TPI_slaydy
.pdf
Сбор частиц
Z |
|
|
Vi |
|
r |
|
|
|
|
|
|
S |
r =| r | |
||
Y
X |
t-r/v |
t t+ t |
|
N_= N_( S, t) – функция области.
N− = ∑ Ni ( S, t)
i
p – вероятность частице из Vi дать вклад в Ni
p = p1· p2· p3
p1 |
– в объеме Vi произошла реакция рассеяния; |
p2 |
– рассеянная частица вылетела в направлении S; |
p3 |
– частица долетела до S. |
Огородников И.Н. |
|
Теория переноса излучения |
||
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчет вероятностей
|
r |
|
|
|
F Vi , t − |
|
|
- количество частиц в V |
i |
|
||||
|
v |
|
||
CS ( Vi , |
t) |
|
|
- количество частиц, рассеянных в Vi |
||||||||||||||||||
|
p = |
|
Ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
= |
CS ( Vi , t) |
|
|||||||
|
|
|
|
r |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
r |
||||||||
|
|
F |
V |
,t − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
V ,t − |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
i |
v |
||||||
|
|
Ni |
|
|
|
= |
|
|
CS ( Vi , t) |
p |
|
p |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
||||
|
F |
V ,t |
− |
|
|
|
|
|
|
F |
V ,t − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
i |
|
v |
|
|
|
|
|
|
i |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ni = CS ( Vi , t) p2 p3
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчет вероятностей
CS (
Z
θ
S
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|||||
Vi , t)= ∫dt ∫ Σs ϕ r , t − |
|
dV Σs ϕ r |
, t − |
|
|
t Vi |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
Vi |
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
= |
|
|
S cosθ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
p3 |
= |
|
J (r) |
= exp(− Σ r) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
cosθ |
|
|
exp(−Σ r) |
t |
S |
V |
||||||||
|
|
N |
|
= Σ |
|
ϕ |
r |
,t − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
4π r |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
s |
|
|
|
|
v |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Промежуточный результат
|
|
r |
|
r |
|
cosθ |
exp(−Σ r) |
|
||
N− = ∑ |
Ni ( S, t) = ∑Σs ϕ r |
,t − |
|
|
|
|
|
t S Vi |
||
|
4π r |
2 |
||||||||
i |
i |
|
|
v |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Σ |
s |
|
t |
S |
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
cosθ |
|
exp(−Σ r) Vi |
||||||||||
N− = |
|
|
|
|
|
|
|
∑ϕ r |
,t |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Σ |
s |
|
t |
S |
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
cosθ |
|
|
exp(−Σ r) dV |
||||||||
N− = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
r ,t − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z∫>0 |
|
|
|
v |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
dN |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
− |
|
|
|
|
|
|||||||
j |
− |
(r |
= 0,t) = |
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d( |
|
S t) |
|
|
|
|
|
| |
|
S t | |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tS→→00 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
Σ |
s |
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
cosθ |
|
exp(−Σ r) dV |
|||||||||
j− (r |
= 0,t) = |
|
|
|
|
ϕ r |
,t |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z∫>0 |
|
|
|
|
v |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
Σ |
s |
|
|
∞ 2π |
|
π / 2 |
r |
|
|
|
|
|
r |
|||||||||||
j− (r |
= 0,t) = |
|
|
∫dr |
∫dψ ∫ |
ϕ |
r |
,t − |
|
|
exp(−Σ r) cosθ sinθ dθ |
|||||||||||||||||||||
4π |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|||||||
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложение в ряд Тейлора
r |
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
ϕ r ,t − |
|
|
|
≈ϕ(r ,t) |
ϕ0 + x |
|
|
|
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ z |
|
|
|
|
|||||||||||||||
v |
∂x |
|
∂y |
|
|
∂z |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Σs |
|
|
|
∞ |
|
2π |
π |
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
= |
|
|
∫dr |
∫dψ ∫ϕ0 exp(−Σ r) cosθ sinθ dθ = |
||||||||||||||||||||||||||||||||
4π |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= − Σs ϕ0 2π |
∞ |
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∫exp(−Σ r)dr ∫cosθ d(cosθ) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Σ |
|
ϕ |
|
2π |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
cos |
2 θ |
|
π / 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
= − |
|
|
|
s |
|
0 |
|
|
− |
|
exp(−Σ r) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
Σ |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Σ |
|
ϕ |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= − |
|
|
|
s |
|
0 |
|
|
− |
|
(0 −1) |
0 − |
|
|
|
|
|
|
= |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
Σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление интегралов
|
|
Σs |
|
|
∞ |
|
2π |
π / 2 |
∂ϕ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||
(2) = |
|
|
∫dr ∫dψ |
∫ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||
4π |
|
r sinθ cosψ |
∂x |
|
exp(−Σ r) cosθ sinθ dθ = |
||||||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Σs |
|
|
∂ϕ |
|
∞ |
|
2π |
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
|
∫r exp(−Σ r)dr ∫cosψ dψ ∫sinθ cosθ sinθ dθ |
= 0 |
|||||||
|
4π |
|
∂x |
||||||||||
|
|
|
|
|
0 0 |
|
0 |
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Σ |
s |
∞ 2π |
π / 2 |
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|||||||
(3) = |
|
∫dr ∫dψ |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4π |
r sinθ sinψ |
∂y |
|
exp(−Σ r) cosθ sinθ dθ = |
||||
|
0 0 |
0 |
|
|
0 |
|||
|
|
|||||||
|
Σs |
|
∂ϕ |
|
|
∞ |
2π |
π / |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
∫r exp(−Σ r)dr ∫sinψ dψ |
∫sinθ cosθ sinθ dθ |
= 0 |
||||
4π |
∂y |
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление интеграла по z
|
|
Σs |
∞ |
2π |
π / |
2 |
∂ϕ |
|
|
||
|
|
|
|||||||||
(4) |
= |
∫dr ∫dψ |
∫ |
|
|
|
|||||
|
|
||||||||||
4π |
r cosθ |
∂z |
|
exp(−Σ r) cosθ sinθ dθ = |
|||||||
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
||||||||
|
Σs |
|
∂ϕ |
|
|
∞ |
2π |
π / |
2 |
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
∫r exp(−Σ r)dr ∫dψ |
∫cosθ cosθ sinθ dθ = |
||||
4π |
∂z |
|
0 |
||||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
Σs |
∂ϕ |
|
|
|
∞ |
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= − |
|
|
∫r exp(−Σ r)dr ∫cos2 θ |
||||||
|
2 |
∂z |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
= − |
Σs |
∂ϕ |
|
|
|
1 |
∞∫r d(exp(−Σ r))= − |
1 |
|
|
|
||||||||
∂z |
|
|
|
Σ |
|
||||
|
6 |
|
0 |
|
|
0 |
6 |
||
|
|
|
|||||||
|
∞ |
|
1 |
|
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
exp(−Σ r)dr = − |
6 |
|
∂z |
|
|
(0 |
−0) |
− − |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
d(cosθ)= |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂ϕ |
|
(r exp(−Σ r) |
|
0∞ − |
||||||||
|
|||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
∂z |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
(0 −1) |
= |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Σ |
|
|
|
|
6ΣS |
|
|
∂z |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Плотность диффузионного тока
|
j− = |
ϕ |
0 |
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
j− > 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|||||||
|
|
6ΣS |
|
|
|||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
j+ = |
ϕ |
0 |
− |
|
|
1 |
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
j+ > 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|||||||
|
|
|
6ΣS |
|
|
||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
jz = j+ − j− = − |
|
|
1 |
|
|
∂ϕ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||
|
|
3ΣS |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z 0 |
|||
|
D ≡ |
1 |
|
= |
lS |
|
|
|
|
|
|
- коэффициент диффузии, [см] |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3ΣS |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
jz = −D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обобщение результата
Z |
n |
|
|
|
|
Сравнимо с |
|
|
|
∂ϕ |
|||
|
M |
|
|
|
первым |
|
|
|
jnr = −D |
r |
|||
|
r |
|
|
|
∂n M |
законом |
|
|
|
|
|
Фика |
|
|
S |
∂ϕ |
r |
ϕ |
||
|
Y |
r |
= n |
|
||
|
∂n |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
jr |
= −D (n |
ϕ) |
|||
|
|||||
|
n |
|
|
M |
|
|
rj ≡ −D ϕ |
- векторная плотность тока |
|||
|
jnr |
r |
r |
|
|
|
= n |
j |
|
||
|
|
|
|
|
|
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3. Вывод уравнения диффузии
Уравнение диффузии – уравнение баланса числа частиц
N (V , t) = Nq (V , t) − N A (V , t) − NSUR (V , t)
V
q, ΣA,
|
N(V,t) – число частиц в объеме V в |
|
момент времени t, |
ΣS |
N(V, t) – изменение числа частиц в |
|
объеме V за время t. |
N (V , t) = N (V ,t + t) − N (V ,t)
N (V , t) = ∫n(rr,t) dV
V
N (V , t) = ∫[n(rr,t + t) − n(rr, t)]dV
V
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|