Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции Соболева часть 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

98	Лекции 12 - 14

Интервал сходимости x (−1, 1).. Исследуем граничные точки.

1)x =1 ∑∞ 1n − расходится;n=1

		∞	(−1)		n
2)	x =1 ∑					- сходится условно по признаку Лейбница.
				n
		n=1
Область сходимости ряда x [−1, 1).
2)	R = lim	(n +1)!		= lim(n +1)= ∞ , ряд сходится при всех x (− ∞, ∞).
		n!
	n→∞			n→∞

13.2.Свойства степенных рядов

Всилу теоремы Абеля степенной ряд сходится равномерно на (− R, R), его можно почленно дифференцировать и интегрировать в ин-

тервале сходимости.

ТРяды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда.

Пример:

∞

1) ∑xn = x + x2 + x3 +… сходится равномерно при x , удовлетворяю-

n=1
щих неравенству				x	<1
щих неравенству				x	<1
∞	x	(1)
∑xn =	x		- сумма бесконечно убывающей геометрической
∑xn =	1 − x		- сумма бесконечно убывающей геометрической
n=1	1 − x

прогрессии .

Этот ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать:

∞

n−1

′

∑nx

;

1 − x

n=1

x −1

∞

n+1

∑n=1

= ∫0

dt = −x − ln(1 − x).

1 −t

∞

2) ∑an xn = f (x).

n=0

f (x) = a0 + a1x + a2 x2 +…; f ′(x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 …, ∫ f (x)dx = c + a0 x + a12x2 +….

Функциональные ряды

13.3. Разложение функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена

Формула Тейлора для

f (x):

f (x)= f (x0 )+

f ′(x0 )

(x − x0 )+

f ′′(x0 )

− x0 )2

+…

f (n)(x0 )

…+

(x − x0 )n

+ Rn (x).

f (n+1)(x0

+θ(x − x0 ))

где Rn (x)=

×(x − x0 )n+1 -остаточный член в форме Лагранжа,

(n +1)!

где (0 <θ <1).

ТФункция f (x), имеющая производные всех порядков в интервале

x − x0 < R , однозначно представима на этом интервале своим рядом

∞

f (n)(x

)

Тейлора: f x = ∑an (x − x0 )

, где an =

, тогда и только тогда,

n=0

когда lim Rn (x)= 0 .

n→∞

Доказательство:

По формуле Тейлора f (x)= Pn (x)+ Rn (x),

Pn (x)= f (x0 )+

f ′(x0 )

(x − x0 )+…+

f (n )(x0 )

(x − x0 )n .

Так как lim Rn (x)= 0

f (x)

= lim Pn (x).

n→∞

Pn (x) - частичная сумма ряда Тейлора, ее предел равен сумме ряда

f (x),

значит

разложение

справедливо.

f (x)= f (x0 )+

f ′(x0 )

(x − x0 )+

f ′′(x0 )

(x − x0 )2 +….

При x0 = 0

f (0)+ f ′(0)x +

f ′′(0)x2 +…+

(0)xn +… на-

ряд

f (x)= ∑an xn =

∞

n=0

зывается рядом Маклорена.

ТДля того, чтобы функцию f (x) можно было разложить в степенной

∞

ряд ∑an xn на интервале (− R, R) достаточно, чтобы f (x) имела на

n=0

(− R, R) производные всех порядков и чтобы существовала такая

постоянная M	, что	f (n)(x)	≤ M при n = 0,1,2,… и при всех x (− R, R).

Доказательство:
Так как f (x)	имеет	производные всех порядков, для нее можно

формально построить ряд Маклорена. Докажем, что он сходится к

f (x). По теореме 1 достаточно доказать, что Rn (x)→ 0 для x (− R, R).

n→∞

100

Лекции 12 - 14

Остаточный член формулы Маклорена в форме Лагранжа можно

оценить

следующим

образом:

Rn (x)

f (n+1)(θx)

xn+1

MRn+1

при

x (− R, R); 0 <θ <1.

∞

n+1

(n +1)!

По признаку Даламбера ряд ∑

сходится, значит для него вы-

n=0 (n +1)!

полняется необходимый признак сходимости и его общий член

MRn+1

→ 0 . Значит Rn → 0,

x (− R, R),что и требовалось доказать.

n +1

n→∞

Для разложения функции y = f (x) в ряд Тейлора (Маклорена) следует:

1)составить ряд по формуле;

2)найти его область сходимости;

3) доказать, что для всех x из области сходимости

lim Rn(2) = 0 (f (n)(x) ≤ M ).

n→∞

13.4. Разложение элементарных функций в ряды Маклорена

f (x)= l x f (n )(x)= (l x )n = l x ; f (n )(0)=1

f (n)(x)

= l x ≤ l R

на

любом

интервале

x (− R, R

)

оси x ,

значит для всех

x (− ∞, ∞).

∞

l x =1 + x +

+…= ∑

, x R.

n=0

shx

l x −l

−x

= x +

x2n−1

, x R;

+…+

(2n −1)!

ch x =

l x

−l −x

x2n

, x R.

=1 +

+…+

(2n)!

f (x)= sin x и

f (x)= cos x .

f n (x)

≤1,

n = 0,1,… x R.

f (x = sin x,)

f (0)= 0,

′

f (x)= cos x = sin n

(0)=1,

′′

= sin x +

f (x)= −sin x

(0)= 0

(n)

(x)=

+ n

(n )

(0)= Sin

πn

Sin x

∞

x2n+1

sin x = x −

−…= ∑(−1)

≤1.

(2n +1)!

n=0

f (x)= cos x

(1)

(2)

(3)

Функциональные ряды

101

Разложение

функции

cos x

получим продифференцировав

ряд для sin x ( ):

∞

x2n

cos x =1 −

−

+…= ∑(−1)

≤1.

n=0

(2n)!

5. f (n)(x)= m(m −1)…[m − (n −1)](1 + x)m−n , f n (0)= m(m −1)…[m − (n −1)].

(1+ x)m =1+ mx +

m(m −1)

x 2 +…+

m(m −1)…[m −(n −1)]

x n +…=

1 2

1 2 3…n

=1 + ∑m(m −1)…(m − n +1)xn x (−1,1).

∞

n=1

6. f (x)= ln (1 + x), x > −1

f (x)

Продифференцируем

разложим производную по

формуле суммы бесконечно убывающей геометрической

прогрессии: [ln(1 + x)]′ =

=1 − x + x2 − x3 +…,

−1 < x <1.

1 + x

Продифференцируем это равенство почленно:

∞

n xn+1

ln(1 + x)=

∫

∑(−1)

dx = ∑(−1)

+ C, постоянную С найдем,

n +

n=0

∞

полагая x = 0 .

ln1 = ∑0 + C C = 0.

n=1

∞

n+1

ln(1 + x)= x −

−

+…= ∑

(−1)

xn+1 = = ∑

(−1)

xn , −1 < x ≤1.

n +1

n=0

n=1

Здесь учтено, что разложение остается справедливым и при x =1, так как ряд сходится по признаку Лейбница.

7.f (x)= arc tg x

Представим

arc tg x = ∫x

По формуле

суммы беско-

0 1 + t

нечно

убывающей

геометрической

прогрессии

=1 −t 2 + t 4 + t 6

+…, −1 < x <1.

1 + t 2

arctg x = ∫x (1 −t 2

+ t 4

−…)dt = x −

−….

∞

2n−1

arctg x

= x

−

−…= ∑(−1)n−1

, −1 ≤ x ≤1.

2n −1

n=1

Здесь учтено, что при

x = ±1 полученный ряд сходится по

признаку Лейбница.

При

x =1 получаем ряд Лейбница для вычисления числа π :

π =1

−

−….

(4)

(5)

(6)

102	Лекции 12 - 14

8.f (x)= (1 + x)m , m - производное постоянное число.

f (x)= (1 + x)m ,					f (0)=1
′	m−1	,			′
f (x)= m(1 + x)		,		,	f (0)= m
f (x)= m(m −1)(1 + x)			m−2	,	f (0)= m(m −1)
′′			m−2		′′

……………………………………………………………………

f (n)(x)= m(m −1)…[m − (n −1)](1 + x)m−n , f n (0)= m(m −1)…[m − (n −1)].
(1+ x)m =1+ mx +	m(m −1)	x 2	+…+	m(m −1)…[m −(n −1)]	x n +…=

	1 2			1 2 3…n
=1 + ∑m(m −1)…(m − n +1)xn				x (−1,1).
∞
n=1	n!

Область сходимости этого ряда находится по признаку Даламбера:

2) m =

1 + x =1

+ 1 x −

2 +

1 3

x3 −…;

3) m = −

=1 −

x +

1 3

−

1 3 5

+….

1 +

2 4

2 4 6

R = lim

un +1

= lim

m(m −1)…(m − n)xn+1n!

lim

n − m

<1.

(n +1)! m(m −1)…[m − (n −1)]xn

n +1

n→∞

Можно

доказать, что Rn (x)→ 0 для x (−1,1).

n→∞

∞

−1)…(m − n +1)

Ряд (1 + x)m

=1 + ∑

m(m

xn , x

(−1,1) называется би-

n=1

номинальным рядом.

При различных постоянных m получим разложения следующих функций:

1)m = −1:

1=1 − x + x2 − x3 +…= ∑∞ (−1)n xn ; x +1 n=0

∞

=1 + x + x2

+ x3 +…= ∑xn ;

1 − x

n=0

f (x)= arc sin x,

x [−1,1].

9. arcsin x = ∫

1 − t

Разложим подынтегральную функцию в биноминальный

ряд (при m = − 1

и x = −t2 )

и проинтегрируем почленно:

1 3

1 3 5

arcsin = ∫ 1

+…

5…(2n −1)

1 x

1 3

…+

+… dt = x +

+…=

2n n!

2 3

2! 22 5

∞

1 3

5…(2n −1)

= ∑

x2n+1 +…, x (−1, 1).

n=0

n!(2n +1)

(7)

(8)

Функциональные ряды

103

Полученные разложения можно использовать как известные для разложения сложных функций f (u(x)) и разложений по степеням двучленов (x − x0 ).

Пример:

1). Из разложения экспоненты (1) при

x ,

равном − x2 , получим,

∞

что l −x2 =1 −

− +…=

∑(−1)n

x (− ∞, ∞).

n=0

2). Из разложения для логарифмической функции ln(1 + x)

(5) при

x , равном − x ,

получим,

что

∞

ln(1 − x)

= −x −

−

−…= −∑

, −1 < x <1.

n=1 n

3). Разложите функцию ln x по степеням (x −1).

Так как ln x = ln(1 + (x −1)),

искомое разложение получается из раз-

ложения ln(1 + x)

(5) при x , равном (x −1):

(x −1)

(x −

∞

(x −1)

ln x = (x −1)−

−…= ∑(−1)n−1

, −1 < x −1 ≤1,

x (0,2]

n=1

4). Разложите в ряд по степеням (x + 3)

функцию ln(2 −5x),

x <

ln(2 −5x)= ln(2 −5(x + 3)+15)= ln17 1 −

(x + 3)

5(x + 3)

x равном

= ln17 + ln 1 −

= из примера 2) при

следу-

∞

5(x + 3) n

∞

n (x + 3)n

ет = ln17 + ∑1 −

= ln17 − ∑

n=1n

n=1

−1 <

5(x + 3)

<1,

−17

< x + 3 < 17

−

< x <

2 .

Можно убедиться, что при

x =

ряд является условно сходящим-

ся, а при x =

он принимает вид гармонического ряда и расходит-

ся. Интервал сходимости x −

5). Разложите функцию cos x по степеням x −

Введем

новую

переменную

x − π = t ,

тогда

= −sin t .

cos x = cos t +

Из разложения

104

Лекции 12 - 14

∞

−

2n−1

− sin t = − t −

−…

= −∑(

−1)n 1

, −∞ < t < ∞.

(2n −1)!

3 5

n=1

Переходя к старой переменной

∞

2n −1

x −

cos x = − ∑(−1)n −

= − x

−

+…

(2n −1)!

n =1

13.5. Применение степенных рядов

13.5.1. Вычисление значений функций

1)Вычислить sin10 с точностью 0,001.

sin x = x

−

−…

Ряд

сходится

при

x R .

π 10

180

π 5

1 π

−… Ряд знакочередующийся,

остаток

ряда

sin10 =

−

3! 18

можно оценить по признаку Лейбница. Найдем член ряда, меньший по

модулю, чем 0,001.		π		3	1		По признаку Лейбница погреш-
	u2					< 0.001
		=
			18		3!

ность от отбрасывания всех членов, начиная с n-го равна Rn < un+1 , зна-

чит

< 0.001

Sin10 =

= 0.174 .

Вычислить с точностью до 0,01 значение ln 8 .

ln 8 = ln 23

= 3ln 2 . Вычислим ln 2 . Воспользуемся рядами:

ln (1 + x)= x −

−…,

ln (1− x)= −x −

−

−…,

+ x)

= ln (1 + x)−ln (1− x)= 2

− x)

x +

+… ,

1 + x

При каком значении x

= 2?

1 − x

1 + x = 2(1 − x)→ x =

ln 2

= 2

+…

35 5

ln 8

= 3

+…+

+…

32n+1

2n +1

Функциональные ряды

105

Сколько членов нужно оставить, чтобы вычислить ln 8 с точностью

0,01?

								1									1					1					1														1				1								1		2		1		4
Rn = 3 2																			+											+…				< 6																1+					+					+…	=
Rn = 3 2							2n+1								2n +1				+			2n+3			2n +3					+…				< 6						2n+1					2n +					1+					+					+…	=
					3										2n +1						3				2n +3														3						2n +			1					3				3
				1							1							1					1					1				9 , R											1				1 9				1
	= 2			1							1							1			= 2		1					1										< 2					1				1 9		=		1			≈ 0,005 < 0,01.
	= 2																		1		= 2																	< 2											=					≈ 0,005 < 0,01.
			32n						2n +1 1 −														32n				2n +1				8				2							34					5 8				180

																			9
							1							1					9			2
	ln8 = 6						1							1								2	2.07 .
											+					= 2			+
							3				+		81			= 2			+			27
							3						81									27
	3)								Вычислить 4 17 с точностью 0,01.
																																			1
																										1							1
										4 17 = 4 16 +1 = 24 1 +																1							1			4
										4 17 = 4 16 +1 = 24 1 +																16		= 2 1 +
																										16							16
Воспользуемся биноминальным рядом, полагая x =																																												1	, m =						1		.
Воспользуемся биноминальным рядом, полагая x =																																											16		, m =								.
					14																	(−1) 3																					16												4
		1			14													1				(−1) 3					1 2				1			3			7			1		1 3
2	1 +						=			2			1 +							+				2						+																+…					=
2	1 +	16					=			2			1 +				4	16		+		2!4		2						+	4			4			4			3!						+…					=
		16															4	16				2!4					16				4			4			4			3!		16
		1					3										7																									3
= 2 +					−							+							−…,					Rn			<		un+1			,			u3				=						< 0,01							R2			<	u3		.

		32				163									4 164																										163
		32				163									4 164																										163

417 = 2 + 321 = 2 +0,031 = 2,03.

4)Вычислите число e с точностью 0,001. Оценим погрешность приближенного равенства:

+…+

…

, 0 < x <1.

Rn (x)=

n+1

n+2

+…=

+…

(n +1)!

(n +

2)!

(n +1)(n + 2)

n! n +1

+… =

n! n +1

n +1

по формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

n +1

. Rn x <

−

n +1 − x

Для вычисления числа e оценим Rn x при x =1:	1	< 0,001, n = 5.
	n! n

106									Лекции 12 - 14
e ≈1 +1 +	1	+	1	+	1	+	1		= 2 + 0,5 + 0,166 + 0,041 + 0,008 = 2,715
e ≈1 +1 +	2	+	3 2	+	4 3 2	+	5 4	3 2	= 2 + 0,5 + 0,166 + 0,041 + 0,008 = 2,715
	2		3 2		4 3 2		5 4	3 2

13.5.2.Вычисление интегралов, не берущихся

вэлементарных функциях

∫b

f (x)dx.

1) f (x)= e−x2

e−x2 =1 − x2 +

−

+…

∫a l−x2 dx = ∫a 1 − x2 +

−

+… dx =

= a −

−

+…

−

+…

1! 3

2! 5

3! 7

1! 3

2! 5

Определим, сколько членов ряда нужно учесть, чтобы получить результат с точностью 0,001. a =1 .

∫1 e−x2 dx =1 −		1	+	1	−	1	+…
	1!3			2!5		3!7
0

Ряд сходится по признаку Лейбница при этом S < u1. отбросим члены для ко-

торых

≤ 0,001

n = 0, 1, 2,….

n = 5.

n!(2n +1)

∞

(−1)

2n+1

Sin

x = ∫sin

dt = ∫1

∑

1)!

dt =

2 n=0

(2n +

∞

(

−1 n

∞

(

−1 n

2n+1

)

= ∑n=0

∫0 t

dt = ∑n=0

(2n +1)!

(2n +1)

Функциональные ряды

107

13.5.3. Решение дифференциальных уравнений

I.Метод последовательного дифференцирования

y′ = x2 y 2 −1, y(0)=1.

Ищем решение в виде: y(x)= y(0)+ y′1(!0)x + y′2′(!0)x2 +….

По условию y(0)=1, поставляя x = 0 в дифференциальное уравнение y′ = x2 y 2 −1, получаем y′(0)= −1.

Последовательным дифференцированием исходного дифференциального уравнения находим:

′′

= 2xy

+ 2x

′

′′

yy ,

(0)= 0;

′′′

= 2 y

+ 4xyy

′

+ 2x

′

+ 2x

′′

′′′

и т.д.

(y )

yy ,

y (0)= 2

Витоге y(x)=1 − x + 13 x3 −….

II. Метод неопределенных коэффициентов

y′′ = 2xy′+ 4 y, y = 0, y′ =1 при x = 0. )

Ищем решение в виде:

y = a0 + a1 x + a2 x2 +… an = ? a0 = 0, a1 =1 из )

y = x + a2 x2 + a3 x3 +…

y′ =1 + 2a2 x + 3a3 x2 +… y′′ = 2a2 + 3 2a3 x +….

Подстановка в уравнение дает:

2a2 + 6a3 x +12a4 x2 +…= 2x + 4a2 x2 + 6a3 x3 +…

…+ 4x + 4a2 x2 + 4a3 x3 +…

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x :

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2019861 Кб136Лекции РИМ сводная_1.doc
#
17.11.2019236 Кб13Лекции РЦБ - кусочки.doc
#
21.12.2018682 Кб62Лекции сенсоры.doc
#
24.08.2019643 Кб54Лекции сенсоры.doc
#
23.02.2015732 Кб18лекции сист эл снабж.pdf
#
23.02.20153 Мб81Лекции Соболева часть 3.pdf
#
22.02.20151 Мб378Лекции соц психология.doc
#
23.02.20155 Мб111Лекции Стечкина по матану.pdf
#
01.05.20252 Мб5Лекции ТОМ 7.12.07doc.doc
#
21.12.201816 Мб64Лекции ТЭПП.doc
#
01.04.20253 Мб6ЛЕКЦИИ УПРАВЛЕНИЕ ДАННЫМИ 2012.doc