electrodynamics

§4. Уравнения электростатики

71

Пример 4.6. Стеклянная пластинка с проницаемостью

ε 2 = 6 внесена в

однородное электрическое поле с напряженностью

E1 = 10В / м и

Решение. Для тонкой пластинки в

точках, достаточно удаленных от ее

краев, поле можно заменить полем в

бесконечном

диэлектрическом слое,

имеющем ту же толщину, как и

пластинка. В силу симметрии оно

остается однородным (см.

рис.4.4).

Записав граничные

условия

(4.6) на

Рис.4.4

границе MN

E1 sin α1 = E2 sin α 2 ,

ε1 E1 cosα1 = ε 2 E2 cosα 2 ,

(4.22)

находим E2

и α 2

α 2

ε 2

≈ 740 ,

= arctg

tgα1

ε1

E1

E

2

=

ε

2 cos 2 α

1

+ ε 2 sin 2 α

1

= 5,2 В / м .

1

2

ε 2

Для определения плотности связанных зарядов, возникающих на

поверхностях MN и M ' N '

пластинки, заменим пластинку другой, с ε 2 = 1 ,

§4. Уравнения электростатики

73

Из (4.23)

следует,

что заряд

Q распределится по полусферам в

следующей пропорции

Q1

=

σ 1

=

ε1

,

Q + Q

= Q ,

2

Q2

σ 2

ε 2

1

или

Qi =

ε i

Q .

ε1 + ε 2

Поле в произвольной точке на поверхности шара, с одной стороны,

равно E0 =

Q'

, где Q' -- сумма заряда Q и связанных зарядов на всей

4πε

0

R

2

поверхности шара, а с другой, согласно (4.23)

E

=

σ 1

=

Q1

=

Q

.

0

ε ε

2πR

2

ε1ε 0

2πR

2

(

+

ε 2

)

1 0

ε1

ε 0

Q' =

2Q

Сравнивая выражения для E0 , находим

и

поле

в

ε1 + ε 2

произвольной точке вокруг шара

E =

Q'

=

Q

,

(4.24)

4πε

0

r

2

2πε

0

(ε

1

+ ε

2

)r 2

74

§4. Уравнения электростатики

где r −

расстояние от центра шара до точки, в которой ищется

напряженность поля.

Пример 4.8.

Шар радиусом R , вырезанный из однородного диэлектрика с

электрическое

поле напряженности

E 0 .

Найдите распределение

напряженности и потенциала в пространстве внутри и вокруг шара.

Решение. Все пространство разделим на две области: V1 -- внутри шара, V2

-- вне шара.

Потенциал и напряженность

поля в области V1 будем

обозначать индексом 1, а в области V2

-- индексом 2. Так как свободных

§4. Уравнения электростатики

75

Простейшими решениями уравнения (4.25), не зависящими от угла

ψ , являются функции Ar cosθ и B

cosθ

(см.[1]), где A и B -- постоянные.

r 2

Для потенциала

электростатического

поля получаем выражение

(r,θ ) = cosθ

B

i

ϕ

A r +

.

i

i

r

2

(4.26)

Внутри

шара

свободные

заряды отсутствуют и поле во всех

точках внутри шара ограничено и

поэтому

B1 = 0 .

Используя

соотношение

(4.4)

в

сферической

системе координат (единичные вектора

e r , eθ , eψ

показаны на рис.4.6)

Рис.4.6

E

= −

∂ϕ

,

E = −

1

∂ϕ

,

E = −

1

∂ϕ

,

r

∂r

ϑ

r ∂θ

ψ

r sin θ ∂ψ

найдем напряженность электрического поля внутри и вне шара:

в области V1 :

E1r

= − A1 cosθ ,

E1θ

= sin θ A1 ,

E1ψ

= 0 ,

(4.27)

и в области V2 :

2B

2

B

2

E

= − A

+

cos θ ,

E

= A +

sin θ ,

E

= 0 . (4.28)

2r

2θ

2ψ

2

r 3

2

r

3

Из

условия, что

на бесконечности поле однородно и равно E 0

следует, что

E2r (r → ∞) = − A2 cosθ = E0 cosθ ,

§4. Уравнения электростатики

77

r

= 4π ε

R 3

ε − 1

r

p

e

0

E

0

,

(4.35)

ε + 2

помещенного в центре шара.

Вне шара напряженность поля равна

ε

− 1

R

3

ε − 1

R

3

E2r

E2θ

E2ψ = 0 ,

= E0 1 + 2

r

3

cosθ ,

= E0

2 + ε

r

3

− 1 sin θ ,

2 + ε

или в векторной форме:

ε − 1

v

v

v

v

v

3 (E

0

r ) v

E

0

3

E

= E

+

r

−

R

,

2

0

5

3

ε + 2

r

r

ε − 1

v

v

v

v

v

3 (D

0

r ) v

D

0

3

D

= D

+

r

−

R

(4.36)

2

0

5

3

ε + 2

r

r

E

2θ

(R,θ ) = 0 ,

или

B

2

= E

0

R 3 .

§4. Уравнения электростатики

79

4.5. Точечный

заряд

q находится на расстоянии

a от центра

металлического

шара

радиусом R . Найдите работу A

, которую надо

Рис.4.7

4.7. На бесконечной плоской поверхности

проводника

имеется сферический

бугор

CMD радиусом R ,

центр которого лежит

на той же плоскости (см. рис.4.8). На оси

симметрии системы на перпендикуляре к

поверхности

MN

вне

проводника на

расстоянии

a

от

центра

сферы

расположен точечный заряд q . Найдите

Рис.4.8

потенциал во всем пространстве.