electrodynamics

§3. Проводники и диэлектрики в электрическом поле . Теорема Гаусса

Краткие теоретические сведения

Поле в веществе. Проводниками называют такие тела, которые содержат свободные заряды, то есть заряды, способные передвигаться по всему объему проводника. При внесении проводника в электрическое поле свободные заряды под его воздействием перемещаются (протекают электрические токи) до тех пор, пока не установится новая стационарная конфигурация зарядов. Это приводит к следующим свойствам проводников в электростатическом поле:

-проводник электризуется - на его поверхности появляются положительные и отрицательные заряды, -напряженность электрического поля и объемная плотность заряда внутри проводника равны нулю,

-весь объем проводника является эквипотенциальным объемом, что позволяет говорить о потенциале проводника,

-силовые линии электрического поля вне проводника вблизи его поверхности перпендикулярны к ней.

Диэлектрики не содержат свободных зарядов. В электрическом поле заряды внутри диэлектрика смещаются лишь на молекулярных масштабах, при этом молекулы могут быть представлены как диполи. В электростатическом поле они ориентируются (см. рис.3.1), что приводит к появлению на поверхности диэлектрика связанных зарядов. Последние приводят к уменьшению напряженности

электрического поля внутри диэлектрика по сравнению с вакуумом.

Явление ориентации молекул диэлектрика во внешнем электрическом поле называют поляризацией диэлектрика. Для его

Здесь ρ - объемная плотность заряда.

Пример 3.1. Сравните качественно поток вектора индукции D через поверхности, показанные на рис.3.2. В каких случаях поток равен нулю?

Рис.3.2

Решение. На языке силовых линий поток вектора D через поверхность пропорционален разности входящих в ограниченную поверхностью область и выходящих через нее силовых линий. Согласно вышесказанному поток через поверхность, показанную на рис.3.2б вдвое превышает поток через поверхность, показанную на рис.3.2а. Поток через поверхности, показанные на рис.3.2в-3.2д, равен нулю.

Пример 3.2. Используя теорему Гаусса, найдите напряженность поля,

создаваемого в вакууме бесконечной плоскостью, несущей на единице площади заряд σ .

Решение. Прежде всего отметим, что в силу симметрии распределения заряда на плоскости поле также обладает элементами симметрии, а именно

•вектор напряженности поля направлен по нормали к плоскости,

•модуль напряженности поля одинаков на одном и том же расстоянии от плоскости.

цилиндрической поверхности находится заряд q = Sσ , поэтому 2SD = Sσ .

Откуда D = σ . Используя (3.3), находим напряженность поля в любой

2

точке в окрестности заряженной плоскости

σ

E = . (3.6) 2ε 0

Представленное в условии задачи распределение заряда невозможно создать практически. Его следует рассматривать как модель, позволяющую рассчитать поле вблизи заряженной пластинки.

Пример 3.3. Найдите напряженность электрического поля между обкладками плоского конденсатора. На пластинах находятся заряды Q и -Q,

площадь пластин конденсатора - S .

Решение. На рис.3.4 показано поле от каждой из пластин конденсатора.

Между пластинами поле складывается и становится вдвое больше, чем поле от одной пластины (см. (3.6)):

(3.7)

Рис.3.4

За пределами пластин поля от зарядов на пластинах направлены в противоположные стороны, поэтому суммарная напряженность равна нулю.

Полученный результат относится к полю вдали от краев пластин конденсатора.

Пример 3.4. Диэлектрический шар радиусом R равномерно заряжен по объему. Объемная плотность заряда равна ρ , диэлектрическая

проницаемость материала шара - ε . Найдите потенциал поля, создаваемого

шаром.

Решени. Напряженность электрического поля, создаваемого

распределением заряда, указанного в условии задачи, рассчитана в примере

6 первого параграфа. Приведем другое решение той же задачи с использованием теоремы Гаусса. В силу симметрии распределения заряда индукция (и напряженность) поля будет направлена вдоль радиуса шара, а

величина вектора индукции будет одинаковой на любой сфере,

концентрической с шаром. Для определения поля в произвольной точке М проведем через эту точку сферу, концентрическую с шаром. Поток вектора

индукции D через эту сферу

где интегрирование ведется по поверхности сферы радиусом r.

найдите индукционные заряды на поверхностях проводника. Как изменятся заряды на сферах, если их соединить проводником?

Решение. Как и в предыдущем примере, поле обладает сферической симметрией. Для применения теоремы Гаусса выберем сферу радиусом r ,

концентрическую с данными. Поток через нее подсчитан в предыдущем примере и задается формулой (3.8). Найдем заряд внутри сферы радиусом

Здесь q' - индукционный заряд на сфере радиусом 3R , а так как проводник не несет заряда, то на его внутренней поверхности радиусом 2R находится заряд −q' . Применим теорему Гаусса и учтем, что внутри проводника поле равно нулю ( q' = Q ), получим

окружена сферическим слоем диэлектрика, простирающимся до сферы

радиусом 2 R . Используя теорему Гаусса, найдите индукцию

электрического поля и его напряженность во всех точках пространства.

Постройте картину силовых линий для векторов D и E . Найдите связанный заряд q , появляющийся на границах диэлектрика.

Диэлектрическая проницаемость диэлектрика ε = 2 .

Решение. Проведем произвольную сферическую поверхность радиусом r ,

концентрическую с заданной в условии задачи. Электрическое поле вокруг сферы обладает сферической симметрией, или вектор индукции

электрического поля D направлен по радиусу сферы. Поток этого вектора

через выбранную поверхность определяется выражением (3.8). Согласно теореме Гаусса этот поток равен заряду внутри поверхности. Приравнивая,

получаем

R < r < 2R в ε = 2 раза меньше потока через сферу с радиусом r > 2R .

Поток пропорционален числу силовых линий, а они начинаются на свободных и связанных зарядах, поэтому Q − q = q . Откуда q = Q / 2 .

В общем случае при определении связанных зарядов можно применить следующий прием. Напряженность электрического поля в

произвольной точке внутри диэлектрика равна E = . Представим,

что диэлектрика нет, но заменим связанные заряды свободными, и найдем напряженность электрического поля, создаваемого всеми зарядами, получим