (естественно, ответ имеет форму вектора, т. к. квадратное уравнение имеет два решения; каждое решение записано в «своем» элементе вектора-ответа):

Пример 2. Решение системы уравнений в режиме live symbolic.

Сформируйте слоты для вектора (можно через Меню Insert – Matrix, лучше (быстрее) с помощью клавиш <Ctrl>+<M>), укажите число строк (rows) 2, число столбцов (columns) 1. В появившуюся «заготовку» для вектора введите строки системы уравнений, используя жирный знак ра-

венства (<Ctrl>+<=> ):

Охватите весь вектор с уравнениями синим контуром, затем введите

символьный знак равенства (<Ctrl>+<Shift>+<точка>). В появивший-

ся слот введите ключевое слово solve («реши») и через запятую рядом –

130

кнопкой мыши где-нибудь вне выражения. Получится «живой» ответ в форме матрицы с решением, автоматически реагирующий на вносимые изменения.

14.4.2. Опция Symbolics – Variable – Differentiate служит для диффе-

ренцирования в символьной форме. Как и в описанных выше позициях, возможно однократное («мертвое») дифференцирование путем выделения переменной, по которой ищется производная, и использования позиций меню, а также возможен режим live symbolic, в котором переменная дифференцирования обозначается ПРОПИСНЫМИ литерами. Покажем это на примерах 1 и 2.

Пример 1. Нахождение первой производной. Введите шаблон произ-

водной из Меню View –Toolbars – Math – иконка «интеграл» или (лучше и быстрее) используйте клавиши <Shift>+<?>. В слоты шаблона введите выражение, подлежащее дифференцированию. Получится:

d aX sin( X)2 dX

Охватите всё выражение вместе с обозначением производной синим контуром, затем введите символьный знак равенства (<Ctrl>+<Shift>+ <точка>) и щелкните левой кнопкой мыши где-нибудь вне формулы. Получится «живой» ответ, автоматически реагирующий на вносимые изменения:

d aX sin( X)2 → aX ln(a) sin( X)2 + 2 aX sin( X) cos ( X) dX

Операция дифференцирования пригодится Вам при выполнении индивидуальных заданий по дисциплине «Математический анализ» для проверки результатов Ваших выкладок.

Пример 2. Нахождение производных высших порядков. Введите шаблон производной порядка выше первого из Меню View – Toolbars – Math-иконка «интеграл» или (лучше и быстрее) используйте клавиши <Ctrl>+ <Shift>+<?>. В слоты шаблона введите выражение, подлежащее дифференцированию. Получится:

d33aX sin( X) dX

Охватите всё выражение вместе с обозначением производной синим контуром, затем введите символьный знак равенства (<Ctrl>+<Shift>+

131

<точка>) и щелкните левой кнопкой мыши где-нибудь вне формулы. Получится «живой» ответ, автоматически реагирующий на вносимые изменения:

d33aX sin( X) → aX ln(a)3 sin( X) + 3 aX ln(a)2 cos ( X) − 3 aX ln(a) sin( X) − aX cos ( X) dX

14.4.3. Опция Symbolics – Variable – Integrate служит для интегри-

рования в символьной форме. Как и в описанных выше позициях, возможно однократное («мертвое») интегрирование путем выделения переменной, по которой ищется интеграл, и использование позиций меню, а также возможен режим live symbolic. Рассмотрим 2 примера – один в режиме «мертвого» результата, другой – в режиме live symbolic.

Пример 1. Нахождение неопределенного интеграла. Введите выра-

жение:

e− α x cos (β x),

щелчком левой кнопки мыши выделите переменную интегрирования x, таким образом,

e− αx cos(β x)

а затем используйте позиции Меню Symbolics –Variable – Integrate. Получится:

Охватите полученное выражение синим контуром и упростите (Ме-

Пример 2. Нахождение определенного интеграла в режиме live symbolic. Образуйте шаблон интеграла из Меню View – Toolbars – Math – иконка «интеграл» или (лучше и быстрее) используйте клавиши <Shift>+<&> (значок конкатенации, над цифрой 7 в верхней части клавиатуры). В слоты шаблона введите выражение, подлежащее интегрированию:

Напоминание: знак «бесконечность» – на вкладке Calculus из Меню View –Toolbars – Math – иконка «интеграл».

132